中考数学三轮冲刺《锐角三角函数实际问题》解答题冲刺练习06（含答案）

中考数学三轮冲刺《锐角三角函数实际问题》

解答题冲刺练习06

1.平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示.量得∠A为54°，∠B为36°，斜边AB的长为2.1 m，BC边上露出部分BD的长为0.9 m.求铁板BC边被掩埋部分CD的长.(结果精确到0.1 m.参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)

2.如图所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC＝60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，结果精确到0.1小时)

3.数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．

(精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73)

4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．

（1）求证：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠BPD=0.6，求⊙O的直径．

5.某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°(示意图2)．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点(示意图4)．

(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．

(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)？

(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，≈1.73)

6.如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地而上向建筑物前进了50m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i=1：，沿着斜坡前进20米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°，（坡度i=1：是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE的比）．请你计算出该建筑物BC的高度．（取=1.732，结果精确到0.1m）．

7.两栋居民楼之间的距离CD=30m，楼AC和BD均为10层，每层楼高为3m．上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第几层？（参考数据：≈1.7，≈1.4）

8.如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB与点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1.7，≈1.4 ）

9.某校生物兴趣小组把一块沿河的三角形废地（如图）开辟为生物园（设AB段河岸为直线），已知∠ACB=90°，∠CAB=55°，BC=80米，学校决定在点C处建一个蓄水池，利用管道从河中取水，已知每铺设1米管道费用为50元，求铺设管道的最低费用（精确到1元）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）

10.如图,在小山的西侧A处有一热气球,以25米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为15°的方向升空,40分钟后到达B处,这时热气球上的人发现,在A处的正东方向有一处着火点C,在B处测得着火点C的俯角为30°,求热气球升空点A与着火点C的距离.（结果保留根号）

0.中考数学三轮冲刺《锐角三角函数实际问题》解答题冲刺练习06（含答案）参考答案

一         、解答题

1.解：由题意，得∠C=180°－∠B－∠A=180°－36°－54°=90°.

在Rt△ABC中，sin A=，

∴BC=AB·sinA=2.1×sin54°≈1.701(m)，

∴CD=BC－BD=1.701－0.9=0.801≈0.8(m).

2.解：因为A在B的正西方，延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D

∵∠BCD＝45°，BD⊥CD

∴BD＝CD

在Rt△BDC中，∵cos∠BCD＝，BC＝60海里

即cos45°＝，解得CD＝30海里

∴BD＝CD＝30海里

在Rt△ADC中，∵tan∠ACD＝AD：CD，得AD＝30海里

∵AB＝AD﹣BD

∴AB＝30-30＝30(-)海里

∵海监船A的航行速度为30海里/小时

则渔船在B处需要等待的时间为-≈2.45﹣1.41＝1.04≈1.0小时

∴渔船在B处需要等待1.0小时

3.解：

∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，

∴tan∠CAE=，∴AC==≈82.1m，

∵AB=21m，∴BC=AC﹣AB=61.1m，

在Rt△BCD中，tan60°==，∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7m，

∴DE=CD﹣EC=105.7﹣55≈51m，

答：炎帝塑像DE的高度约为51m．

4.（1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，∴∠D=∠BCD，∴CB∥PD；

（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

∵CD⊥AB，∴弧BD=弧BC，∴∠BPD=∠CAB，

∴sin∠CAB=sin∠BPD=，即=，∵BC=3，∴AB=5，即⊙O的直径是5．

5.解：(1)过点C作CG⊥AM于点G，如图1，

∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB∥CG∥DE，∴∠DCG=180°﹣∠CDE=110°，

∴BCG=∠BCD﹣∠GCD=30°，∴∠ABC=180°﹣∠BCG=150°；

(2)过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，

在Rt△CPD中，DP=CP×cos70°≈0.51(米)，

在Rt△BCN中，CN=BC×cos30°≈1.04(米)，

所以，DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB=2.35(米)，

如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，

在Rt△CKD中，DK=CD×cos50°≈1.16(米)，所以，DH=DK+KH=3.16(米)，

所以，DH﹣DE=0.8(米)，

所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置高了0.8米．

6.【解答】解：过E作EF⊥AB于F，EG⊥BC与G，

∵CB⊥AB，∴四边形EFBG是矩形，∴EG=FB，EF=BG，

设CG=x米，∵∠CEG=45°，∴FB=EG=CG=x，∵DE的坡度i=1：，∴∠EDF=30°，

∵DE=20，∴DF=20cos30°=10，BG=EF=20sin30°=10，∴AB=50+10+x，BC=x+10，

在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∴BC=AB•tan∠A，即x+10=（50+10+x），

解得：x≈18.3，∴BC=28.3米，答：建筑物BC的高度是28.3米．

7.解：

设太阳光线GB交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，

由题意知，AC=BD=3×10=30m，FH=CD=30m，∠BFH=∠α=30°，

在Rt△BFH中，tan∠BFH=，∴BH=30×=10≈10×1.7=17，

∴FC=HD=BD﹣BH≈30﹣17=13，

∵≈4.3，所以在四层的上面，即第五层，

答：此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第5层．

8.

9.解：过点C作CD⊥AB于点D，∴∠CAD+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，∠CAB=55°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠CAB=55°，

在Rt△BCD中，BC=80米，∴CD=BC•cos55°≈80×0.57=45.6（米），

∵每铺设1米管道费用为50元，∴铺设管道的最低费用维E：45.6×50=2280（元）．

答：铺设管道的最低费用是2280元．

10.解：作AD⊥BC垂足为D，AB=40×25=1000，

∵BE∥AC，∴∠C=∠EBC=30°，∠ABD=90°﹣30°﹣15°=45°，

在Rt△ABD中，sin∠ABD=，AD=ABsin∠ABD=1000×sin45°=1000×=500，

AC=2AD=1000，答：热气球升空点A与着火点C的距离是1000米．