高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率学案设计

2.1  直线的倾斜角与斜率

2.1.1  倾斜角与斜率

【学习目标】

【自主学习】

一．直线的倾斜角

1.倾斜角的定义

(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴__正向__与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为    ．

2.直线的倾斜角α的取值范围为          ．

二．直线的斜率

1.直线的斜率

把一条直线的倾斜角α的        叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝     ．

图象：

2.斜率与倾斜角的对应关系

常见角与正切值：

3.过两点的直线的斜率公式

过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝      ．

注意：当x1＝x2时，斜率不存在．

思考1：只给出一个倾斜角能确定一条直线吗？

思考2：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？

【小试牛刀】

1.思辨解析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．(　　)

(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.(　　)

(3)若直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.(　　)

(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞).(　　)

2.若直线过点(1,3)，(4,3＋)，则此直线的倾斜角是(　　)

A．       B．        C． D．

【经典例题】

题型一　直线的倾斜角

点拨：求直线的倾斜角的方法及注意事项

1.方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．

2.两点注意事项：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.

例1 下列命题正确的是(　　)

A.两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行

B.若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α

C.若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α的度数可以大于60°

D.若α是直线l的倾斜角，且tan α＝，则α＝45°

【跟踪训练】1 已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________.

题型二　直线斜率的运算

点拨：解决斜率问题的方法

1.由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．

2.由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．

例2 (1)（利用斜率定义）若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为(　　)

A.   B．－   C.   D．－

(2)（利用斜率公式）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.

①A(2,3)，B(4,5)；②C(－2,3)，D(2，－1)；③P(－3,1)，Q(－3,10).

【跟踪训练】2 已知点M(0，b)与点N(－，1)连成直线的倾斜角为120°，则b＝     ．

题型三　 利用数形结合求倾斜角或斜率范围

点拨：求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．

例3 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．

(1)求直线l的斜率k的取值范围；

(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．

【跟踪训练】3 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围.

题型四　直线的斜率的应用

点拨：

1.用斜率公式解决三点共线的方法

2.求代数式最值或范围的方法

由斜率公式k＝的形式，可知代数式的几何意义是过P(x，y)与P′(a，b)两点的直线的斜率．故可以利用数形结合来求解．

例4 已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值.

【跟踪训练】4 已知三点A(0,1)，B(1,3)，C(2,5)，求证：A，B，C三点共线.

【当堂达标】

1.（多选）对于下列选项中正确的是(　　)

A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°

B.若k是直线的斜率，则k∈R

C.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

D.任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角

2.如图所示，直线l的倾斜角为(　　)

A．45°    B．135°   C．0°    D．不存在

3.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于(　　)

A.2     B.1      C.－1     D.－2

4.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　）

A．k1＜k2＜k3   B．k3＜k1＜k2   C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2

5.在线段上运动，已知，则的取值范围是_______.

6.如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求实数m的值.

【参考答案】

【自主学习】

一．正向   0°   0°≤α＜180°

二．90° k＝0  k>0  k<0  正切值  tan α  

思考1：不能．倾斜角只能确定直线的方向，要确定直线还需知道直线上的一个点．

思考2：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．

【小试牛刀】

1. (1) ×  (2)×   (3)×  (4) √

2.A 解析：k＝＝＝tan α，∴α＝．

【经典例题】

例1  A 解析　0°≤α＜180°，当α＝90°，此时直线不存在斜率，B错；α＝60°时，3α＝180°，C错；tan 45°＝1，D错．

【跟踪训练】1 60°或120°  解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.

②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.

例2 （1） A 解析　k＝tan 60°＝.

（2）解　①存在.直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1，

又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.

②存在.直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.

③不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，所以倾斜角α＝90°.

【跟踪训练】2 －2 解析：tan 120°＝－＝，解b＝－2．

例3 解　如图所示，由题意，知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.

(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.

(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.

【跟踪训练】3解　如图所示.

∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.

例4 解　如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为(2，4)，(3，2)．

由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，

所以可求得的最大值为2，最小值为.

【跟踪训练】4  证明　∵kAB＝＝2，kBC＝＝2，∴kAB＝kBC，∴A，B，C三点共线.

【当堂达标】

1. ABC  
2. B

3.A 解析　由题意知，tan 45°＝，得m＝2.

4.D 解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故选:D.

5. 解析：表示线段上的点与连线的斜率，

因为，所以由图可知的取值范围是．

6.解　kAB＝＝，kAC＝＝，∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即＝，∴m＝－6.