【同步导学案】高中数学人教A版(2019)选修第一册-- 2.1.1倾斜角与斜率 导学案（有答案）

2.1.1　倾斜角与斜率

【学习目标】

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．

2.掌握求直线斜率的两种方法．

3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素.

【学习过程】

一、课前预习

预习课本P51～54，思考并完成以下问题

1．直线的倾斜角的定义是什么？

2．直线的倾斜角的范围是什么？

3．直线的斜率的计算公式是怎样的？

二、课前小测

1．斜率不存在的直线一定是(　　)

A．过原点的直线　　　 B．垂直于x轴的直线

C．垂直于y轴的直线  D．垂直于过原点的直线

2．已知直线l的倾斜角α＝30°，则其斜率k的值为(　　)

A．0　　　　B.　　　　C．1　　　　D.

3．已知P1(3,5)，P2(－1，－3)，则直线P1P2的斜率k等于(　　)

A．2       B．1         C.         D．不存在

三、新知探究

一、倾斜角的概念和范围

1．直线l的倾斜角的概念

一个前提：直线l与x轴相交；一个基准：取x轴作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上方向．

2．倾斜角的范围

当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°. 因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°.

二、斜率的概念及斜率公式

1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率．

2．记法：斜率常用k表示，即k＝tanα.

3．斜率与倾斜角的对应关系

4.公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝.

四、题型突破

题型一　直线的倾斜角

[例1]　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)

A．α＋45°　　　　　　　 B．α－135°

C．135°－α  D．α＋45°或α－135°

方法总结

求直线倾斜角的方法及关注点

跟踪训练

1．已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．

题型二　直线的斜率

[例2]　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.

(1)A(2,3)，B(4,5)；

(2)C(－2,3)，D(2，－1)；

(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．

反思感悟

(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项

①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；

②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．

(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．

跟踪训练

2．(1)直线过两点A(1,3)，B(2,7)，求直线的斜率；

(2)过原点且斜率为1的直线l，绕原点沿逆时针方向旋转90°到达l′位置，求l′的斜率．

题型三　直线的倾斜角、斜率的应用

1. 三点共线问题

[例3]　如果A，B(4，－1)，C(－4，－m)三点在同一条直线上，试确定常数m的值．

反思感悟

用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴．当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时，三点共线．否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可．

2. 数形结合法求倾斜角或斜率范围

[例4]　直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．

反思感悟

(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．

(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．

(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．

跟踪训练

3．已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)

A．(－1,0]                       B．[0,1]

C．[1,2]                         D．[0,2]

五、达标检测

1．已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为(　　)

A．3　　B．－2　　　　C．2　　　　D．不存在

2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率为0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为(　　)

A．－2       B．0          C.          D．2

3．已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.

六、本课小结

1．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．

2．直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系．学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系．

3．运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k＝应注意的问题：

(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应)．

(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在．

参考答案

课前小测

1．答案：B

2．答案：B

3．答案：A

题型突破

[例1]　解析：由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°<180°(0°≤α<180°)，即0°≤α<135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α<180°，所以当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)．

答案：D

跟踪训练

1．解析：有两种情况：

(1)如图①，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.

(2)如图②，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.

答案：60°或120°

[例2]　解析：

(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，

即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.

(2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，

即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.

(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.

跟踪训练

2．解析：

(1)由题意知两点的横坐标不相等，则直线存在斜率，

根据直线的斜率公式得k＝＝4.

(2)直线l的斜率k＝1，所以直线l的倾斜角为45°，

所以直线l′的倾斜角为45°＋90°＝135°，

即l′的斜率k′＝tan 135°＝－1.

[例3]　解析：由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，

由斜率公式，得kAB＝＝，kBC＝＝.

∵点A，B，C在同一条直线上，∴kAB＝kBC.

∴＝，即m2－3m－12＝0，

解得m1＝，m2＝.

∴m的值是或.

[例4]　解析：如图所示．

∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，

∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，

∴45°≤α≤120°.

跟踪训练

3．解析：由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.

答案：D

达标检测

1．解析：kAB＝＝－2.

答案：B

2．解析：直线AC、AB的倾斜角分别是60°、120°或120°、60°，

则斜率之和为＋(－)＝0.

答案：B

3．解析：若平面内三点共线，则kAB＝kBC，

即＝，整理得a2－2a－1＝0，

解得a＝1＋或a＝1－(舍去)．

答案：1＋