中考数学三轮冲刺《锐角三角函数实际问题》解答题冲刺练习14（含答案）

中考数学三轮冲刺《锐角三角函数实际问题》

解答题冲刺练习14

1.如图，一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°，如果斑马线的宽度是AB＝3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？

2.如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比).求加高后的坝底HD的长为多少？

3.如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100 km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200 km的点C处.

(1)求点C与点A的距离(精确到1 km)；

(2)确定点C相对于点A的方向.(参考数据：≈1.414，≈1.732)

4.如图，小莉发现垂直地面的电线杆AB的影子落在地面和土坡上，影长分别为BC和CD，经测量，得BC＝20 m，CD＝8 m，CD与地面成30°角，且此时测得垂直于地面的1 m长的标杆在地面上的影长为2 m，求电线杆AB的长度.

5.如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？

(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

6.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．

（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．

7.如图,一艘轮船以18海里/时的速度由西向东方向航行,行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上,继续向东行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上,求轮船与灯塔的最短距离．（精确到0.1，≈1.73）

8.如图,某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发,沿着俯角为15°的方向,直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点.求他飞行的水平距离BC（结果精确到1m）．

9.某校数学兴趣小组想测量大报恩塔的高度．如图，成员小明利用测角仪在B处测得塔顶的仰角α=63.5°，然后沿着正对该塔的方向前进了13.1m到达E处，再次测得塔顶的仰角β=71.6°．测角仪BD的高度为1.4m，那么该塔AC的高度是多少？（参考数据：sin63.5°≈0.90，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.30，tan71.6°≈3.00）

10.如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
 

0.中考数学三轮冲刺《锐角三角函数实际问题》解答题冲刺练习14（含答案）参考答案

一         、解答题

1.解：如图：延长AB.

∵CD∥AB，

∴∠CAB＝30°，∠CBF＝60°；

∴∠BCA＝60°﹣30°＝30°，即∠BAC＝∠BCA；

∴BC＝AB＝3米；

Rt△BCF中，BC＝3米，∠CBF＝60°；

∴BF＝BC＝1.5米；

故x＝BF﹣EF＝1.5﹣0.8＝0.7米.

答：这时汽车车头与斑马线的距离x是0.7米.

2.解：由题意得BG＝3.2 m，MN＝EF＝3.2＋2＝5.2(m)，

ME＝NF＝BC＝6 m.

在Rt△DEF中，＝，

∴FD＝2EF＝2×5.2＝10.4(m).

在Rt△HMN中，＝，HN＝2.5MN＝13(m).

∴HD＝HN＋NF＋FD＝13＋6＋10.4＝29.4(m).

∴加高后的坝底HD的长为29.4 m.

3.解：(1)过点A作AD⊥BC于点D.由图得，∠ABC＝75°﹣15°＝60°.

在Rt△ABD中，∵∠ABC＝60°，AB＝100.

∴BD＝50，AD＝50.

∴CD＝BC﹣BD＝200﹣50＝150.

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝100≈173(km).

即点C与点A的距离约为173 km.

(2)在△ABC中，∵AB2＋AC2＝1002＋(100)2＝40000，BC2＝2002＝40000，

∴AB2＋AC2＝BC2.

∴∠BAC＝90°，

∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝90°﹣15°＝75°.

答：点C位于点A的南偏东75°方向

4.解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.

∵∠DCF＝30°，

∴CF＝CD·cos30°＝8×＝4 (m)，

DF＝CD·sin30°＝8×＝4(m)，

∴DE＝BF＝BC＋CF＝(20＋4 )m，

∵垂直于地面的1 m长的标杆在地面上的影长为2 m，

∴＝，

∴AE＝DE＝(10＋2 )m.

∴AB＝AE＋BE＝AE＋DF＝10＋2 ＋4＝(14＋2 )(m).

答：电线杆AB的长度为(14＋2 )m.

5.解：如图，过点C作CH⊥AD，垂足为H，设AH＝x km.

第9题解图

∵在Rt△ACH中，∠A＝37°，

∴CH＝AH·tan37°＝x·tan37°，

∵在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，

∴EH＝CH＝x·tan37°，

∵CH⊥AD，BD⊥AD，

∴CH∥BD，

∴＝，

又∵C为AB的中点，

∴AC＝CB，

∴AH＝HD，

即x＝x·tan37°＋5，

∴x＝≈＝20，

∴HE＝CH＝20·tan37°≈20×0.75＝15(km)

∴AE＝AH＋HE＝20＋15≈35(km)．

答：E处距离港口A大约35 km.

6.

7.解：过点P作PC⊥AB于C点，即PC的长为轮船与灯塔的最短距离，根据题意，得

AB=18×=6，∠PAB=90°﹣60°=30°，∠PBC=90°﹣45°=45°，∠PCB=90°，

∴PC=BC，在Rt△PAC中，tan30°==，即=，

解得PC=3+3≈8.2（海里），∴轮船与灯塔的最短距离约为8.2海里．

8.解：过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，

由题意可得：∠ADE=15°，∠BDF=15°，AD=1600m，AC=500m，

∴cos∠ADE=cos15°=≈0.97，∴≈0.97，解得：DE=1552（m），

sin15°=≈0.26，∴≈0.26，解得；AE=416（m），

∴DF=500﹣416=84（m），∴tan∠BDF=tan15°=≈0.27，∴≈0.27，

解得：BF=22.68（m），∴BC=CF+BF=1552+22.68=1574.68≈1575（m），

答：他飞行的水平距离为1575m．

9.解：延长DF交AC于点G，设AG=xm．由题意知：DF=13.1 m，DB=FE=GC=1.4 m．

在Rt△ADG中，tan∠ADG=，∴DG==≈，

在Rt△AFG中，tan∠AFG=，∴FG==≈，

∵DF=DG﹣FG，∴﹣=13.1，解得x=78.6，∴AG=78.6 m，

∵AC=AG+GC，∴AC=78.6+1.4=80（m）．答：该塔AC的高度约80m．

10.