第二单元 因数与倍数（培优篇）—— 2022-2023年五年级下册数学单元卷：基础+培优（人教版）（含答案）

第二单元 因数与倍数（B卷 能力提升练）

（满分：100分，时间：60分钟）

一、选择题（每题2分，共16分）

1．51□是一个三位数，要使它既是2的倍数，也有因数3，□里可以填（    ）。

A．2 B．3 C．6

2．“哥德巴赫猜想”中有一个命题：任何一个大于2的偶数都可以写成两个质数的和，下列式子中符合这个猜想的是（    ）。

A．18＝1＋17 B．5＝2＋3 C．20＝7＋13

3．在以下这些数中：1，8，25，17，2，97，45，70，23，11，20，0.12。质数有（    ）个，偶数有（    ）个。

A．5，4 B．4，4 C．3，5

4．下面说法正确的是（    ）。

A．因为28÷0.7＝40，所以28是0.7的倍数

B．一个数越大，它的因数就越多

C．除0外的自然数中，所有9的倍数的数一定是3的倍数

5．一筐苹果有28个，每人分3个，至少再添（    ）个苹果才能正好分完。

A．2 B．3 C．5

6．8的因数有（    ）个，倍数有（    ）个。

A．4；无数 B．4；6 C．无数；4

7．用0、5、4组成的所有三位数都是（    ）的倍数。

A．2 B．3 C．5

8．一个数既是6的倍数，又是72的因数，这个数是（    ）。

A．144 B．48 C．36

二、填空题（每题2分，共16分）

9．两个自然数相乘，积是48的乘法算式有(        )个。（交换乘数位置后的算式看作与原来不同的算式。）

10．如果三位数62□既是2的倍数也是5的倍数，那么□填(        )；如果三位数62□是3的倍数，那么□最小填(        )。

11．一个两位数，是一个质数。个位数字与十位数字的积是18。这个两位数是(        )。

12．在7□中，当□的数字是(        )时，这个数既是5的倍数又是3的倍数；当□的数字是(        )时，这个数既是3的倍数也是2的倍数。

13．一个三位数，百位上是最小的质数，十位上是最小的奇数，个位上是最小的合数，这个三位数是(        )。

14．在自然数1——20中，质数有(        )个，既是质数又是偶数的是(        )。

15．313至少减去(        )是5的倍数，至少加上(        )是2的倍数。

16．一个八位数，最高位上是最小的合数，百万位上是最小的质数，千位上是最大的一位数，其余各个数位上都是0，这个数写作(        )，省略万位后面的尾数约是(        )万。

三、判断题（每题2分，共8分）

17．用12个小正方形只能拼成两种不同的长方形。(        )

18．比1大的自然数，不是质数就是合数。(      )

19．用0、2、5、8组成四位数，组成的四位数一定是3的倍数。(      )

20．因为，所以5和0.8是4的因数，4是5和0.8的倍数。(      )

四、计算题（每题6分，共12分）

21．(6分)写出下面各数的倍数。（各写5个）

3    7    2    13

22．(6分)写出下面各数的因数。

3       9      32

五、连线题(共12分)

23．(6分)连一连。

24．(6分)连一连。

六、解答题(共36分)

25．(6分)把36块月饼装在几个相同的盒子里，每个盒子的月饼同样多，刚好装完，有几种装法？（可以列表格表示）

26．(6分)小梅、小兰、小菊3人的年龄和是39岁，并且她们的年龄是相邻的奇数，已知小梅最小，小菊最大，请问小菊多少岁？

27．(6分)探究：6的倍数有什么特征？你是怎么探索的？请写下探索的过程。

28．(6分)洋洋到蛋糕店买面包。甜甜圈2元一个，奶油面包3元一个，三明治10元一个。如果买了一些甜甜圈和三明治，他付给营业员50元，找回了11元，找的对吗？写出你的理由。

29．(6分)一个长方形的周长是30厘米，长和宽是由一个质数和一个合数组成的，它的面积最大是多少？最小是多少？

30．(6分)早餐店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和2千克装。店长买回75kg豆油，用哪种规格的油桶能正好把豆油装完？需要多少个这样的油桶？

参考答案

1．C

【分析】2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；由此解答。

【详解】根据2的倍数的特征，当□＝0时，5＋1＋0＝6，6是3的倍数，即510既是2的倍数，也有因数3，符合题意；

当□＝2时，5＋1＋2＝8，8不是3的倍数，不符合题意；

当□＝4时，5＋1＋4＝10，10不是3的倍数，不符合题意；

当□＝6时，5＋1＋6＝12，12是3的倍数，即516既是2的倍数，也有因数3，符合题意；

当□＝8时，5＋1＋8＝14，14不是3的倍数，不符合题意；

综上，□里可填入的数有0或者6。

故答案为：C

【点睛】此题的解题关键是掌握2、3的倍数的特征。

2．C

【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。据此找到各选项中算式符合题干要求的即可。

【详解】A．18＝1＋17中，1既不是质数，也不是合数，不符合题意；

B．5＝2＋3中，2、3是质数，5是奇数，不符合题意；

C．20＝7＋13中，7、13是质数，20是偶数，符合题意。

故答案为：C

【点睛】本题主要考查质数、偶数的意义，同时要注意1既不是质数也不是合数。

3．A

【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；

偶数是能够被2所整除的整数，据此解答。

【详解】质数有：17，2，97，23，11，共5个；

偶数有：8，2，70，20，共4个。

故答案为：A

【点睛】本题考查对质数、偶数的认识，注意1的特殊性。

4．C

【分析】（1）在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；

（2）一个数因数个数的多少和这个数的大小没有关系，举例说明即可；

（3）如果两个数是倍数关系，那么较大数的倍数一定是较小数的倍数，据此解答。

【详解】A．28÷0.7＝40，不是整数除法，所以28和0.7不是倍数关系；

B．4的因数有1，2，4一共3个因数，5的因数有1，5一共2个因数，4＜5，4的因数个数比5的因数个数多；

C．9÷3＝3，则9是3的倍数，那么所有9的倍数的数一定是3的倍数，如：18÷9＝2，18是9的倍数，18÷3＝6，18也是3的倍数。

故答案为：C

【点睛】本题主要考查因数、倍数的认识，掌握因数、倍数的意义和求法是解答题目的关键。

5．A

【分析】每人分3个，苹果的总数应该是3的倍数；3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数，据此解答即可。

【详解】，，12是3的倍数，则至少再添2个苹果才能正好分完。

故答案为：A

【点睛】本题考查3的倍数特征，解答本题的关键是掌握3的倍数特征。

6．A

【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；

求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，一个数倍数的个数是无限的，据此解答。

【详解】8÷1＝8

8÷2＝4

8的因数有：1，2，4，8，一共4个因数，

8×1＝8

8×2＝16

8×3＝24

8×4＝32

……

8的倍数有：8，16，24，32，…

所以，8的因数有4个，倍数有无数个。

故答案为：A

【点睛】掌握求一个数因数和倍数的方法，一个数因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。

7．B

【分析】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数。据此选择即可。

【详解】因为0＋5＋4＝9，9是3倍数，所以用0、5、4组成的所有三位数都是3倍数。

故答案为：B

【点睛】本题考查2、3、5的倍数特征，明确它们的特征是解题的关键。

8．C

【分析】先求出72的因数，然后再找出这些数里面6的倍数即可。

【详解】72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72；

这里面有6的倍数有：6、12、18、24、36、72。

故答案为：C

【点睛】解答此题应根据找一个数的因数的方法和找一个数倍数的方法进行分别列举，进而得出结论。

9．10

【分析】可根据找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。即可写出所有的乘法算式。

【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8

48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。

1×48＝48，48×1＝48

2×24＝48，24×2＝48

3×16＝48，16×3＝48

4×12＝48，12×4＝48

6×8＝48，8×6＝48

一共有10个；

所以，两个自然数相乘，乘积是48的乘法算式有10个。

【点睛】此题的解题关键是根据找一个数的因数的方法，找出积是48的所有乘法算式。

10．0     1

【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；同时是2和5的倍数特征：个位数是0；据此解答。

【详解】根据2和5的倍数特征，如果三位数62□既是2的倍数也是5的倍数，那么□填0；

6＋2＝8

和8最接近的3的倍数是9，

9－8＝1

所以如果三位数62□是3的倍数，那么□最小填1。

【点睛】本题考查了2、3、5的倍数特征的应用。

11．29

【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。先将个位数字与十位数字的乘积为18的可能性写出，再排除即可。

【详解】18＝2×9＝3×6

这个两位数可能是29、92、36、63；

根据质数的定义，只有29是质数，所以这个两位数是29。

【点睛】本题主要考查了质数的认识，关键是将个位数字与十位数字的乘积为18的可能性写出，再分析。

12．5     2或8

【分析】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。

既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。

【详解】7＋5＝12、7＋2＝9、7＋8＝15，在7□中，当□的数字是5时，这个数既是5的倍数又是3的倍数；当□的数字是2时，这个数既是3的倍数也是2的倍数。

【点睛】关键是掌握2、3、5的倍数的特征。

13．214

【分析】最小的质数是2，最小的奇数是1，最小的合数是4，据此解答。

【详解】一个三位数，百位上是最小的质数，十位上是最小的奇数，个位上是最小的合数，这个三位数是214。

【点睛】掌握质数、合数、奇数的概念是解答此题的关键。

14．8     2

【分析】自然数中是2的倍数的数，叫做偶数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；由此解答即可。

【详解】根据分析可知，

在自然数1～20中，质数有2、3、5、7、11、13、17、19，质数有8个；既是质数又是偶数的是2。

【点睛】明确偶数和质数的意义是解答本题的关键。

15．3     1

【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。

【详解】离313最近且比313小的5的倍数是310。

313－310＝3

离313最近的且比313大的2的倍数是314。

314－313＝1

313至少减去3是5的倍数，至少加上1是2的倍数。

【点睛】关键是掌握2和5的倍数的特征。

16．42009000     4201

【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。最小的合数是4，最小的质数是2，最大的一位数是9，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；省略“万”后面的尾数就是四舍五入到万位，把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。

【详解】根据分析得，这个八位数的千万位上的数是4，百万位上的数是2，千位上的数是9，这个八位数是42009000，省略万位后面的尾数约是4201万。

【点睛】本题主要考查质数、合数的定义以及整数的写法和求近似数。分级写即可快速、正确地写出此数；求近似数时要带计数单位。

17．×

【分析】根据求一个数的因数的方法，列乘法算式：12＝1×12＝2×6＝3×4，所以用12个小正方形拼成长方形，第一种12＝1×12，排成一排就是宽为一个正方形边长，长为12个正方形边长的长方形。第二种12＝2×6，平均排成2排就是宽为2个正方形边长，长为6个正方形边长的长方形。第三种12＝3×4，平均排成3排就是宽为3个正方形边长，长为4个正方形边长的长方形。据此解答。

【详解】根据分析得，用12个小正方形拼成不同的长方形，共有3种不同的拼法。所以原题的说法是错误的。

故答案为：×

【点睛】此题的解题关键是利用求一个数的因数的方法求解，同时熟悉平面图形的拼接。

18．√

【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；最小的质数是2，最小的合数是4；2＞1，4＞1；据此得出结论。

【详解】比1大的自然数，不是质数就是合数。

原题说法正确。

故答案为：√

【点睛】本题考查质数与合数的意义及应用，从最小的质数、最小的合数分析，即可得出结论。

19．√

【分析】3的倍数的特征是：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数，据此判断。

【详解】因为0＋2＋5＋8＝15，15是3的倍数，所以用0、2、5、8组成四位数一定是3的倍数，原题说法正确。

故答案为：√

【点睛】掌握3的倍数的特征是解答的关键。

20．×

【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。

【详解】因为5×0.8＝4，0.8是小数，因此这三个数之间没有因数和倍数的关系。

故答案为：×

【点睛】此题考查了因数与倍数的意义，注意研究因数与倍数必须在整数范围内。

21．3的倍数：3，6，9，12，15

7的倍数：7，14，21，28，35

2的倍数：2，4，6，8，10

13的倍数：13，26，39，52，65

（答案不唯一）

【分析】一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，所以求一个数的倍数，就是要这个数依次乘1、2、3……，由此解答即可。

【详解】3的倍数：3，6，9，12，15；

7的倍数：7，14，21，28，35；

2的倍数：2，4，6，8，10；

13的倍数：13，26，39，52，65

22．1、3；

1、3、9；

1、32、2、16、4、8

【分析】3是质数，它的因数只有1和本身；

根据求一个数的因数的方法，直接列举即可，在写一个数的因数时，如果有相同的因数，如9＝3×3，只写1个。

【详解】3＝1×3，所以3的因数有：1、3；

9＝1×9＝3×3，所以9的因数有：1、3、9；

32＝1×32＝2×16＝4×8，所以32的因数有：1、32、2、16、4、8。

23．见详解

【分析】（1）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数，最小的质数是2，1既不是质数也不是合数；

合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数，最小的合数是4；

（2）整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1，据此解答。

【详解】

【点睛】掌握奇数、偶数、质数、合数的意义是解答题目的关键。

24．

【分析】先找出题目所给数据中12的因数，再找出是12的倍数的数，然后再连线即可。

【详解】12的因数有：1、2、3、4、6、12。

12的倍数有：12、24、36、48、60……

据此连线如下：

【点睛】本题考查了因数和倍数，一个数最大的因数和最小的倍数都是它本身。

25．8种

【分析】求出月饼数量因数的个数就是所有不同的装法，因装在几个相同的盒子里，所以排除全部装在1个盒子里的情况。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。

【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6

36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36

答：刚好装完，有8种装法。

【点睛】关键是会求一个数的因数，通过月饼数量的因数个数即可确定所有不同的装法。

26．15岁

【分析】中间的奇数是三个连续奇数的平均数，由相邻的奇数相差2可知，最大的奇数＝中间的奇数＋2，据此解答。

【详解】39÷3＋2

＝13＋2

＝15（岁）

答：小菊15岁。

【点睛】利用平均数求出中间的奇数，并掌握相邻奇数的差为2是解答题目的关键。

27．同时符合被2和3整除数的特征的数就是6的倍数。探索过程见详解

【分析】用算式列举出6的倍数然后找出规律：个位数字均为2、4、6、8、0，且各位上的数的和是3的倍数，即6的倍数的特征：同时符合被2和3整除数的特征的数就是6的倍数。

【详解】    

答：个位数字都是以2、4、6、8、0结尾，且各位上的数的和是3的倍数。6＝2×3同时符合被2和3整除数的特征的数就是6的倍数。

【点睛】此题考查的是6的倍数特征的探究，解答此题关键是理解6可以写成2×3，掌握即能被2整除又能被3整除的数的特征即可。

28．见详解

【分析】根据偶数的性质：偶数的倍数是偶数，偶数的和是偶数，所以洋洋买了一些甜甜圈和三明治，花费的钱数仍是偶数，偶数－偶数＝偶数，所以找回的钱数是偶数，不能是11；由此即可判断。

【详解】偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数

所以小明买了一些甜甜圈和三明治，花费的钱数仍是偶数，所以找回的钱数是偶数，不能是11。

答：他付给营业员50元，找回11元，找得不对，11是奇数。

【点睛】此题考查了奇数、偶数的性质，明确数的奇偶性特点，是解答此题的关键。

29．56平方厘米；36平方厘米

【分析】根据长方形的周长公式：周长＝（长＋宽）×2，计算出长和宽的总长为15厘米，根据质数和合数的概念，同时满足加起来等于15，可罗列出15是由哪些质数和哪些合数组成的，取长和宽的值，代入计算，得到最大的面积和最小的面积。

【详解】30÷2＝15（厘米）    

3＋12＝15    

4＋11＝15    

5＋10＝15    

7＋8＝15

最大：7×8＝56（平方厘米）    

最小：3×12＝36（平方厘米）

答：长方形的面积最大是56平方厘米，最小是36平方厘米。

【点睛】此题的解题关键是掌握长方形的周长和面积公式，熟悉质数和合数的概念，才能解决实际碰到的问题。

30．用5kg装、3kg装的塑料桶都可以正好把豆油装完，5kg装的需要15个桶，3kg装的需要25个桶。

【分析】只要油桶装下的质量是豆油质量的因数，就能正好把豆油装完；豆油质量÷油桶的容量＝需要的油桶数量，据此分析。

【详解】75÷5＝15（个）

75÷10＝7（个）……5（kg）

75÷3＝25（个）

答：用5kg装、3kg装的塑料桶都可以正好把豆油装完，5kg装的需要15个桶，3kg装的需要25个桶。

【点睛】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。