初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试课后测评

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形达标测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．无法确定

2、如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（   ）

A．两点确定一条直线

B．两点之间，线段最短

C．三角形具有稳定性

D．三角形的任意两边之和大于第三边

3、下列各条件中，不能作出唯一的的是（   ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

4、△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（　　）

A．8 B．10 C．11 D．12

5、如图，在中，，，AD平分交BC于点D，在AB上截取，则的度数为（    ）

A．30° B．20° C．10° D．15°

6、已知三角形的两边长分别为2cm和3cm，则第三边长可能是（    ）

A．6cm B．5cm C．3cm D．1cm

7、如图，在中，、分别平分、，过点作直线平行于，分别交、于点、，当大小变化时，线段和的大小关系是　　

A． B． C． D．不能确定

8、如图，，于点，与交于点，若，则等于（    ）

A．20° B．50° C．70° D．110°

9、已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠BDC的度数是（　　）

A．95° B．90° C．85° D．80°

10、如图，将的BC边对折，使点B与点C重合，DE为折痕，若，，则（    ）．

A．45° B．60° C．35° D．40°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在AC上，且BD＝BC，则∠BDC＝_______．

2、在平面直角坐标系中，点B（0，4），点A为x轴上一动点，连接AB．以AB为边作等腰Rt△ABE，（B、A、E按逆时针方向排列，且∠BAE为直角），连接OE．当OE最小时，点E的纵坐标为______．

3、等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为________．

4、如图，在中，，，，则的大小等于_______度．

5、如图，△ABC中，AB平分∠DAC，AB⊥BC，垂足为B，若∠ADC与∠ACB互补，BC＝5，则CD的长为_________．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点F，，，．求和的度数．

2、探究与发现：如图①，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．

（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；

（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．

（3）深入探究：如图②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．

3、如图，是的角平分线，于点．

（1）用尺规完成以下基本作图：过点作于点，连接交于点．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）中所作的图形中，求证：．

4、如图所示，四边形的对角线、相交于点，已知，．求证：

（1）；

（2）．

5、如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．

（1）求AE的长度；

（2）求∠AED的度数．

6、 “三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝∠AOB．

我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．

已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．

求证：∠APB ＝∠AOB．

7、如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，∠A=50°，求∠BCD的度数．

8、如图，为等边三角形，D是BC中点，，CE是的外角的平分线．

求证：．

9、已知，如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2＝60°．

（1）求证：△ADE≌△ABC；   

（2）求证：AE＝CE．

10、已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．

（1）求证：AB//CD；

（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；

（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．

【详解】

∵和全等，，对应

∴

∴AB=DF=4

故选：A．

【点睛】

本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．

2、C

【分析】

根据三角形具有稳定性进行求解即可．

【详解】

解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．

3、B

【分析】

根据三角形全等的判定及三角形三边关系即可得出结果．

【详解】

解：A、，不能组成三角形；

B、根据不可以确定选项中条件能作出唯一三角形；

C、根据可以确定选项中条件能作出唯一三角形；

D、根据可以确定选项中条件能作出唯一三角形；

故答案为：B．

【点睛】

本题考查确定唯一三角形所需要的条件及三角形三边关系，解题关键在于对全等判定条件的理解．

4、B

【分析】

证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF=CH．由题意可知BE=FH，则得出五边形DECHF的周长=AB+BC，则可得出答案．

【详解】

解：∵△GFH为等边三角形，

∴FH=GH，∠FHG=60°，

∴∠AHF+∠GHC=120°，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC=AC=5，∠ACB=∠A=60°，

∵∠AHF=180°-∠FHG-∠GHC =120°-∠GHC，

∠HGC=180°-∠C-∠GHC =120°-∠GHC，

∴∠AHF=∠HGC，

在△AFH和△CHG中

，

∴△AFH≌△CHG（AAS），

∴AF=CH．

∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，

∴BE=FH，

∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，

=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，

=AB+BC=10．

故选：B．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

5、B

【分析】

利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到∠DEA＝∠C，根据外角的性质可求的度数．

【详解】

解：∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠EAD＝∠CAD

在△ADE和△ADC中，

，

∴△ADE≌△ADC（SAS），

∴∠DEA＝∠C，

∵，∠DEA＝∠B +，

∴；

故选：B

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ADE≌△ADC．

6、C

【分析】

根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．

【详解】

解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：

3-2＜x＜3+2，

解得：1＜x＜5，

只有C选项在范围内．

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

7、C

【分析】

由平行线的性质和角平分线的定义可得，则，同理可得，则，可得答案．

【详解】

解：，

，

平分，

，

，

，

同理，

，

即．

故选：C

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键．

8、C

【分析】

由与，即可求得的度数，又由，根据两直线平行，同位角相等，即可求得的度数．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴．

故选：C．

【点睛】

题目主要考查了平行线的性质与垂直的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．

9、C

【分析】

根据SAS证△ABE≌△ACD，推出∠C＝∠B，求出∠C的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC＝∠A+∠C，代入求出即可．

【详解】

解：在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（SAS），

∴∠C＝∠B，

∵∠B＝25°，

∴∠C＝25°，

∵∠A＝60°，

∴∠BDC＝∠A+∠C＝85°，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．

10、A

【分析】

由折叠得到∠B=∠BCD，根据三角形的内角和得∠A+∠B+∠ACB=180°，代入度数计算即可．

【详解】

解：由折叠得∠B=∠BCD，

∵∠A+∠B+∠ACB=180°，，，

∴65°+2∠B+25°=180°，

∴∠B=45°，

故选：A．

【点睛】

此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质是解题的关键．

二、填空题

1、72°72度

【分析】

根据AB＝AC求出∠ACB，利用BD＝BC，求出∠BDC的度数．

【详解】

解：∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴，

∵BD＝BC，

∴∠BDC＝∠ACB＝72°，

故答案为：72°．

【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，熟记性质是解题的关键．

2、－2

【分析】

过E作EF⊥x轴于F，由三垂直模型，得EF＝OA，AF＝OB，设A（a，0），可求得E（a＋4，a），点E在直线y＝x－4上，当OE⊥CD时，OE最小，据此求出坐标即可．

【详解】

解：如图，过E作EF⊥x轴于F，

∵∠AOB=∠EFA=∠BAE=90°，

∴∠ABO+∠OAB=90°，∠EAF+∠OAB=90°，

∴∠ABO=∠EAF，

∵AB=AE，

∴△ABO≌△EAF，

∴EF＝OA，AF＝OB＝4，

取点C（4，0），点D（0，-4），

∴∠OCD=45°，

∵CF＝4- OF，OA＝4- OF，

∴CF＝OA ＝EF，

∴∠ECF=45°，

∴点E在直线CD上，当OE⊥CD时，OE最小，

此时△EFO和△ECO为等腰Rt△，

∴OF＝EF＝2，

此时点E的坐标为：（2，－2）．

故答案为：-2

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是确定点E运动的轨迹，确定点E的位置．

3、22

【分析】

分两种情况讨论：当腰长为时， 当腰长为时，再结合三角形的三边关系，从而可得答案.

【详解】

解： 等腰三角形的两边长分别是和，

当腰长为时，此时 不符合题意，舍去，

当腰长为时，此时 符合题意，

所以三角形的周长为：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关系，掌握“等腰三角形的两腰相等，再分情况讨论”是解本题的关键.

4、

【分析】

先根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形外角的性质得出求出的度数，最后根据三角形内角和求出的度数即可.

【详解】

解：，

，

，

，

，

，

故答案为：54

【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理和外角的性质，掌握相应的性质和定理是解答此题的关键.

5、10

【分析】

构造，再证得，求得EB=BC,再通过等量代换、等角的补角相等求得∠E=∠CDE，则CE=2BC=10．

【详解】

解：延长AD.和CB交于点E.

∵AB平分∠DAC

∴∠EAB=∠CAB

又∵

∴∠ABE=∠ABC

又∵AB=AB

∴

∴BC=EB=5，∠E=∠ACB，

又∵

∴∠ACB=∠CDE

∴∠E=∠CDE

∴.CD=CE

又∵CE=2BC=10

∴CD=10

故答案为：10．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，等角的补角相等，能根据全等三角形的性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．

三、解答题

1、87°，40°

【分析】

根据三角形外角的性质可得，，代入计算即可求出，再根据三角形内角和定理求解即可．

【详解】

解：∵，，

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了三角形内角和和外角的性质，解题关键是准确识图，理清角之间的关系，准确进行计算．

2、（1）30°；（2）∠BAD＝2∠CDE，理由见解析；（3）∠BAD＝2∠CDE．

【分析】

（1）根据三角形的外角的性质求出∠ADC，结合图形计算即可；

（2）设∠BAD＝x，根据三角形的外角的性质求出∠ADC，结合图形计算即可；

（3）设∠BAD＝x，仿照（2）的解法计算．

【详解】

解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝105°，

∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，

∴∠ADE＝∠AED＝75°，

∴∠CDE＝105°﹣75°＝30°；

（2）∠BAD＝2∠CDE，

理由如下：设∠BAD＝x，

∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝45°+x，

∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣x，

∴∠ADE＝∠AED＝，

∴∠CDE＝45°+x﹣＝x，

∴∠BAD＝2∠CDE；

（3）设∠BAD＝x，

∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠B+x，

∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2∠C﹣x，

∴∠ADE＝∠AED＝∠C+x，

∴∠CDE＝∠B+x﹣（∠C+x）＝x，

∴∠BAD＝2∠CDE．

【点睛】

本题考查了三角形内角和和外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形内角和和外角性质，通过设参数计算，发现角之间的关系

3、（1）见解析；（2）见解析．

【分析】

（1）以点D为圆心，适当长为半径，作弧，交AC于两点，再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，连接两条弧的交点所在的直线，该直线与AC的交点即为点F，连接交于点；

（2）利用角平分线性质可得，由此证明，得到，继而证明，证得即可解题．

【详解】

解：（1）如图，点F、G即为所求作的点；

（2）是的角平分线，，，

【点睛】

本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

4、

（1）证明见解析；

（2）证明见解析．

【分析】

（1）根据全等三角形的判定定理可直接证明；

（2）根据（1）中结论可得，再由等角对等边得出，运用等式的性质进行计算即可证明．

（1）

解：在与中，

，

∴；

（2）

由（1）可得：，

∴，

∵，

∴，

∴，

即．

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．

5、（1）；（2）．

【分析】

（1）先根据全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可得；

（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∵，

∴；

（2）∵，

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．

6、见解析

【分析】

由，得出为等腰三角形，由外角的性质及等量代换得，再次利用外角的性质及等量代换得，即可证明．

【详解】

解：，

为等腰三角形，

，

由外角的性质得：，

，

再由外角的性质得：，

，

．

【点睛】

本题考查了等腰三角形、外角的性质、解题的关键是掌握外角的性质及等量代换的思想进行求解．

7、25°

【分析】

直接利用等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，进而利用三角形内角和定理得出答案．

【详解】

∵AB=AC，∠A=50°，

∴∠ABC=∠ACB=65°，

∵CD⊥BC于点D，

∴∠BCD的度数为：180°−90°−65°=25°．

【点睛】

此题主要考查了等腰三角形的性质，正确得出∠B的度数是解题关键．

8、证明见解析.

【分析】

过D作DG∥AC交AB于G，由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDG＝∠BGD＝60°，于是得到△BDG是等边三角形，再证明△AGD≌△DCE即可得到结论.

【详解】

证明：过D作DG∥AC交AB于G，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，

又∵DG∥AC，

∴∠BDG＝∠BGD＝60°，

∴△BDG是等边三角形，∠AGD＝180°−∠BGD＝120°，

∴DG＝BD，

∵点D为BC的中点，

∴BD＝CD，

∴DG＝CD，

∵EC是△ABC外角的平分线，

∴∠ACE＝（180°−∠ACB）＝60°，

∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝120°＝∠AGD，

∵AB＝AC，点D为BC的中点，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

又∵∠BDG＝60°，∠ADE＝60°，

∴∠ADG＝∠EDC＝30°，

在△AGD和△ECD中，

，

∴△AGD≌△ECD（ASA）．

∴AD＝DE．

【点睛】

本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

9、（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据∠1＝∠2可推出∠DAE=∠BAC，然后结合全等三角形的判定定理进行证明；

（2）由全等三角形的性质可得AE＝AC，结合∠2＝60°可推出△AEC为等边三角形，据此证明．

【详解】

（1）证明：∵∠1＝∠2

∴∠1+＝∠2+  

 即∠DAE=∠BAC

在△ADE和△ABC中

 ∴△ADE≌△ABC（ASA）

（2）证明：∵△ADE≌△ABC

∴AE＝AC

又∵∠2＝60°

∴△AEC为等边三角形

∴AE＝CE

【点睛】

此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，等边三角形的性质和判定方法．

10、（1）见解析；（2）见解析；（3）108°

【分析】

（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG＝∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；

（2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代换得∠DGC+∠AHF=180°可判断EC//BF，两直线平行同位角相等得出∠B=∠AEG，结合（1）得出结论；

（3）由（2）证得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度数，由三角形内角和定理求得∠D的度数．

【详解】

证明：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC

∴∠AEG=∠C  

∴AB//CD

（2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180°

∴∠DGC+∠AHF=180°

∴EC//BF 

∴∠B=∠AEG

由（1）得∠AEG=∠C  

∴∠B=∠C

（3）由（2）得EC//BF

∴∠BFC+∠C=180°

∵∠BFC=4∠C  

∴∠C=36°  

∴∠DGC=36°

∵∠C+∠DGC+∠D=180°  

∴∠D=108°

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．