高中数学人教A版2019必修第二册 立体几何外接球内切球题型专项专练
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立体几何外接球内切球题型
点评：空间几何体外接球和内接球是立体几何考察的一个重点，常见题型以选择题或填空题为主，构建球心组成勾股定理求解比较方便
题型一：空间几何体的外接球补全长方体或正方体
1、三棱锥的顶点都在同一球面上，其中、、两两垂直，且，，，则该球的表面积为( )
A． B． C． D．
2、已知点，，，均在同一个球面上，且平面，，，则该球的表面积为( )
A． B． C． D．
题型二：空间几何体棱锥棱柱构建勾股定理求解外接球问题
3、已知四面体的每个顶点都在球的球面上，平面，，，则球的体积为( )
A． B． C． D．
4、已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（ ）
A．64π B．48π C．36π D．32π
5、已知△ABC的三个顶点都在球O上，，，且三棱锥，则球O的体积为( )
A． B． C． D．36
6、已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（ ）
A．8π B．4π C．2π D．π
题型三：空间几何体的内切球
7、已知棱长为的正四面体的外接球表面积为，内切球表面积为，则( )
A．9 B．3 C．4 D．
8、已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球(球与圆锥的底面和侧面均相切)的表面积为______.
解析
题型一：空间几何体的外接球补全长方体或正方体
1、三棱锥的顶点都在同一球面上，其中、、两两垂直，且，，，则该球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
在三棱锥中，、、两两垂直，将该三棱锥补成长方体，
则长方体的体对角线长为，
所以，三棱锥的外接球半径为，
因此，该三棱锥外接球的表面积为.
故选：C.
2、已知点，，，均在同一个球面上，且平面，，，则该球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
解：在三棱锥中，平面，，故可将三棱锥补形成如图所示的长方体．
若，，，为球的球面上的四个点，则该长方体的各顶点亦在球的球面上．
设球的半径为，则该长方体的体对角线长为，即，
从而球的表面积，
故选：C．
题型二：空间几何体棱锥棱柱构建勾股定理求解外接球问题
3、已知四面体的每个顶点都在球的球面上，平面，，，则球的体积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
解：平面，平面，，
根据正弦定理，外接圆确定．
设为外接圆的圆心，则，，，
球的体积.
故选：C.
4、已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（ ）
A．64π B．48π C．36π D．32π
【答案】A
【解析】由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则
AO1＝ABsin60°，，
∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2，
外接球的半径为：R4，
球O的表面积：4×π×42＝64π．
故选：A．
5、已知△ABC的三个顶点都在球O上，，，且三棱锥，则球O的体积为( )
A． B． C． D．36
【答案】D
△ABC中，，，则
取中点H，连接OH，则点H为△ABC所在小圆圆心，平面ABC
则，解之得
则球O的半径
则球O的体积为
故选：D
6、已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（ ）
A．8π B．4π C．2π D．π
【答案】D
【解析】如图，
由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，
则顶点P在底面的射影O1为底面三角形的中心，连接BO1 并延长，交AC于G，
则AC⊥BG，又PO1⊥AC，PO1∩BG＝O1，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，
∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，
又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面PAC，
∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为D
．
半径为，则球O的体积为．
故选：D．
题型三：空间几何体的内切球
7、已知棱长为的正四面体的外接球表面积为，内切球表面积为，则( )
A．9 B．3 C．4 D．
【答案】A
如图所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为，由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．
在Rt△中，，即，
又，可得，.
故选：A．
8、已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球(球与圆锥的底面和侧面均相切)的表面积为______.
【答案】
有题意可知，，所以
所以，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，
所以，
所以该圆锥的内切球的表面积为.
故答案为：
