新教材2023年高中数学第2章一元二次函数方程和不等式综合测试新人教A版必修第一册

第二章综合测试

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列命题正确的是(　D　)

A．若a>b，则<

B．若a>b>0，c>d，则a·c>b·d

C．若a>b，则a·c2>b·c2

D．若a·c2>b·c2，则a>b

[解析]　由题意，对于选项A中，当a>0>b时，此时>，所以A是错误的；对于选项B中，当0>c>d时，此时不等式不一定成立，所以B是错误的；对于选项C中，当c＝0时，不等式不成立，所以C是错误的．

根据不等式的性质，可得若ac2>bc2时，则a>b是成立的，所以D是正确的．

2．若集合A＝，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝(　C　)

A．{x|－2≤x<2}　　 B．{x|－1<x≤1}

C．{x|－1<x<1}　　 D．{x|－1<x<2}

[解析]　由题意，A＝＝{x|－2≤x<1}，B＝{x|－1<x<2}，

则A∩B＝{x|－1<x<1}．

3．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(　B　)

A．A≥B　　 B．A>B

C．A<B　　 D．A≤B

[解析]　因为a，b都是正实数，且a≠b，

所以A＝＋>2＝2，即A>2，

B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2

＝－(x－2)2＋2≤2，

即B≤2，所以A>B.

4．已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于(　B　)

A．10　　 B．9

C．8　　 D．7

[解析]　＋＝(2a＋b)

＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，

当且仅当a＝b＝时，取得最小值9.

所以m≤9.

5．若不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R，则实数a的取值范围是(　D　)

A．{a|－16<a<0}　　 B．{a|－16<a≤0}

C．{a|a<0}　　 D．{a|－8<a<8}

[解析]　不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R，

所以Δ＝a2－4×4×4<0，解得－8<a<8，

所以实数a的取值范围是{a|－8<a<8}．

6．当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立，则实数m的取值范围是(　A　)

A．{m|m<6}　　 B．{m|m≤6}

C．{m|m≥6}　　 D．{m|m>6}

[解析]　当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立⇔当x>0时，不等式m<x＋恒成立⇔m<min，当x>0时，x＋≥2＝6(当且仅当x＝3时取“＝”)，因此min＝6，所以m<6.

7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＋b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为(　C　)

A．4　　 B．4

C．8　　 D．8

[解析]　由题意，p＝10，

S＝＝≤·＝8，

当且仅当a＝b＝6时取等号，所以此三角形面积的最大值为8.

8．设实数1<a<2，关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为(　B　)

A．{x|3a<x<a2＋2}　　 B．{x|a2＋2<x<3a}

C．{x|3<x<4}　　 D．{x|3<x<6}

[解析]　原不等式可化为(x－3a)(x－a2－2)<0.

∵1<a<2，

∴3a>a2＋2，所以不等式的解集为{x|a2＋2<x<3a}．故选B．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9．下列命题正确的是(　BCD　)

A．若a>b，则∀c∈R，ac>bc

B．若a>b，则∃c∈R，ac>bc

C．若a>b，则∀c∈R，a＋c>b＋c

D．若a>b，则∃c∈R，a>c，c>b

[解析]　当c≤0时，ac≤bc，故选项A不正确；若a>b，当c>0时，ac>bc，所以∃c∈R，ac>bc，故选项B正确；若a>b，则∀c∈R，a＋c>b＋c，故选项C正确；若a>b，则∃c∈R，a>c，c>b，故选项D正确，故选BCD．

10．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　BCD　)

A．a>0　　 B．b>0

C．c>0　　 D．a＋b＋c>0

[解析]　因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故BC正确；由二次函数的图象可知f(1)＝a＋b＋c>0，f(－1)＝a－b＋c<0，故D正确，故选BCD．

11．使不等式x2－x－6<0成立的充分不必要条件是(　AC　)

A．－2<x<0　　 B．－3<x<2

C．0<x<3　　 D．－2<x<4

[解析]　由x2－x－6<0得－2<x<3，

若使不等式x2－x－6<0成立的充分不必要条件，则对应范围是{x|－2<x<3}的真子集，故选AC．

12．设a、b是正实数，下列不等式中正确的是(　BD　)

A．>　　 B．a>|a－b|－b

C．a2＋b2>4ab－3b2　　 D．ab＋>2

[解析]　对于A，>⇒1>⇒>，当a＝b>0时，不等式不成立，故A中不等式错误；对于B，a＋b>|a－b|⇒a>|a－b|－b，故B中不等式正确；对于C，a2＋b2>4ab－3b2⇒a2＋4b2－4ab>0⇒(a－2b)2>0，当a＝2b时，不等式不成立，故C中不等式错误；对于D，ab＋≥2>2，故D中不等式正确．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)

13．不等式>2的解集是__{x|－4<x<－1}__.

[解析]　原不等式可化为－2>0，整理得>0，即<0，所以(x＋4)(x＋1)<0，

故－4<x<－1，所以原不等式的解集为{x|－4<x<－1}．故答案为{x|－4<x<－1}．

14．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a＝__－6__，c＝__－1__.

[解析]　由题意知a<0，且不等式对应方程的两个根分别为，，根据根与系数的关系得解得

15．已知命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0为真命题，则实数a的取值范围是__{a|0≤a<4}__.

[解析]　①当a＝0时，1>0对∀x∈R恒成立；②当a≠0时，则解得0<a<4.

综上所述，实数a的取值范围是{a|0≤a<4}．

16．已知x>0，y>0，且4x＋y＝1，则＋的最小值为__17__.

[解析]　∵x>0，y>0，且4x＋y＝1，则＋＝1＋＋＝1＋(4x＋y)＝9＋＋≥9＋2＝17.

当且仅当＝，即y＝4x且4x＋y＝1取等号，此时x＝，y＝.

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．

(1)求a，b的值；

(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.

[解析]　(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，

所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b>1且a>0.

由根与系数的关系，得解得

(2)由(1)知不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0可化为x2－(2＋c)x＋2c<0，

即(x－2)(x－c)<0.

当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}；

当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}；

当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅.

18．(本小题满分12分)(1)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值；

(2)求函数y＝(x>－1)的最小值．

[解析]　(1)xy＝2x＋y＋6≥2＋6，

令xy＝t2，可得t2－2t－6≥0.

又∵t>0，解得t≥3，故xy的最小值为18.

(2)设x＋1＝t，则x＝t－1(t>0)，

∴y＝＝t＋＋5≥2＋5＝9.

当且仅当t＝，即t＝2，且此时x＝1时，取等号，

∴ymin＝9.

19．(本小题满分12分)(2021·天津高一联考)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0(a<0)．

(1)当a＝－5时，求此不等式的解集；

(2)求关于x的不等式ax2－3x＋2>－ax＋5的解集．

[解析]　(1)当a＝－5时，－5x2－3x＋2>0，

即5x2＋3x－2<0，

可化为(5x－2)(x＋1)<0，

解得－1<x<，

所以不等式的解集为.

(2)不等式ax2－3x＋2>－ax＋5可化为ax2＋ax－3x－3>0，即(ax－3)(x＋1)>0.

a<0，不等式为(x＋1)<0.

①当a<－3时，>－1，

不等式的解集为；

②当a＝－3时，＝－1，不等式的解集为∅；

③当－3<a<0时，<－1，

不等式的解集为.

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.

(1)若a＝2，试求函数y＝在x∈{x|x>4}上的最小值；

(2)对于任意的x∈{x|0≤x≤2}，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．

[解析]　(1)依题意得y＝＝＝x＋＝＋＋4，

∵x>4，∴x－4>0，>0，∴(x－4)＋≥2＝2，当且仅当x－4＝即x＝5时，等号成立．所以，y≥6，即函数y＝在x∈{x|x>4}上的最小值为6.

(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“∀x∈{x|0≤x≤2}，不等式f(x)≤a成立”，

只要“x2－2ax－1≤0在x∈{x|0≤x≤2}上恒成立”．不妨设g(x)＝x2－2ax－1，则只要g(x)≤0，

在x∈{x|0≤x≤2}上恒成立，所以，即解得a≥，

所以a的取值范围是.

21．(本小题满分12分)已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x(x≥40)万部并且全部销售完，每万部的收入为R(x)万元，且R(x)＝－.

(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数关系式；

(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

[解析]　(1)由题意，可得年利润W关于年产量x的函数关系式为W＝xR(x)－(160x＋400)

＝x－(160x＋400)

＝74 000－－160x－400

＝73 600－－160x(x≥40)．

(2)由(1)可得W＝73 600－－160x

≤73 600－2

＝73 600－16 000＝57 600，

当且仅当＝160x，即x＝50时取等号，所以当年产量为50万部时，公司在该款手机的生产中获得最大利润为57 600万元．

22．(本小题满分12分)已知函数y＝x2＋mx＋n(m，n∈R)．

(1)若m＋n＝0，解关于x的不等式x2＋mx＋n≥x(结果用含m式子表示)；

(2)若存在实数m，使得当x∈{x|1≤x≤2}时，不等式x≤x2＋mx＋n≤4x恒成立，求负数n的最小值．

[解析]　(1)由题得：x≤x2＋mx－m，即(x＋m)(x－1)≥0；

①m＝－1时可得x∈R；

②m<－1时，－m>1，可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥－m}；

③m>－1时，－m<1，

可得不等式的解集为{x|x≤－m或x≥1}．

(2)x∈{x|1≤x≤2}时，x≤x2＋mx＋n≤4x恒成立，

即为1≤x＋＋m≤4对x∈{x|1≤x≤2}恒成立，

即存在实数m，使得－x－＋1≤m≤－x－＋4对x∈{x|1≤x≤2}恒成立，

所以max≤m≤min，

即max≤min.

由y＝－x－(n<0)在x∈{x|1≤x≤2}上递减，

所以－n≤2－，即n≥－4，所以负数n的最小值为－4.