中考数学三轮冲刺《锐角三角函数实际问题》解答题冲刺练习05（含答案）

中考数学三轮冲刺《锐角三角函数实际问题》

解答题冲刺练习05

1.某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC=414m，AB=300m，求出点D到AB的距离．
（参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

2.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．(结果保留根号)

3.某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1：．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）

4.如图，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地.在数学活动课上，老师要求测量河对岸B点到公路的距离，请你设计一个测量方案.要求：

(1)列出你测量所使用的测量工具；

(2)画出测量的示意图，写出测量的步骤；

(3)用字母表示测得的数据，求出B点到公路的距离.

5.由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长.

6.如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB=14米.求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：≈1.73).

7.观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题：

在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D(如图(1))，则，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即，同理有：，所以.

即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.

根据上述材料，完成下列各题.

(1)如图(2)，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝　  　；AC＝　  　；

(2)自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻.某次巡逻中，如图(3)，我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB.(结果精确到0.01，≈2.449)

8.如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长(结果保留整数)

(参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73)

9.如图，长方形广告牌加载楼房顶部，已知CD=2m，经测量得到∠CAH=37°，∠DBH=60°，AB=10m，求GH的长.(参考数据：tan37°≈0.75，,1.732，结果精确到0.1m)

10.某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势.根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面.新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC=30cm.

(1)如图2，当∠BAC=24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；

(2)如图3，当∠BAC=12°时，求AD的长.(结果保留根号)

(参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20)

0.中考数学三轮冲刺《锐角三角函数实际问题》解答题冲刺练习05（含答案）参考答案

一         、解答题

1.解：

2.解：

∵∠AEB=90°，AB=200，坡度为1：，∴tan∠ABE=，

∴∠ABE=30°，∴AE=AB=100，

∵AC=20，∴CE=80，

∵∠CED=90°，斜坡CD的坡度为1：4，

∴，即，解得，ED=320，

∴CD==米，

答：斜坡CD的长是米．

3.

4.解：(1)测角器、尺子；

(2)测量示意图见图；

测量步骤：

①在公路上取两点C，D，使∠BCD，∠BDC为锐角；

②用测角器测出∠BCD＝α，∠BDC＝β；

③用尺子测得CD的长，记为m米；

④计算求值.

(3)设B到CD的距离为x米，

作BA⊥CD于点A，在△CAB中，x＝CAtan  α，

在△DAB中，x＝ADtan  β，∴CA＝，AD＝.

∵CA＋AD＝m，∴＋＝m，

∴x＝m·.

5.解：过点C作CD⊥AB于点D，

由题意，得：∠BAD=60°，∠BCD=45°，AC=80，

在Rt△ADB中，∠BAD=60°，∴tan60°==，∴AD=，

在Rt△BCD中，∠BCD=45°，∴tan45°==1，∴BD=CD，

∴AC=AD+CD=+BD=80，∴BD=120﹣40，

∴BC=BC=120﹣40，

答：BC的距离是(120﹣40)海里.

6.解：

7.解：(1)由正玄定理得：∠A＝60°，AC＝20；

故答案为：60°，20；           

(2)如图，依题意：BC＝40×0.5＝20(海里)

∵CD∥BE，

∴∠DCB＋∠CBE＝180°.

∵∠DCB＝30°，

∴∠CBE＝150°.

∵∠ABE＝75°，

∴∠ABC＝75°.

∴∠A＝45°.                                     

在△ABC中，，即，

解之得：AB＝10≈24.49海里.

所以渔政204船距钓鱼岛A的距离约为24.49海里.

8.解：过点B作BD⊥AC于点D，

∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，

∴∠ABD＝67°，

∴AD＝AB•sin67°＝520×0.92＝478.4km，

BD＝AB•cos67°＝520×0.38＝197.6km.

∵C地位于B地南偏东30°方向，

∴∠CBD＝30°，

∴CD＝BD•tan30°＝197.6×≈113.9km，

∴AC＝AD＋CD＝478.4＋113.9≈592(km).

答：A地到C地之间高铁线路的长为592km.

9.解：GH≈7.6m.

10.解：(1)∵∠BAC=24°，CD⊥AB，

∴sin24°=，

∴CD=ACsin24°=30×0.40=12cm；

∴支撑臂CD的长为12cm；

(2)过点C作CE⊥AB，于点E，

当∠BAC=12°时，

∴sin12°==，

∴CE=30×0.20=6cm，

∵CD=12，

∴DE=6，

∴AE=12cm，

∴AD的长为(12+6)cm或(12﹣6)cm.