特训12 等腰三角形 压轴题-2022-2023学年七年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

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特训12 等腰三角形 压轴题
一、解答题
1．如图，中，，点D在所在的直线上，点E在射线上，且，连接．

(1)如图①，，，求的度数．
(2)如图②，若，，求的度数．
(3)当点D在直线上运动时（不与点B、C重合），试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到，于是得到结论；
（3）设，，，①如图1，当点在点的左侧时，②如图2，当点在线段上时，③如图3，当点在点右侧时，，根据题意列方程组即可得到结论．
【解析】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
，
；
（3）设，，，
①如图1，当点在点的左侧时，，

，
解得，，
；
②如图2，当点在线段上时，，

，
，
；
③如图3，当点在点右侧时，，

，
解得，，
．
综上所述，与的数量关系是．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
2．已知：为等边三角形，点、点是两个动点，点从点出发，同时点从点出发，且两个动点的速度相同．

(1)如图（1）若动点在线段上，动点在线段上，连接交于点．求证：
(2)如图（2）若动点在射线上，动点在射线上，连交延长线于点．求证：．
(3)如图（3）若动点在的延长线上，动点在线段上，连接交于．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可证明结论；
（2）证明，可得，然后由，，求得；
（3）首先过点D作交于点G，则可证得为等边三角形，继而证得，则可证得结论．
【解析】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
根据题意得：，
在和中，
，
∴
∴；
（2）根据题意，，
∴，
即，
在和中

∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）过点作交于点，

∵是等边三角形，
∴，，
∴为等边三角形 ，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，
3．请完成下列各题．

(1)在中，，，直线经过点，于点，于点，当直线旋转到图1的位置时，求证：．
(2)在（1）的条件下，当直线旋转到图2的位置时，猜想线段，，的数量关系，并证明你的猜想．
(3)如图3，在中，于，，于，，于，，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
(3)证明见解析

【分析】（1）由已知条件可推出，继而可证明，利用全等三角形的性质可证明结论；
（2）与（1）证法类似，可推出，证明，得出，，继而得出结论；
（3）连接、，可证明，进一步推出为等腰直角三角形，同理可推出为等腰直角三角形，从而可得出结论．
【解析】（1）解：证明：，
，
而于，于，
，
，
，
在和中，
  ，
，
，，
；
（2），
，
，
而于，于，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）如图3，连接、，

于，于，
，
在和中，
，
，
，；
，
为等腰直角三角形．

，
同理可证：为等腰直角三角形．
，
．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，灵活利用全等三角形的判定定理和性质是解此题的关键．
4．在中，，，以为边在的另一侧作，点为射线上任意一点，在射线上截取，连接、、．

(1)如图1，当点落在线段的延长线上时，直接写出的度数；
(2)如图2，当点落在线段（不含边界）上时，与交于点，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明：如果不成立，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，则的度数为多少．（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
(3)或

【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可证明；
（2）结论成立，同（1）的证明方法相同；
（3）由题意知D落在线段（不含边界），推出只有两种情形：①．②．分别利用等腰三角形的判定和性质解决问题即可．
【解析】（1）解：如图1中，

∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）（1）中的结论成立．
证明：如图2中，

∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴；
（3）∵D落在线段（不含边界），
∴只有两种情形：①；②．
①当时，如图3-1中，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图3-2中，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述，满足条件的的度数为或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
5．阅读理解课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使，连结，请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到，其理由是什么？
(2)的取值范围是什么？
[感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中．
[问题解决]
(3)如图3，是的中线，交于点，且，试说明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析

【分析】（1）根据，，推出和全等即可；
（2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；
（3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可．
【解析】（1）在和中
，
，
全等的理由是：；
（2）由（1）知：，
，，
在中，，由三角形三边关系定理得：，
；
（3）证明：延长到，使，连接，

是中线，
，
在和中

，
，，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握中线倍长模型，添加辅助线是关键．
6．如图，等腰三角形和等腰三角形，其中，．

(1)如图1．若，当点C、D、E共线时，的延长线交于点F求的度数；
(2)如图2．连接、，延长交于点F，若点F是的中点，，求证：；
(3)如图3．延长到点M，连接，使得，延长、交于点N．连接，若，请写出、它们之间的数量关系，并写出证明过程．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，证明见解析

【分析】（1）根据题意和等腰三角形的性质得，根据得，即可得，即可得；
（2）延长至Q，使，连接，利用SAS证明，即可得，，利用SAS证明，即可得，，根据角之间的关系得，根据得，即可得；
（3）在上，截取，连接，利用SAS证明，即可得，，，利用SAS证明即可得，根据，，即可得，则，根据得，可得，即可得．
【解析】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，延长至Q，使，连接，

∵，
∴，
在和中，

∴（SAS），
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
在和中，

∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
=
=
=，
∵，
∴，
∴；
（3）；证明如下：
如图所示，在上，截取，连接，

∵，
，
∴，
在和中，

∴（SAS），
∴，，，
∴
=
=，
∵，
∴，
在和中，

∴（SAS），
∴，    
∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，适当的添加辅助线．
7．问题发现：如图①，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结．填空：

(1)的度数为___________；
(2)线段之间的数量关系是___________．
拓展探究：
(3)如图②，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连结，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)相等
(3)，，理由见解析

【分析】（1）易证，利用全等三角形的性质、等边三角形的性质即可求得结果；
（2）由（1）即可求得两线段间的关系；
（3）易证，利用全等三角形的性质、等边三角形的性质即可求得的度数，再由全等三角形的性质及等腰三角形的判定与性质即可得到三线段的关系．
【解析】（1）解：、都是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
，
；
，
，
；
故答案为：．
（2），
，
即、间的数量关系是相等；
故答案为：相等．
（3）解：；
理由如下：
、都是等腰直角三角形，
，，，
即，
在与中，
，
，
；
，，
，，，
，
；
即的度数为．
，
，

，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，其中证明两个三角形全等是关键．
8．如图，在中，，点P是射线上的任意一点（不与点C重合），，连接，将沿AP向右翻折，得到，连接．

(1)当，时，的度数为 ，的度数为 ；
(2)在图1中，点P在BC边上，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)当点P在边的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立吗？请直接作出判断，不必说明理由．

【答案】(1)或，
(2)，理由见解析
(3)仍然成立

【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出，分点P在BC边上和点P在边的延长线上两种情况，利用折叠的性质和角的和差关系即可求解；
（2）设,,利用三角形内角和定理可得，利用折叠的性质可得，，进而得出，可得；
（3）采用（2）中的方法，可证仍然成立．
（1）
解：∵在中，，，
∴，
∴，
当点P在BC边上时，，
根据折叠的性质可知：，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，当点P在边的延长线上时，
，
根据折叠的性质可知：，，，
∵，
∴，
∴，
综上，的度数为或，的度数为；
（2）
解：，理由如下：
如图，设,,

则,
∴，
由折叠的性质可，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）
解：点P在边的延长线上时，（2）中的结论仍然成立．
如图，设,,

则,
∴，
由折叠的性质可，，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角的和差关系等知识点，掌握折叠前后“对应边相等、对应角相等”是解题的关键．
9．已知：∠AOB＝60°．小亮在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺，来作∠AOB的角平分线．

(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小亮的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线；
(2)如图2，小亮在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，想继续探究，于是将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小亮的观点是否正确，为什么？
(3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DPOB，请直接写出线段OD与OE的数量关系（不用说明理由）．
【答案】(1)见解析
(2)结论正确，证明见解析
(3)结论：OE=2OD．证明见解析

【分析】（1）根据SSS证明△OPD≌△OPE（SSS），可得结论．
（2）结论正确．如图2中，过点P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K．证明△PHD≌△PKE（ASA），可得结论．
（3）结论：OE=2OD．如图3中，在OB上取一点T，使得OT=OD，连接PT．想办法证明PT=OT，PT=TE，可得结论．
（1）
证明：如图1中，

在△OPD和△OPE中，

∴△OPD≌△OPE（SSS），
∴∠POD=∠POE．
（2）
解：结论正确．
理由：如图2中，过点P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K．

∵∠PHO=∠PKO=90°，∠AOB=60°，
∴∠HPK=120°，
∵∠DPE=∠HPK=120°，
∴∠DPH=∠EPK，
∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PK⊥OB，
∴∠POH=∠POK，∠PHO=∠PKO=90°，
在△OPH和△OPK中，
，
∴△OPH≌△OPK（AAS），
∴PH=PK，
在△PHD和△PKE中，
，
∴△PHD≌△PKE（ASA），
∴PD=PE．
（3）
解：结论：OE=2OD．
理由：如图3中，在OB上取一点T，使得OT=OD，连接PT．

∵OP平分∠AOB，
∴∠POD=∠POT，
在△POD和△POT中，

∴△POD≌△POT（SAS），
∴∠ODP=∠OTP，
∵PDOB，
∴∠PDO+∠AOB=180°，∠DPE+∠PEO=180°，
∵∠AOB=60°，∠DPE=120°，
∴∠ODP=120°，∠PEO=60°，
∴∠OTP=∠ODP=120°，
∴∠PTE=60°，
∴∠TPE=∠PET=60°，
∴TP=TE，
∵∠PTE=∠TOP+∠TPO，∠POT=30°，
∴∠TOP=∠TPO=30°，
∴OT=TP，
∴OT=TE，
∴OE=2OD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
10．如图，与为等腰直角三角形，，，，，连接、．

(1)如图，若，，求的度数；
(2)如图，若、、三点共线，与交于点，且，，求的面积；
(3)如图，与的延长线交于点，若，延长与交于点，在上有一点且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析

【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
（2）如图2中，过点C作CQ⊥DE于Q．证明△CQF≌△BEF（AAS），推出CQ=BE=3，QF=EF，求出EF，可得结论．
（3）如图3中，结论：CN+MN=BG．如图过点B作BT⊥BC交CN的延长线于T．证明△CBT≌△BCG（ASA），△BNM≌△BNT（SAS），利用全等三角形的性质，可得结论．
【解析】（1）解：如图中，

，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
；
（2）如图中，过点作于．

同理可得：≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
；
（3）如图中，结论：．
理由：如图过点作交的延长线于，
，
，

，
，
同理：≌，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11．已知和都为等腰三角形，，，，点E在线段AB上，点F在射线AC上，连接AD．
(1)如图1，当点F与点C重合时，若，且，试说明；

(2)如图2，当点F在边AC的延长线上时，在AF上取点M，使得FM=AE，连接DM，若，DE与AC的交点为O．

①试说明
②判断AF、AE与BC之间的数量关系是否满足？若是，请说明理由；若不是，请求出AF、AE与BC之间的数量关系．
【答案】(1)详见解析
(2)①详见解析；②AF、AE与BC之间的数量关系满足，详见解析

【分析】（1）根据，，，证明，再证明，根据全等三角形的判定即可说明；
（2）①根据，，利用三角形的性质可证明，再根据全等三角形的判定证明；
②根据，可得，，可证明，即可证明，，根据，可证明．
（1）
解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵和都为等腰三角形，
∴，，，
∴，
∴，即，
∵在和中，
，
∴．
（2）
解：①∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴．
②AF、AE与BC之间的数量关系满足．
理由：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解答本题的关键．
12．如图，在中，，，点在线段上（不与点、点重合）运动，以为腰在上方作等腰直角，于点，且与交于点．

(1)求证：≌；
(2)如图，交于点，连接，证明：；
(3)当时，猜想与的数量关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析

【分析】由直角三角形的性质证出，根据可证明≌；
过点作交于点，证明≌，由全等三角形的性质证出，则可得出结论；
延长交的延长线于点，证明和都是等腰直角三角形，连接，则和都是等腰直角三角形，得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得了结论．
【解析】（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
（2）证明：过点作交于点，

，
，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，
≌，
，
；
（3）解：．
证明：延长交的延长线于点，

由可知，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
连接，则和都是等腰直角三角形，
，
，，
≌，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．等腰△ABC，CA＝CB，D为直线AB上一动点，以CD为腰作等腰三角形△CDE，顶点C、D、E按逆时针方向排列，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，连接BE．

(1)若∠ACB＝60°，当点D在线段AB上时，如图（1）所示，此时AD与BE的数量关系为______；
(2)若∠ACB＝90°，当点D在线段BA延长线上时，如图（2）所示，AD与BE有什么关系，说明理由；
(3)当时，若△CAD中最小角为15°，试探究∠CDA的度数（直接写出结果）．
【答案】(1)；AD=BE；
(2)；AD=BE，理由见解析；
(3)105°或45°或15°．

【分析】（1）根据全等三角形的判定可以得出△ACD≌△BCE，从而得出结论；
（2）根据全等三角形的判定可以得出△ACD≌△BCE，从而得出结论；
（3）分D在线段AB上、当点D在BA的延长线上、点D在AB的延长线上三种情形根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
（1）
∵∠ACB＝60°，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
故答案为：AD=BE；
（2）
AD=BE，理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，
即∠DCA=∠ECB．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
（3）
解：当D在线段AB上时，

∵BECA，
∴∠CBE=∠ACB，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠CAD=∠ACB，又∠CAB=∠CBA，
∴△CAB为等边三角形，
∴∠CAB=60°，
当△CAD中的最小角是∠ACD=15°时，
∴∠CDA=180°-60°-15°=105°，
当点D在BA的延长线上时，

∵BECA，
∴∠ACE=∠CEB，∠ABE=∠CAB，
∵△DCA≌△ECB，
∴∠CDA=∠CEB，∠CAD=∠CBE，
∴∠ACB=∠ACE+ECB=∠CEB+∠ECB=180°-∠CBE=180°-∠CAD=∠CAB=∠CBA，
∴△CAB是等边三角形，
当△CAD中的最小角是∠ACD=15°时，∠CDA=∠CAB-∠ACD=45°，
当△CAD中的最小角是∠CDA时，∠CDA=15°；
当点D在AB的延长线上时，只能∠CDA=15°，
综上所述，∠CDA的度数为105°或45°或15°．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题．
14．如图①，在中，，AC=BC，l是过点C的任意一条直线，过A作AD⊥l于D，过B作BE⊥l于E．

(1)求证：△ADC≌△CEB；
(2)如图②延长BE至F，连接CF，以CF为直角边作等腰，，连接AG交l于H．试探究BF与CH的数量关系．并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，CE=15，请直接写出BF的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
(3)

【分析】（1）先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据可得，然后根据定理即可得证；
（2）作交直线于点，连接，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得出结论；
（3）先根据可得，再根据可得，利用三角形的面积公式可得，然后根据，即可得出答案．
（1）
证明：，
，
，
，
，
，
在和中，，
．
（2）
解：，理由如下：
如图，作交直线于点，连接，

，
，
，
，，
，
在和中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
又，
，，
在和中，，
，
，
．
（3）
解：如图，作交直线于点，连接，

，，
，
，，
，
，即，
解得，
又，，
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的定义，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
15．在等边ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，BD＝AE，BE与CD交于点O．

(1)如图1，填空：∠BOD＝ °；
(2)如图2，以CO为边作等边OCF，连接AO、BF，那么BF与AO相等吗？并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，若点G是BC的中点，连接GO，判断BF与GO有什么数量关系？并说明理由．
【答案】(1)60
(2)，理由见解析
(3)BF＝2GO，理由见解析

【分析】（1）先利用等边三角形的性质和已知条件证明，推出，进而利用三角形外角的性质、等量代换得出；
（2）利用等边三角形的性质证明，，，进而证明，再证明，即可得出；
（3）延长OG交CF于点M，先结合（1）中结论证明，推出，，再证明，推出，可得．
（1）
解：∵ABC是等边三角形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：60；
（2）
解：，理由如下：
∵FCO和ABC是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（3）
解：，理由如下：
如图，延长OG交CF于点M，

由（1）知，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点G是BC的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，．
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理，从图中找出全等三角形是解题的关键．
16．在ABC中，AB＝AC，AE是ABC的中线，G、H分别为射线BA、AC上一点，且满足∠GEH+∠BAC＝180°．

(1)如图1，若∠CAE＝45°，且G、H分别在线段BA、AC上，求证：AEH≌BEG；
(2)在（1）的条件下，AG＝3，求线段CH的长度；
(3)如图2，延长AE至点D，使DE＝AE，过点E作EF⊥BD于点F，当点G在线段BA的延长线上，点H在线段AC的延长线上时，探求线段BF、CH、BG三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)，理由见解析

【分析】（1）利用等腰三角形的性质和已知条件，先证∠BAC＝90°，，， 再结合∠GEH+∠BAC＝180°，证明∠GEH＝90°，进而证明∠AEH＝∠BEG，最后利用ASA即可证明AEH≌BEG；
（2）利用（1）中结论，参照（1）中方法利用ASA即可证明CEH≌AEG，即可得出；
（3）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ．先利用AAS证明JEG≌CEH，推出，再证明BFE≌BIE，推出BF＝BI，即可得出．
（1）
证明：如图所示：

∵AB＝AC，AE是ABC的中线，
∴∠C＝∠B，AE⊥BC，
又∵∠CAE＝45°，
∴∠C＝∠CAE＝45°，
∴∠B＝∠C＝∠CAE＝∠BAE＝45°，
∴∠BAC＝90°，，，
∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠BAC＝90°，
∴∠GEH＝90°，
∴∠AEH+∠AEG＝∠AEG +∠BEG＝90°，
∴∠AEH＝∠BEG，
在AEH和BEG中，
，
∴AEH≌BEG；
（2）
解：由（1）知∠C＝∠BAE＝45°，，∠GEH＝90°，AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠GEH＝90°，
∴∠AEH+∠CEH＝∠AEH +∠AEG＝90°，
∴∠CEH＝∠AEG，
在CEH和AEG中，
，
∴CEH≌AEG，
∴；
（3）
解：，理由如下：
如图，作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ．

则EI是线段BJ的垂直平分线，
∴，
∵E是BC的中点，
∴，
∴．
∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠GAH+∠BAC＝180°，
∴∠GEH＝∠GAH，
又∵∠GOA＝∠HOE，
∴∠JGE＝∠CHE，
∵，，
∴∠EJB＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠EJG＝∠ECH，
在JEG和CEH中，
，
∴JEG≌CEH，
∴，
∵AE⊥BC，DE＝AE，
∴BD＝AB，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵EI⊥AB，EF⊥BD，
∴∠BIE＝∠BFE＝90°，
又∵BE＝BE，
∴BFE≌BIE，
∴BF＝BI，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形内角和定理的应用等，解题的关键是添加辅助线、构造全等三角形．
17．如图1，在△ABC中，延长BC到D，使CD＝AB，点E是BD下方一点，连接AE，DE，CE，且∠B＝∠ACE＝∠CDE．

(1)如图1，若∠D＝30°，则∠CAE＝______度；
(2)如图2，若∠ACB＝90°，AF＝8cm，将DE沿直线CD翻折得到DF，连接CF，连接AF交CE于G，当时，求AG的长度；
(3)如图3，若AC＝BC，将DE沿直线CD翻折得到DF，连接CF，连接AF交CE于G，交CD于H，若DF＝m，AB＝n，（），请直接写出线段CH的长度（用含m，n的代数式表示）．
【答案】(1)75
(2)AG的长度为4cm
(3)线段CH的长度为n-m

【分析】（1）根据“ASA”证明△DCE≌△BAC（ASA），推出CE＝CA，根据等腰三角形的性质可得结论；
（2）证明CA＝CF，CG⊥AF，根据等腰三角形的性质可得结论；
（3）先证明CD＝AB＝n，再求出DF＝m，即可得出结论．
（1）
解：∵∠ACD＝∠ACE＋∠DCE＝∠B＋∠CAB，
又∵∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝∠CAB，
∵在△DCE和△BAC中，
∴△DCE≌△BAC（ASA），
∴CE＝CA，
∵∠ACE＝∠D＝30°，
∴∠AEC＝∠CAE＝75°．
故答案为：75．
（2）
证明：由（1）可知，△DCE≌△BAC（ASA），
∴∠DEC＝∠ACB＝90°，CE＝CA，
由翻折变换的性质，CF＝CE，
∴CA＝CF，
∵，
∴∠CGF＝∠CED＝90°，
∴CG⊥AF，
∵CA＝CF，
∴AG＝GF＝AF＝4cm．
（3）
解：由（1）可知，△DCE≌△BAC（ASA），
∴AB＝CD＝n，AC＝CB＝EC＝ED，
由翻折变换的性质可知，CE＝CF＝CA，
∴∠CFA＝∠CAF，
∵∠CDF＝∠CDE＝∠CBA，
∴，
∴∠DFH＝∠FAB＝∠FAC＋∠CAB，
∵∠DHF＝∠FCH＋∠CFH，∠FCD＝∠DCE＝∠CAB，
∴∠DFH＝∠DHF，
∴DF＝DH＝m，
∴CH＝CD＝DH＝n−m．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．已知中，；中，；，点A．D．E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．

(1)如图1，当时，
①请直接写出和的形状；
②求证：；
③请求出的度数．
(2)如图2，当时， 若，，求线段AF的长．
【答案】(1)①△ABC和△DEC是等边三角形；②见详解；③60°；
(2)4

【分析】（1）①根据中，；中，，=60°，即可得到结论；②先证明△ACD≌△BCE，即可得到结论；③由∆ACD≌∆BCE得∠ADC=∠BEC，结合等边三角形的性质，即可求解；
（2）延长BE、AC相交于点G，证明∆ACD≌∆BCE，得∠CAD=∠CBE，推出∠ACF=∠BEF=90°，证明∆ACF≌∆BCG以及∆AEB≌∆AEG，结合条件即可求解．
（1）
①∵，，
∴，为等腰三角形，
又∵，
∴和是等边三角形；
②∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠BCE+∠DCB，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
又∵，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠ADC=180°-∠CDE=180°-60°=120°，
∴∠BEC=∠CEF+∠AEB=120°，
∵∠CEF=60°，
∴∠AEB=120°-60°=60°；
（2）
延长BE、AC相交于点G，
∵=90°，，，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠AFC=∠BFE，
∴∠ACF=∠BEF=90°，
∴∠AEB=∠AEG=90°，
在∆ACF和∆BCG中，
∵ ，
∴△ACF≌△BCG（ASA），
∴AF=BG，
∵∠CAF=∠BAF，∠AEB=∠AEG=90°，AE=AE，
∴∆AEB≌∆AEG(ASA)，
∴BE=GE=2，
∴AF=4．

【点睛】本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形，全等三角形等，熟练掌握等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定性质，全等三角形的判定和性质，“旋转全等”模型，是解题的关键．
19．问题发现：如图1，如果△ACB和△CDE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．

(1)如图1，请直接写出AD与BE的数量关系为________；
(2)如图1，求∠AEB的度数；
(3)拓展：如图2，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路：
思路一：延长CB到E，使BE＝CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC＝CE，等量代换得到AC＝BC＋CD．
思路二：将△ABC绕着点A逆时针旋转60°至△ADF，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC＝CF，等量代换得到AC＝BC＋CD．
请选择一种思路，作出图形并写出证明过程．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析

【分析】(1)由和均为等边三角形证得，进而得到答案．
(2)由（1），即可得出答案；
(3)将绕着点逆时针旋转，分别证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质及等量代换即可得证；
（1）
解：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：
（2）
由（1）知，，
∴，
又，
∴；
（3）
如图：将绕着点逆时针旋转,至△ADF．

∵∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠DCB+∠BAD＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADF+∠ADC＝180°，
即：C,D,F三点共线，
由旋转的性质得：
，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查全等三角形证明，等边三角形、旋转综合,熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE．

(1)请证明图1的结论成立；
(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；
(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)60°
(3)∠A+∠BCD=180°，理由见解析

【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出∠ADB=∠AEC，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，即可得出答案；
（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出结论．
【解析】（1）解：证明：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）如图2，

∵△ABC和△ADE是等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ADB=∠AEC，

令AD与CE交于点G，

∵∠AGE=∠DGO，

∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，

∴∠DOE=∠DAE=60°，

∴∠BOC=60°；
（3）∠A+∠BCD=180°．理由：

如图3，延长DC至P，使DP=DB，


∵∠BDC=60°，

∴△BDP是等边三角形，

∴BD=BP，∠DBP=60°，

∵∠ABC=60°=∠DBP，

∴∠ABD=∠CBP，

∵AB=CB，

∴△ABD≌△CBP（SAS），

∴∠BCP=∠A，

∵∠BCD+∠BCP=180°，

∴∠A+∠BCD=180°．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键．
21．在△ABC中，AB=AC=BC，∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，点E是直线AB上一点，连接CE，以CE为边作等边三角形CDE，（C、D、E按逆时针方向排列），连接AD．点F在直线BC上，连接EF，使EF=EC．

(1)如图1，当点E在线段AB上时，判断△BCE与△ACD的关系并猜想线段AD与BC的位置关系；（直接写出结论，不需证明）
(2)如图2，当点E在BA的延长线上时，猜想线段AD与BC的位置关系，并说明理由；
(3)当∠EFC=25°时，请直接写出∠ADE的度数________．
【答案】(1)△BCE≌△ACD，AD//BC
(2)AD//BC，理由见解析
(3)35°或95°

【分析】（1）观察图形，通过猜测可得出△BCE=△ACD，AD//BC；
（2）利用SAS证明△BCE≌△ACD，推出∠CAD＝∠ABC＝60°，进而得到∠CAD＝∠ACB ，即可判定AD//BC；
（3）分点E在线段AB上和点E在AB的延长线上两种情况，利用三角形内角和定理、平行线的性质即可求解．
(1)
解：△BCE=△ACD，AD//BC．
证明：
∵△CED是等边三角形，
∴EC=DC，∠ECD=60°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACB－∠ACE=∠ECD－∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠CAD＝∠CBE＝60°，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴AD//BC．
(2)
解：AD//BC．
理由如下：
∵△CED是等边三角形，
∴EC＝DC，∠ECD＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACB＋∠ACE=∠ECD+∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠CAD＝∠ABC＝60°，
∴∠CAD＝∠ACB ，
∴AD//BC．
(3)
解：当点E在线段AB上时，
∵EF=EC，∠EFC=25°，
∴∠ECF=∠EFC=25°，
∵∠ABC=60°，
∴，
∵∠DEC=60°，
∴，
∵AD//BC，
∴，
∴，
∴；
当点E在AB的延长线上时，如下图所示，

∵EF=EC，∠EFC=25°，
∴∠ECF=∠EFC=25°，
∵∠DCE=60°，
∴，
∵AD//BC，
∴，
∵，
∴；
综上，∠ADE的度数为或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等，第3问有一定难度，解题关键是注意分情况讨论，不要漏解．
22．如图，在Rt△ABC中，，，F为直线AB上一点，连接FC．作于点D，连接AD，过点A作交BD于点E．

(1)如图1，求证：AD=AE
(2)如图2，若点H是BD中点，连接AH、CE，求证：
(3)如图3，当点F运动到线段AB上且不与A、B重合时，连接CE，过点A作交BD于点H，猜想CE与AH之间的数量关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)CE=2AH

【分析】（1）证明△ABE≌△ACD，即可求证；
（2）延长AH至点N使HN=AH，连接BN，可证得△ADH≌△NBH，从而得到BN=AD=AE，∠N=∠DAH，进而得到BN∥AD，再证明△ABN≌△CAE，即可求证；
（3）在CE上截取PE=AH，连接AP，先证明△ABE≌△ACD，可得∠ABE=∠ACD，AE=AD，从而证得△AEP≌△DAH，可得到∠APE=∠AHD，进而得到∠APE=∠AHD，继而得到AP∥CD，可得到∠CAP=∠ABE，从而证得△ABH≌△CAP，即可求解．
【解析】（1）证明：∵，，
∴∠DAE=∠BAC=∠CAF=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
∵，即∠BDF=∠BDC=90°，
∴∠F+∠ABE=∠F+∠ACD=90°，
∴∠ABE=∠ACD，
∵，
∴△ABE≌△ACD，
∴AD=AE；
（2）证明：如图，延长AH至点N使HN=AH，连接BN，

∵点H是BD的中点，
∴BH=DD，
∵∠AHD=∠BHN，
∴△ADH≌△NBH，
∴BN=AD=AE，∠N=∠DAH，
∴BN∥AD，
∴∠ABN=∠DAF，
由（1）得：∠BAE=∠CAD，
∵∠DAF+∠CAD=∠CAE+∠BAE=90°，
∴∠DAF=∠CAE，
∴∠ABN =∠CAE，
∵AB=AC，
∴△ABN≌△CAE，
∴CE=AN=NH+AH=2AH；
（3）解：CE=2AN，理由如下：
在CE上截取PE=AH，连接AP，

∵BD⊥CF，
∴∠ADE+∠ADC=90°，
∵AD⊥AE，
∴∠ADE+∠AED=90°，∠DAE=90°
∴∠ADC=∠AED，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD，即∠CAD=∠BAE，
∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，AE=AD，
∵，，
∴∠CED+∠DCE=90°，∠CED+EHA=90°，
∴∠DCE=∠EHA，
∵，AE=AD，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∴∠AEC+∠DCE=45°，∠DAH+∠AHD=∠ADE=45°，
∴∠AEC=∠DAH，
∴△AEP≌△DAH，
∴∠APE=∠AHD，
∴∠APC=∠AHB，∠APE=∠DCE，
∴AP∥CD，
∴∠CAP=∠ACD，
∵∠ABE=∠ACD，
∴∠CAP=∠ABE，
∵AB=AC，
∴△ABH≌△CAP，
∴AH=PC，
∴CE=PE+PC=2AH．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，并作适当的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
23．如图，和都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点．

(1)如果点E从点D出发，以的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中的大小是否会发生变化?如果不变，请求出其大小?如果改变，请说明理由．
(2)如果点E从点D出发，以的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时?
【答案】(1)60°
(2)当点E运动2秒或6秒时，∠EBF=60°．

【分析】（1）利用SAS定理证明△BDE≌△BCF，从而利用全等三角形的性质分析推理；
（2）利用ASA定理证明△BDE≌△BCF，然后利用全等三角形的性质，并结合分类讨论思想列方程求解．
【解析】（1）解：运动过程中∠EBF的大小不会发生变化，为定值60°，理由如下：
由题意可得，BD=BC=AD=CD=6，∠BDA=∠C=∠CBD=60°，DE=DF，
在△BDE和△BCF中，
，
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴∠DBE=∠CBF，
∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠DBF+∠CBE=∠CBD=60°；
（2）解：当∠EBF=60°时，∠EBF=∠CBD=60°，
∴∠DBE+∠DBF=∠DBF+∠CBE，
∴∠DBE=∠CBF，
在△BDE和△BCF中，
，
∴△BDE≌△BCF（ASA），
∴DE=CF，
设点E的运动时间为t秒，则DE=t，DF=2t，CF=6-2t，
当0≤t≤3时，t=6-2t，解得t=2，
当3＜t≤6时，t=2t-6，解得t=6，
综上，当点E运动2秒或6秒时，∠EBF=60°．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握三角形全等的判定，利用分类讨论思想解题是关键．
24．如图，在三角形ABC中，G为BC边上的一个动点，，，DG平分．

(1)如图1，当G点在BF边上时，求证：；
(2)如图2，当G在CF边上时，连接GE，若，，求得度数；
(3)如图3，在（1）的条件下，若DM平分，交BC于点M，DN平分，交EF于点N，连接NG，若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)

【分析】（1）由角平分线可知，再根据三角形内角和定理可知，最后结合题意即可得出，即证明；
（2）由题意可知，即有．设，则，．由三角形内角和定理可求出．即得出．再由平行线的判定条件可证明，得出
．再次根据三角形内角和定理即可得出，由此即可求出的值，即可求出的大小；
（3），由平行线的性质可知，再根据等腰三角形的性质可知．根据角平分线可求出，，即可求出．在结合题意即可求出．最后根据，即得出，最后即得到关于的等式，求出即得出的度数．
(1)
证明：∵DG平分，
∴．
∵，，，
∴，即，
∴；
(2)
解：∵，，
∴．
设，则，，
∵，
∴在中，．
∴，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
解得：，
∴；
(3)
解：设，
∵，
∴，
∴在中，．
∵DM平分，
∴．
∵DN平分，
∴，即．
∵
∴，即．
∵，
∴，
∴，
解得：，
故的度数为
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
25．已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．

（1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形；
（2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 　 　°；
（3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 　 　°；
（4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 　 　°．
【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）60；（4）60；
【分析】（1）根据题意，得∠ABC＝∠DBE＝60°，从而得；通过证明，得；通过证明，得，根据等边三角形的性质分析，即可完成证明；
（2）结合题意，通过证明为等边三角形，得；结合（1）的结论，根据三角形外角性质，推导得，从而完成求解；
（3）同理，通过证明为等边三角形，得；通过证明，得；根据三角形外角性质，推导得，从而完成求解；
（4）根据题意，通过证明为等边三角形，推导得，通过证明，得，结合三角形外角的性质计算，即可得到答案．
【解析】（1）∵∠ABC＝∠DBE＝60°
∴，，
∴
∵BA＝BC，BD＝BE
和中

∴
∴
和中

∴
∴
∴为等边三角形；
（2）∵∠ABC＝∠DBE＝60°, BA＝BC
∴为等边三角形；
∴
根据题意，AE和CD相交于点O
∵
∴
∵
∴
∴，即直线AE和CD的夹角是
故答案为：；
（3）∵∠ABC＝∠DBE＝60°, BA＝BC
∴为等边三角形；
∴
∵，，∠ABC＝∠DBE＝60°
∴
∵BA＝BC，BD＝BE
和中

∴
∴
如图，延长，交CD于点O

∴
∵
∴
∴，即直线AE和CD的夹角是
故答案为：；
（4）∵BA＝BC，
∴
∵∠ACB＝60°
∴
∴为等边三角形
∵BD＝BE，∠ABC＝∠DBE
∴
∵，
∴
和中

∴
∴
分别延长CD、AE，相较于点O，如下图：

∴
∵
∴
∴，即直线AE和CD的夹角是
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质，从而完成求解．
26．已知△ABC≌△EDC，过点A作直线l∥BC；
（1）如图1，点D在线段AC上时，点E恰好落在直线l上点A的右侧，求∠ACB的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接BE交AC于点F，G是线段CE上一点，且满足CG＝CF，连接DG交EF于点H，连接CH．求证：；
（3）如图3，∠ACB大小与（1）中相同，当点D不在线段AC上时，且点F、点G、点H满足（2）中条件，点M，N分别为线段CE，GD的延长线与直线l的交点．请直接写出△GMN为等腰三角形时，∠EBC与∠BCD满足的数量关系．

【答案】（1）60°；（2）见详解；（3）∠BCD=60°+∠EBC或∠BCD=60°+2∠EBC，理由见详解
【分析】（1）由△ABC≌△EDC和l∥BC可得∠EAC=∠ACE=∠AEC，从而得是等边三角形，进而即可求解；
（2）过点C作CM⊥DG，CN⊥BE，证明，△BCN△DCM，可得NC=MC，结合三角形的面积公式即可求解；
（3）分3种情况①当△GMN是等腰三角形，GN=GM时， ②当NG=NM时，③当MN=MG时，设∠EBC=α，∠BEC=β，分别得到α和β的关系，进而即可得到结论．
【解析】解：（1）∵l∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵△ABC≌△EDC，
∴∠ACB=∠ACE，AC=EC，
∴∠EAC=∠ACE=∠AEC，
∴是等边三角形，即：∠ACE=60°，
∴∠ACB=60°；
（2）过点C作CM⊥DG，CN⊥BE，

由（1）可知：∠ACE=∠ACB=60°，
∵△ABC≌△EDC，
∴BC=DC，
在和中，
∵，
∴，
∴∠EBC=∠GDC，
在△BCN和△DCM中，
∵，
∴△BCN△DCM，
∴NC=MC，
∵=，，
∴；
（3）由（1）可知：∠ACB=∠DCE=60°，延长BE交l于点S，延长BC交NH 于点T，

①当△GMN是等腰三角形，GN=GM时，
设∠EBC=α，∠BEC=β，
∴∠ECT=α+β，
∵l∥BC，
∴∠MSE=∠EBC=α，
∴∠GMN=∠MNG=α+β=∠NTB，
在和中，
∵，
∴，
∴∠CDG=∠EBC=α，
∵∠BOC=∠DOH，
∴∠DCB=∠DHO，
∵∠DHO=∠EBC+∠HTB=α+α+β=2α+β，
∴∠DCB=2α+β，
又∵∠DCB=180°-∠DCT=180°-（α+β）-60°=120°-α-β，
∴2α+β=120°-α-β，化简得：β=60°-α，
∴∠DCB=∠DHO=2α+β=2α+60°-α=60°+α，即：∠BCD=60°+∠EBC；
②当NG=NM时，
同理可得：∠GCT=α+β，
∴∠DCB=180°-∠DCT=180°-（α+β）-60°=120°-α-β，
又∵，
∴∠DGC=∠BFC=180°-60°-α=120°-α，
又∵∠DGM=60°+α，
∵NG=NM，l∥BC，
∴∠GCT=∠NMG=∠DGM，
∴α+β=60°+α，解得：β=60°，
∴∠BCD=180°-∠DCT=180°-60°-（60°+α）=60°-α，
∴∠BCD=60°-∠EBC（不合题意舍去）；
③当MN=MG时，
同理可得：∠MNG=∠MGN= ∠CGT=∠CTG=（180°-α-β）
∴∠BCD=∠CDT+∠DTC=α+（180°-α-β），
又∵∠BCD=180°-∠DCT=180°-60°-α-β=120°-α-β，
∴α+（180°-α-β）=120°-α-β，
∴β=60°-3α，
∴∠BCD=180°-∠DCT =180°-60°-α-β= 180°-60°-α-60°+3α=60°+2α，
即：∠BCD=60°+2∠EBC，
综上所述：∠BCD=60°+∠EBC或∠BCD=60°+2∠EBC．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，添加辅助线，构造全等三角形和等腰三角形，是解题的关键．