【全套专题】初中数学同步 8年级上册 第30课 整式的乘除与因式分解 全章复习（教师版含解析）

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第30课 整式的乘除与因式分解 全章复习目标导航知识精讲知识点01 幂的运算同底数幂的乘法：( m，n 为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.幂的乘方： ( m，n 为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.积的乘方：( n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.同底数幂的除法：( a ≠0, m，n 为正整数，并且 m  n ).同底数幂相除，底数不变，指数相减.零指数幂： a0  1a  0. 即任何不等于零的数的零次方等于 1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.知识点02 整式的乘法和除法单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即m(a  b  c)  ma  mb  mc ( m, a, b, c 都是单项式).多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即a  bm  n  am  an  bm  bn.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式 ． 根 据 多 项 式 的 乘 法 ， 能 得 出 一 个 应 用 比 较 广 泛 的 公 式 ： x  a x  b  x2  a  b x  ab .单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即： (am  bm  cm)  m  am  m  bm  m  cm  m  a  b  c知识点03 乘法公式1.平方差公式： (a  b)(a  b)  a2  b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里， a，b 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式： a  b2  a2  2ab  b2 ； (a  b)2  a 2  2ab  b 2两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和(或差)的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之积的 2 倍.知识点04 因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次.能力拓展考法01 幂的运算【典例1】【思路点拨】由于已知 x2m 的值，所以逆用幂的乘方把 x6m 变为(x2m )3 ，再代入计算．【答案与解析】【即学即练1】【答案】解：(1) b  a  c ； (2) 330  2710  920提示：(1)转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为 12；(2)转化成比较同底数不同指数，底数转化为 3.考法02 整式的乘除法运算【典例2】已知代数式(mx2+2mx﹣1)(xm+3nx+2)化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出 m，n 的值，并求出一次项系数．【思路点拨】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个四次多项式，所以x 的最高指数 m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为 0，即可解答．【答案与解析】解：(mx2+2mx﹣1)(xm+3nx+2)=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2，因为该多项式是四次多项式，所以 m+2=4， 解得：m=2，原式=2x4+(6n+4)x3+(3+12n)x2+(8﹣3n)x﹣2∵多项式不含二次项，∴3+12n=0，【即学即练2】【答案】 考法03 乘法公式【典例3】计算：(1) a  b  c  d a  b  c  d  ；(2) 2x  3y 12x  3y  5 ．【思路点拨】(1)中可以将两因式变成 a  b 与c  d 的和差.(2)中可将两因式变成2  3y与2x  3 的和差.【答案与解析】解：(1)原式 [(a  b)  (c  d )][(a  b)  (c  d )]  (a  b)2  (c  d )2 a2  2ab  b2  c2  2cd  d 2 ．(2)原式 [(2  3y)  (2x  3)][(2  3y)  (2x  3)] 2  3y 2  2x  32 9 y2  4x2 12 y 12x  5 .【总结升华】(1)在乘法计算中，经常同时应用平方差公式和完全平方公式．(2)当两个因式中的项非常接近时，有时通过拆项用平方差公式会达到意想不到的效果．【即学即练3】计算： 3(22 1)(24 1)(28 1) 1 ．【答案】解 ： 3(22 1)(24 1)(28 1) 1  (22 1)(22 1)(24 1)(28 1) 1 (24 1)(24 1)(28 1) 1 (28 1)(28 1) 1  216 11  216【典例4】已知 x2  y2  z2  2x  4 y  6z 14  0 ，求代数式(x  y  z)2012 的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出 x, y, z .【答案与解析】【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.【即学即练4】【答案】【典例5】求证：无论 x，y 为何有理数，多项式 x2  y2  2x  6 y 16 的值恒为正数．【答案与解析】解：原式＝  x 12   y  32  6  0所以多项式的值恒为正数.【即学即练5】【答案】考法04 因式分解【典例6】分解因式：(1) x2  22  x2  2  2(2) x2  4x2  x2  4x  20(3) 4a2  4ab  b2  6a  3b  4【答案与解析】解：(1)原式 x2  2  2x2  2 1   x  2 x  2 x 1 x 1(2)原式＝ x2  4x2  (x2  4x)  20  x2  4x  5x2  4x  4  x  5 x 1 x  22(3)原式＝ 2a  b2  32a  b  4  2a  b  42a  b 1【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.课程标准掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘(或除以)单项式、多项式乘(或除以)单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；会推导乘法公式(平方差公式和完全平方公式)，了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法(直接运用公式不超过两次)这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.