高中数学人教A版2019必修第二册 立体几何外接球内切球题型专项专练

这是一份高中数学人教A版2019必修第二册 立体几何外接球内切球题型专项专练，共7页。
立体几何外接球内切球题型点评：空间几何体外接球和内接球是立体几何考察的一个重点，常见题型以选择题或填空题为主，构建球心组成勾股定理求解比较方便题型一：空间几何体的外接球补全长方体或正方体 1、三棱锥的顶点都在同一球面上，其中、、两两垂直，且，，，则该球的表面积为(   )A． B． C． D．   2、已知点，，，均在同一个球面上，且平面，，，则该球的表面积为(   )A． B． C． D．  题型二：空间几何体棱锥棱柱构建勾股定理求解外接球问题 3、已知四面体的每个顶点都在球的球面上，平面，，，则球的体积为(   )A． B． C． D．  4、已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（　　）A．64π B．48π C．36π D．32π   5、已知△ABC的三个顶点都在球O上，，，且三棱锥，则球O的体积为(       )A． B． C． D．36  6、已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（　　）A．8π B．4π C．2π D．π   题型三：空间几何体的内切球 7、已知棱长为的正四面体的外接球表面积为，内切球表面积为，则(       )A．9 B．3 C．4 D．  8、已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球(球与圆锥的底面和侧面均相切)的表面积为______.
解析题型一：空间几何体的外接球补全长方体或正方体 1、三棱锥的顶点都在同一球面上，其中、、两两垂直，且，，，则该球的表面积为(   )A． B． C． D．【答案】C在三棱锥中，、、两两垂直，将该三棱锥补成长方体，则长方体的体对角线长为，所以，三棱锥的外接球半径为，因此，该三棱锥外接球的表面积为.故选：C.2、已知点，，，均在同一个球面上，且平面，，，则该球的表面积为(   )A． B． C． D．【答案】C解：在三棱锥中，平面，，故可将三棱锥补形成如图所示的长方体．若，，，为球的球面上的四个点，则该长方体的各顶点亦在球的球面上．设球的半径为，则该长方体的体对角线长为，即，从而球的表面积，故选：C．题型二：空间几何体棱锥棱柱构建勾股定理求解外接球问题 3、已知四面体的每个顶点都在球的球面上，平面，，，则球的体积为(   )A． B． C． D．【答案】C解：平面，平面，，根据正弦定理，外接圆确定．设为外接圆的圆心，则，，，球的体积.故选：C. 4、已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（　　）A．64π B．48π C．36π D．32π【答案】A  【解析】由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则AO1＝ABsin60°，，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2，外接球的半径为：R4，球O的表面积：4×π×42＝64π．故选：A．5、已知△ABC的三个顶点都在球O上，，，且三棱锥，则球O的体积为(       )A． B． C． D．36【答案】D△ABC中，，，则取中点H，连接OH，则点H为△ABC所在小圆圆心，平面ABC则，解之得则球O的半径则球O的体积为故选：D 6、已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（　　）A．8π B．4π C．2π D．π【答案】D   【解析】如图，由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O1为底面三角形的中心，连接BO1 并延长，交AC于G，则AC⊥BG，又PO1⊥AC，PO1∩BG＝O1，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面PAC，∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为D．半径为，则球O的体积为．故选：D． 题型三：空间几何体的内切球 7、已知棱长为的正四面体的外接球表面积为，内切球表面积为，则(       )A．9 B．3 C．4 D．【答案】A如图所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为，由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．在Rt△中，，即，又，可得，.故选：A．8、已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球(球与圆锥的底面和侧面均相切)的表面积为______.【答案】有题意可知，，所以所以，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，所以，所以该圆锥的内切球的表面积为.故答案为：