【典型例题】人教版五年级数学下册典型学案+练习（带答案）10最大公因数与约分

最大公因数与约分（教师版）

课首沟通

1. 上次学习的分数的意义和性质都掌握了吗？
2. 今天我们将继续学习分数的有关内容，你准备好了吗？

知识导图

课首小测

1. [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 如果a与b是两个不同的质数，那么a与b的最大公因数是（ ）。

【参考答案】1

2. [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] A＝2×5×7，B＝2×2×3×5，A和B的最大公因数是（ ）。

【参考答案】10

3.   [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 六一儿童节那天，某慈善工会买了320个苹果、240个桔子、200个雪梨，去看望福利院的小朋友，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物？

【参考答案】40份

【题目解析】(320,240,200)=40，所以最多可以分成40份同样的礼物。

4. [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 求下列数的最大公因数。

5和6 64和16 24和56

【参考答案】1；16；8

【题目解析】5和6互质，最大公因数是1；64和16的最大公因数是2×2×2×2=16；24和56的最大公因数是2×2×2=8

导学一 ： 最大公因数

知识点讲解 1：最大公因数

1.最大公因数：几个数相同的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个因数，叫这几个数的最大公因数。 例如：16的因数有（1、2、4、8、16），12的因数有（1、2、3、4、6、12），

12和16的公因数有（ 1、2、4 ），最大公因数是（ 4 ）。

当两个数成倍数关系时，最大公因数是那个较大的数。如：13与52的最大公因数是（ 52 ）。

当两个数是互质数时，最大公因数是（ 1 ）。2.寻找最大公因数的方法：

（1）  分别找出这几个数的因数，再找出公有因数（或倍数）中最大（或最小）的一个；

（2）  分解质因数：

24和36的最大公因数是：

（3） 
短除法：

24和36的最大公因数是：

3. 互质数：公因数只有（ ）的两个数叫做互质数。
4. 两个数互质的特殊判断方法：

（1）1和任何大于1的自然数互质。

（2）2和任何奇数都是互质数。

（3）  相邻的两个自然数是互质数。

（4）  相邻的两个奇数互质。

（5）  不相同的两个质数互质。

（6）  当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。

例题

1.   [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 如果a、b互质（a和b都是自然数，且a，b≠0），则a和b的最大公因数是（              ）。

【参考答案】1

【题目解析】当两个数互质的时候，只有公因数1，所以最大公因数就是1.

2. [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 已知a＝2×3×5，b＝2×3×11，则a、b的最大公因数是

（ ）。

【参考答案】6

【题目解析】2×3=6，所以最大公因数是6。

3. [求几个数的最大公因数的方法] [难度： ★★ ] 用短除法求24和36的最大公因数。

【参考答案】24和36的最大公因数是6

【题目解析】2×2×3=12，最大公因数是12。

【思维对话】学生思维障碍点：

在短除法运算过程中要注意些什么？所提取的因数有什么特点？

当两个数互质的时候怎么求最大公因数？当两个数成倍数关系时，又是怎么求最大公因数的？ 学生思维障碍点突破方法：

让学生理解短除法求最大公因数的意义，还需要和学生分析互质数和倍数关系的时候是怎么求最大公因数。

4.   [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 将一个长60厘米、宽45厘米、高75厘米的长方体，分割成同样大小的正方体，并使它们的体积尽可能大且没有多余，这些正方体的棱长是多少？可分割成多少个？

【参考答案】15厘米，60个

【题目解析】棱长：（60，45，75）＝15（厘米）

（60÷15）×（45÷15）×（75÷15）＝60（个） 答：正方体的棱长是15厘米，可分割成60个。

5.   [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 某幼儿园大班老师借阅图书，如果借37本，平均分给每个小朋友后还剩1本；如果借56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如果借75本，平均分给每个小朋友后还剩3本。这个班的小朋友最 多有多少人？

【参考答案】18人

【题目解析】37-1＝36（本），56-2＝54（本），75-3＝72（本）

（36，56，72）＝18（人）

【思维对话】学生思维障碍点：

当所分的书还有剩余时，应该怎么办？怎么理解这答题是求最大公因数的？怎么分析？ 学生思维障碍点突破方法：

有剩余意味着多出来，让学生读懂题意，先减去多出来的数量。求最多是什么，所以求的是最大公因数。

6.   [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 五年（2）班有男生24人，女生18人。做操时要求男、女生分别排队，要使每排的人数都相同，每排最多有多少人？这是男、女生分别排了几排？

【参考答案】6人， 4排，3排

【题目解析】（24，18）=6（人）， 男生：24÷6=4（排），女生：18÷6=3（排）

我爱展示

1. [单选题] [合数与质数] [难度： ★★ ] 下面几组数中，两个数既是合数又是互质数的是（ ）。

A．11和15 B．24和18 C．35和36 D．17和23

【参考答案】C

2. [单选题] [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 在算式20＝4×5中，4和5是20的（ ）。

A．质因数 B．素数 C．因数 D．互质数

【参考答案】A

3. [单选题] [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 甲数＝2×3×4，乙数＝3×4×5，甲和乙的最大公因数是

（ ）。

A．6 B．12 C．15 D．120

【参考答案】B

4. [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] m和n都是自然数，m÷n=8，m和n的最大公因数是（ ）。

【参考答案】n

5. [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] A＝2×3×5，B＝2×5×7，A和B的最大公因数是（ ）。

【参考答案】10

6. [求几个数的最大公因数的方法] [难度： ★★ ] 求下面每组数的最大公因数。

①14，28，42 ②12，16，24

【参考答案】①14； ②4

【题目解析】①（14，28，42）＝2×7=14； ②（12，16，24）＝2×2=4

7. [求几个数的最大公因数的方法] [难度： ★★ ] 用短除法求42和54的最大公因数。

【参考答案】6

【题目解析】

2×3=6

8.   [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 有三根木棒，一根长24米，一根长8米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？一共可以截成多少段？

【参考答案】17段

【题目解析】（24，8，36）＝4，所以每段最长为4米。

一共可以截成：24÷4＋8÷4＋36÷4＝17（段）

9.   [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 有铅笔433支，橡皮260块，平均分配给若干个小学生，分到最后铅笔余13支、橡皮余8块，问最多分给了多少个小学生？

【参考答案】84个

【题目解析】433-13＝420（支），260-8＝252（块）

（420，252）＝84，所以最多分给了84个小学生。

10.   [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 有136支圆珠笔、89本笔记本和178个笔盒，平均奖给若干个优秀少先队员，结果圆珠笔多出1支，笔记本少1本，笔盒少2个，获奖的少先队员最多有多少人？

【参考答案】45人

【题目解析】136-1＝135（支），89＋1＝90（本），178＋2＝180（个）

（135，90，180）＝45，获奖的少先队员最多有45人。

导学二 ： 约分

知识点讲解 1：约分

1. 最简分数：分子和分母只有公因数（ 1）的分数，叫做（最简分数）。
2. 约分：把一个分数化成和它（大小相同），但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。举例：

例题

1. 
   
   
   
   [最简分数] [难度： ★★ ] 圈出最简分数，把不是最简分数的约分成最简分数。

【参考答案】圈出： ； ； ；约分： ； ； ； ； ；

2.   [分数的基本性质] [难度： ★★ ] 把约分成为最简分数： ＝ ＝ 约分是运用了（ ）。约分后分数的分子和分母发生了（              ），分数值（              ）。

【参考答案】 ＝ ；分数的基本性质；变化；不变

3. [分数大小的比较;约分和通分] [难度： ★★ ] 在○里填上“＜”、“＝”、“＞”。

○          ○          ○

【参考答案】＞；＜；=

【思维对话】学生思维障碍点：

比较分数的大小有什么具体的方法？有哪几种情况需要注意的? 学生思维障碍点突破方法：

一：分母相同，比较分子，分子越小，则分数值越小。二：分子相同，比较分母，分母越大，则分数值越小。

三：分子和分母都不同，可以从判定是否比一小，或者约分进行比较。

4. [单选题] [分数的基本性质] [难度： ★★ ] 把一个分数约分后，所得分数值与原来相比（ ）。

A.变大了 B. 变小了 C. 不变

【参考答案】C

5. [约分和通分] [难度： ★★ ] 一批货物共400吨，已经运走了250吨，运走的占这批货物的几分之几？剩下的占这批

货物的几分之几？

【参考答案】 ；

【题目解析】250÷400= ；

6. [约分和通分] [难度： ★★ ] 把一个分数约分，用2约了两次，用3约了一次，得 ，原来这个数是多少？

【参考答案】

【题目解析】

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= ； = = ； = = ；原来这个数是

1.   [分数的基本性质] [难度： ★★ ] 分数单位是的最大真分数是（ ）；把这个最大的真分数化成分子是18而大小不变的分数是（              ）。

【参考答案】 ；

2. [约分和通分] [难度： ★★ ] 把、 进行约分。

＝ ＝

【参考答案】 ＝ ；＝

3. [最简分数] [难度： ★★ ] 在括号里填上最简分数。

131分＝（ ）小时 2060克＝（ ）千克

109平方分米＝（ ）平方米

【参考答案】 或2 ； 或2 ； 或1

4.   [单选题] [分数大小的比较] [难度： ★★ ] 小红和小晴购买春游的食品，都花去了各自零花钱的，两人所花的钱相比，（              ）。

A.小红花的钱多 B.小晴花的钱多 C.一样多 D.不能确定谁花得多

【参考答案】D

【题目解析】单位“1”不确定，对比不了。所以选D。

5. [最简分数] [难度： ★★ ] （判断）一个分数的分子和分母都是合数，那么这个分数一定不是最简分数。（ ）

【参考答案】错

【题目解析】最简分数的定义是分子和分母互质，除了1以外没有相同的公因数。

6. 
   
   
   [约分和通分] [难度： ★★ ] 把下面的分数化成分母是3而大小不变的分数。

【参考答案】 ； ；

7. [难度： ★★ ] 在下列括号里填上适当的数。

（1） （2）

（3） （4）

【参考答案】（1）3；20；8；40；（2）8；27；（3）1；12；6；（4）4；20

限时考场模拟

1. [最简分数] [难度： ★★ ] 在下面的括号里填上最简分数。

25分=（ ）时 300dm3=（ ）m3

【参考答案】 ；

2. 
   [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 按要求填一填。

18和30的公因数有（ ），最大公因数是（ ）。

【参考答案】（1、2、3、6）；6

【题目解析】18=（1、2、3、6、9、18）

30=（1、2、3、5、6、10、15、30）

（1、2、3、6）； 2×3=6

3. [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] （判断）1是所有非0自然数的公因数。（ ）

【参考答案】对

4. [最简分数] [难度： ★★ ] （判断）最简分数的分子、分母一定都是质数。（ ）

【参考答案】错

5.   [单选题] [最简分数] [难度： ★★ ] 如果一个分数的分子和分母（ ），则一定是最简分数。A、都是奇数 B、都是偶数

C、两个不同的质数 D、一个是质数，一个是合数

【参考答案】C

6.   [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 某市有一个三角形公园，三边长分别为498米，612米，528米。计划在公园周围每隔若干米植一棵樟树，并且每两棵之间的距离最远，每两棵树相隔多远？植了多少棵？

【参考答案】6米，273棵

【题目解析】（498，612，528）=6（米），（498+612+528）÷6=273（棵）

课后作业

1. [最简分数] [难度： ★★ ] 分母是5的所有最简真分数有（ ），它们的和是（ ）。

【参考答案】 ； ； ； ；2

2.   [分数的意义、读写及分类] [难度： ★★ ] 在中，a是自然数，当a小于（ ）时，它是真分数，当a大于或等于（              ）时，它是假分数，当a是（              ）的倍数时，它能化成整数。

【参考答案】8；8；8

3.   [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 五年级三个班分别有36人、48人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？

【参考答案】（36,48,42）=6（人）

4.   [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 有38支铅笔和41本练习本平均奖给若干个好少年，结果铅笔多出3 支，练习本还缺1本。得奖的好少年有多少人？

【参考答案】7人

【题目解析】需要的铅笔数38-3=5（支）；需要的练习本数41+1=42（本）；（35，42）=7（人）

5.   [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 有两根钢管，一根长25米，一根长20米，把它们锯成同样长的小段， 使每根不许有剩余，每段最长几米？一共要锯几次？

【参考答案】5米；7次

【题目解析】（25，20）=5（米）；25÷5-1=4（次）；20÷5-1=3（次）；4+3=7（次）

6. [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 一个自然数，去除22少2，去除34也少2，这个自然数最大是几？

【参考答案】12

【题目解析】22+2=24；34+2=36；(24,36)=12

7.   [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 用一个数去除52，余4，再用这个数去除40，也余4，这个数最大是多少？

【参考答案】52-4=48；40-4=36；（48，36）=12

8.   [因数、公因数和最大公因数] [难度： ★★ ] 开学初，学校准备了96个黑板擦，72把扫帚，48个纸篓，平均分给各个班。每一种物品的个数都对应相等，最多可分给多少个班？每种物品各几个？

【参考答案】24个；黑板擦4个；扫帚3个；纸篓2个

【题目解析】（96，72，48）=24（个）；黑板擦：96÷24=4（个）；扫帚：72÷24=3（个）；纸篓：48÷24=2（个）

1. 上次的课后作业完成了吗？还有什么不懂的吗？
2. 今天学习的内容是分数的最大公因数与约分，你掌握了吗？
3. 回去记得完成课后练习，做到温故而知新。