中考数学三轮冲刺《锐角三角函数实际问题》解答题冲刺练习03（含答案）

中考数学三轮冲刺《锐角三角函数实际问题》

解答题冲刺练习03

1.为测山高，在点A处测得山顶D的仰角为30°，从点A向山的方向前进140米到达点B，在B处测得山顶D的仰角为60°（如图①）.

（1）在所给的图②中尺规作图：过点D作DC⊥AB，交AB的延长线于点C（保留作图痕迹）；

（2）山高DC是多少（结果保留根号形式）？

2.如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的

北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．

(1)填空：∠BAC=　   　度，∠C=　   　度；

(2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号)．

3.如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km，到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上.这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

4.如图，一艘轮船在A处测得灯塔P在船的北偏东30°的方向，轮船沿着北偏东60°的方向航行16km后到达B处，这时灯塔P在船的北偏西75°的方向.求灯塔P与B之间的距离(结果保留根号).

5.如图，在河对岸有一棵大树A，在河岸B点测得A在北偏东60°方向上，向东前进120m到达C点，测得A在北偏东30°方向上，求河的宽度（精确到0.1m）参考数据：=1.414，=1.732

6. “低碳环保，你我同行”．近几年，各大城市的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=30cm，DF=20cm，AF=25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°．

（1）求AD的长；

（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）

7.某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距(BD)6米，小明的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米，求旗杆的高EF的长.(结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73)

8.如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD,其中AD∥BC,坝顶BC=10米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1:2.5,斜坡CD的坡角为30°．

（1）求坝底AD的长度（结果精确到1米）；

（2）若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：）

9.为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含(300mm)，高度的范围是120mm～150mm(含150mm)．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423)

10.如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．

（1）求办公楼AB的高度；

（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．

（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22°）

0.中考数学三轮冲刺《锐角三角函数实际问题》解答题冲刺练习03（含答案）参考答案

一         、解答题

1.解：

2.解：(1)由题意得：∠BAC=90°﹣60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，

∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°；故答案为：30，45；

(2)∵BP⊥AC，∴∠BPA=∠BPC=90°，

∵∠C=45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP=PC，

∵∠BAC=30°，∴PA=BP，

∵PA+PC=AC，∴BP+BP=10，解得：BP=5﹣5，

答：观测站B到AC的距离BP为(5﹣5)海里．

3.解：过点C作CH⊥AD，垂足为H，设CH=x km，

在Rt△ACH中，∠A=37°，

∵tanA=，

∴AH==.

在Rt△CEH中，∠CEH=45°，

∵tan∠CEH=，∴EH==x.

∵CH⊥AD，BD⊥AD，

∴∠AHC=∠ADB=90°.

∴HC∥DB.∴=.

又∵C为AB的中点，

∴AC=CB.∴AH=HD.

∴=x＋5.

∴x=≈=15.

∴AE=AH＋HE=＋15≈35(km).

因此，E处距离港口A大约35 km.

4.解：过点P作PH⊥AB于点H，

由题意得∠PAB=30°，∠PBA=45°，

设PH=x，则AH=x，BH=x，PB=x，

∵AB=16，∴x+x=16，解得：x=8﹣8，

∴PB=x=8﹣8，

答：灯塔P与B之间的距离为(8﹣8)km.

5.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，

设河宽AD的长为x，

∵在河岸B点测得A在北偏东60°方向上，向东前进120m到达C点，

测得A在北偏东30°方向，∴∠BAD=60°，∠CAD=30°，BC=120，

在Rt△ADB中，BD=tan∠BAD×AD=tan60°x=x，

在Rt△ACD中，CD=tan∠CAD×AD=tan30°x=x，

∵BC=BD﹣CD，∴x﹣x=120，

解得x=60≈60×1.732≈103.9（m），

答：河宽为103.9米.

6.

7.解：过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，

∴MN=0.25 m.

∵∠EAM=45°，

∴AM=ME.

设AM=ME=x m，则CN=(x＋6)m，EN=(x－0.25)m，

∵∠ECN=30°，

∴tan∠ECN===.

解得x≈8.8.则EF=EM＋MF≈8.8＋1.5=10.3(m).

答：旗杆的高EF为10.3 m.　

8.解：（1）作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形，

∴EF=BC=10米，

∵BE=20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，∴AE=50米，

∵CF=20米，斜坡CD的坡角为30°，∴DF==20≈35米，

∴AD=AE+EF+FD=95米；

（2）建筑这个大坝需要的土石料：×（95+10）×20×100=105000米3．

9.解：连接BD，作DM⊥AB于点M，

∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，

∴AB∥CD，AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠C=∠ABD，AC=BD，

∵∠C=65°，AC=900，

∴∠ABD=65°，BD=900，

∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，

∵381÷3=127，120＜127＜150，

∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，

∵815÷3≈272，260＜272＜300，

∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，

由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．

10.解：（1）如图，

过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．

Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，

在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，

tan22°=AM:ME，则5(x-2)=2(x+25)，解得：x=20．即教学楼的高20m．

（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．

在Rt△AME中，cos22°=ME:AE．∴ME=AEcos22°，即A、E之间的距离约为48m