还剩20页未读，
继续阅读
初中数学人教版八年级下册18.2.1 矩形课堂检测
展开
这是一份初中数学人教版八年级下册18.2.1 矩形课堂检测，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
18.2.1矩形-【人教版期末真题精选】广西2022-2023八年级数学下学期期末复习专练
一、单选题
1．（2022春·广西玉林·八年级统考期末）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
2．（2022春·广西南宁·八年级校考期末）如图，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点E．若，则的度数为（ ）
A．20° B．10° C．15° D．25°
3．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，直角三角形ABC的面积为4，点D是斜边AB的中点，过点D作于点E，于点F，则四边形DECF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
4．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）已知一个四边形的对角线互相垂直且相等，则连接这个四边形各边中点得到的四边形是（ ）．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．则FCD的面积是（ ）．
A．24 B．40 C．48 D．54
6．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
7．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）如图，在中，，点、、分别是三边的中点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如图，在中，，是的中点，，，则的周长为（ ）
A．14 B．24 C．12 D．18
9．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）如图，是的中线，，求的度数（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）直角三角形斜边上的中线长是6.5，则斜边长等于（ ）
A．6.5 B．12 C．14 D．13
二、填空题
11．（2022春·广西百色·八年级统考期末）如图，在中，，，，是上一动点，过点作于点，于点．连接，则线段的最小值是________．
12．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）如图，边长为 ， 的长方形，它的周长为 ，面积为 ，则 的值为____．
13．（2022秋·广西贵港·七年级校考期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，交于点F，再将沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，则的度数为______．
14．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线上的点，M、N分别是AB、AD的中点，连接PM、PN．若AB = 2，∠ADB = 30°，则PM+PN的最小值是__________________．
15．（2022春·广西百色·八年级统考期末）如图，将长方形的边沿折痕折叠，使点D落在边上的F处，若，，则的值是_____．
16．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，四边形中，，，请你再添加一个条件使四边形是矩形．你添加的一个条件是______________________．
17．（2022春·广西贵港·八年级统考期末）在中，，是的中点，若，则_________．
18．（2022春·广西贵港·八年级统考期末）如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，F为BE的中点，连接DF．若AC＝4，DF⊥BE，则DF的长为___________．
三、解答题
19．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，求证：．
20．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，在中，，点D、E分别是的中点，点F在的延长线上，．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
21．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，是的中线，交于点F，且．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)当之间满足什么条件时，四边形是矩形．请说明理由．
22．（2022春·广西玉林·八年级统考期末）如图，中，，点，分别是，的中点，点在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的周长．
23．（2022春·广西贵港·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，将该长方形沿翻折，点的对应点为点，与交于点．
(1)证明：；
(2)求点的坐标；
(3)点是直线上的任意一点，且是等腰三角形，请直接写出满足条件的点的坐标．
24．（2022春·广西防城港·八年级统考期末）如图，已知平行四边形ABCD，延长AB到E，使，连接BD，ED，EC，若．
(1)求证：；
(2)求证：四边形BECD是矩形；
(3)连接AC，若，，求AC的长．
参考答案：
1．B
【分析】首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，，
；
在和中，
，
，
，
；
，
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半是解决问题的关键．
2．A
【分析】根据矩形的性质，可得，，根据折叠可得，最后根据进行计算即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
由折叠可得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了长方形性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出和的度数．
3．B
【分析】先判断四边形为矩形，由D是中点得到，的长求出面积．
【详解】∵，，
四边形矩形，
又，
E、F为，的中点，
∴，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的判定和三角形的中位线，判断四边形的形状是解题的关键．
4．B
【分析】如图，AC⊥BD，点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，连接点E、F、G、H，根据中位线的性质证得四边形EFGH为平行四边形，再利用AC⊥BD，EHBD，EFAC，推出EH⊥EF，由此证得四边形EFGH为矩形．
【详解】解：如图，AC⊥BD，点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，连接点E、F、G、H，
根据中位线的性质EHBD，FGBD，
∴EHFG，
同理EFHG
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC⊥BD，EHBD，EFAC，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH为矩形，
故选：B．
【点睛】此题考查了矩形的判定定理，三角形的中位线定理，熟记矩形的判定定理是解题的关键．
5．D
【分析】根据折叠的性质可得AD=DF，设CF=x，则DF=AD=BC=BF+CF=3+x，然后利用勾股定理列出方程求出x值，进而可以求出△CDF的面积．
【详解】解：由折叠的性质得，EF=AE=5，AD=DF，
在长方形ABCD中，∠B=90°，
在RtBEF中，由勾股定理得，
BE=＝4，
∴AB=AE+BE=9，
折叠的性质得，AD=DF，
在长方形ABCD中，∠C=90°，BC=AD，CD=AB=9，
设CF=x，则DF=AD=BC=BF+CF=3+x，
在RtCDF中，由勾股定理得，，
∴，
∴x=12，
∴CDF的面积．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质以及勾股定理，掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用是解题的关键．
6．C
【分析】画出图形，根据菱形的性质得到ACBD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ACBD，
∵E，F，G，H是菱形各边的中点，
∴EFBD，FGAC，
∴EFFG，
同理：FGHG，GHEH，HEEF，
∴四边形EFGH是矩形．
故选：C．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质定理、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理是解题的关键．
7．D
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得BC，再根据三角形的中位线性质求得DE即可．
【详解】解：∵在中，，点F为BC的中点，，
∴BC=2AF=10cm，
∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=5cm，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质是解答的关键．
8．D
【分析】先利用勾股定理可得，再根据线段中点的定义、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长公式即可得．
【详解】解：在中，，，，
，
是的中点，
，
的周长为，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
9．C
【分析】根据题意得，即，根据三角形的外角得，即可得．
【详解】解：∵CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．
10．D
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可解答．
【详解】解：∵角三角形斜边上的中线长是6.5，
∴斜边长=2×6.5=13，
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
11．/
【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
解得，
∴，线段的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
12．
【分析】先把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．
【详解】解：∵边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，
∴，，即，，
∴．
故答案为：70．
【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
13．54°/54度
【分析】根据折叠的性质可得，，由角平分线的定义可得，然后根据矩形的定义及角的运算可得答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得：，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：54°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质、角平分线的定义、角的运算．
14．
【分析】根据轴对称性质作点N关于对称轴BD的对称点E，线段ME即为PM＋PN的最小值，利用等边三角形性质和勾股定理即可求出线段ME长度．
【详解】解：如图，作点N关于线段BD的对称点E，连接ME交线段BD于P点，ME即为PM＋PN的最小值；
连接DE，过点E作EF⊥AD，EG⊥AB．
∴四边形AFEG为矩形．
∴AG = FE，AF = GE
∵点N、点E关于线段BD对称，点P、点D在线段BD上．
∴PE = PN，DN = DE
∴PM＋PN = PM＋PE
当点P、M、E在同一直线时，PM＋PE有最小值．
∵∠ADB = 30°
∴∠NDE = 60°
∴△DNE是等边三角形．
∴点F垂直平分DN
∵AB = 2，∠ADB = 30°
∴AD =
∵点M、N是线段AB、AD中点
∴DN = DE = NE = AN = ，NF = ，AM = 1
∴EF = = =
∵AF = AN＋NF =
∴GE = AF = ，EF = AG =
∵MG = AG－AM = =
∴ME = = =
所以PM＋PN的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，轴对称的性质和勾股定理等知识点，学会通过轴对称的性质转移线段以及理解两点之间线段最短定理是解题的关键．
15．/
【分析】由翻折的性质得到AF=AD=5，在Rt△ABF中，利用勾股定理求出BF的长，进而求出CF的长，再根据勾股定理可求EC的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，AB=CD=3，AD=BC=5，
∵△AEF是由△ADE翻折得到的，
∴AD=AF=5，DE=EF，
在Rt△ABF中，AF=5，AB=3，
∴，
∴CF=BC−BF=5−4=1，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握和运用折叠的性质是解决本题的关键．
16．（答案不唯一）
【分析】先得到四边形ABCD是平行四边形，再利用对角线相等的平行四边形是矩形来求解．
【详解】解：∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵，AC和BD是对角线，
∴四边形是矩形．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和矩形的判定，理解相关知识是解答关键．
17．2
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【详解】∵，是的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
18．2
【分析】连接CE，利用中位线的性质可得CE＝2DF，DF∥CE，由平行线的性质及等腰三角形的判定与性质可证明CD＝ED，结合中点的定义及直角三角形的性质可得CD＝AD，AD＝4DF，利用勾股定理可求解AD的长，进而可求得DF的长．
【详解】解：连接CE，
∵AD是BC边上的中线，F点为BE的中点，
∴DF为△BCE的中位线，
∴CE＝2DF，DF∥CE，
∴∠BDF＝∠DCE，∠EDF＝∠DEC，
又∵DF⊥BE，
∴∠EDF＝∠BDF，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴CD＝ED，
∵E为AD的中点，∠ACB＝90°，
∴CE＝ED＝CD＝AD，
∴AD＝4DF，
∵AC＝，
∴AD2− CD2＝AD2−（AD）2＝AC2＝48，
∴AD＝8，
∴DF＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识的综合运用，解题的关键在于求出AD＝4DF．
19．见解析
【分析】先根据四边形ABCD是矩形，证明，即可得出结论．
【详解】证明：∵是矩形，
∴，，
又∵，
∴（HL），
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题词的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=BD，再根据等边对等角可得∠B=∠DCE，然后求出∠FEC=∠DCE，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CED=90°，然后求出∠CED=∠ECF=90°，再利用“角边角”证明△CDE和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
（2）证明四边形是平行四边形，根据勾股定理求得，由三角形的中位线定理得到DE的长度，再由平行四边形的面积公式求得．
（1）
证明：在和中，
∵，点D、E是分别是的中点．
∴，
∴，
又∵．
∴，
又∵
∴，
∴；
（2）
解：在中，∵
∴，
∵点D、E分别是的中点，
，又，
四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)当时，四边形是矩形，理由见解析
【分析】（1）根据平行线性质得到一组角，再由“AAS”找到两个三角形全等的条件即可证得△AFE≌△DFB；
（2）由全等三角形的性质和中线性质可得AE＝CD，且AEBC，可证四边形ADCE是平行四边形；
（3）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，即可得四边形ADCE是矩形．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：由（1）可知：，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：当时，四边形是矩形．
理由如下：
∵是的中线，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴当时，四边形是矩形．
【点睛】本题考查矩形以及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
22．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，根据中位线的性质求得，根据平行四边形的性质即可求解．
（1）
证明：，点是中点，
，
，
，
，
，
点是中点，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）
解：，，
，，
，
，四边形是平行四边形，
，
四边形的周长为．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)
(3)满足条件的点的坐标为或或或
【分析】（1）由折叠得到，再由得到，即，再由等角对等边即可得证；
（2）由（1）得到，设，则，再用勾股定理建立方程，求出即可；
（3）设出点坐标，分三种情况讨论计算即可．
（1）证明：∵将该长方形沿翻折，点的对应点为点，与交于点，∴，，∵，∴，∴，∴．
（2）解：由（1）知：，∵长方形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，∴，，设，则，∴，，在中，，∴，∴，∴，∴，∴．∴点的坐标为．
（3）∵点的坐标为，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，∵点是直线上的任意一点，∴设，∵，，∴，，，∵是等腰三角形，①当时，∴，∴，解得：，∴；②当时，∴，∴，解得：，∴或；③当时，∴，∴，解得：或（舍去），∴；∴满足条件的点的坐标为或或或．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，采用分类讨论的数学思想方法．理解和掌握折叠的性质、运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得CD=AB，即可得；
（2）由（1）知CD=BE，根据平行四边形的性质得CD // BE，AD=BC，即可得四边形BECD是平行四边形，根据ED=AD得ED=BC，即可得平行四边形BECD是矩形；
（3）连接AC，根据平行四边形的性质得CB=AD=，AB=CD=2，根据矩形的性质BE=CD=，，在Rt△BEC中，根据勾股定理得，在Rt△AEC中，根据勾股定理即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD=AB，
又∵ BE =AB，
∴CD=BE．
（2）证明：由（1）知CD=BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD // BE，AD=BC，
∴ 四边形BECD是平行四边形，
∵ ED=AD，
∴ ED=BC，
∴平行四边形BECD是矩形．
（3）解：如图所示，连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ CB=AD=，AB=CD=2，
∵ 四边形BECD是矩形，
∴ BE=CD=，，
∴在Rt△BEC中，CE＝，
在Rt△AEC中，．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
18.2.1矩形-【人教版期末真题精选】广西2022-2023八年级数学下学期期末复习专练
一、单选题
1．（2022春·广西玉林·八年级统考期末）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
2．（2022春·广西南宁·八年级校考期末）如图，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点E．若，则的度数为（ ）
A．20° B．10° C．15° D．25°
3．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，直角三角形ABC的面积为4，点D是斜边AB的中点，过点D作于点E，于点F，则四边形DECF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
4．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）已知一个四边形的对角线互相垂直且相等，则连接这个四边形各边中点得到的四边形是（ ）．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．则FCD的面积是（ ）．
A．24 B．40 C．48 D．54
6．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
7．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）如图，在中，，点、、分别是三边的中点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如图，在中，，是的中点，，，则的周长为（ ）
A．14 B．24 C．12 D．18
9．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）如图，是的中线，，求的度数（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）直角三角形斜边上的中线长是6.5，则斜边长等于（ ）
A．6.5 B．12 C．14 D．13
二、填空题
11．（2022春·广西百色·八年级统考期末）如图，在中，，，，是上一动点，过点作于点，于点．连接，则线段的最小值是________．
12．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）如图，边长为 ， 的长方形，它的周长为 ，面积为 ，则 的值为____．
13．（2022秋·广西贵港·七年级校考期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，交于点F，再将沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，则的度数为______．
14．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线上的点，M、N分别是AB、AD的中点，连接PM、PN．若AB = 2，∠ADB = 30°，则PM+PN的最小值是__________________．
15．（2022春·广西百色·八年级统考期末）如图，将长方形的边沿折痕折叠，使点D落在边上的F处，若，，则的值是_____．
16．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，四边形中，，，请你再添加一个条件使四边形是矩形．你添加的一个条件是______________________．
17．（2022春·广西贵港·八年级统考期末）在中，，是的中点，若，则_________．
18．（2022春·广西贵港·八年级统考期末）如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，F为BE的中点，连接DF．若AC＝4，DF⊥BE，则DF的长为___________．
三、解答题
19．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，求证：．
20．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，在中，，点D、E分别是的中点，点F在的延长线上，．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
21．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，是的中线，交于点F，且．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)当之间满足什么条件时，四边形是矩形．请说明理由．
22．（2022春·广西玉林·八年级统考期末）如图，中，，点，分别是，的中点，点在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的周长．
23．（2022春·广西贵港·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，将该长方形沿翻折，点的对应点为点，与交于点．
(1)证明：；
(2)求点的坐标；
(3)点是直线上的任意一点，且是等腰三角形，请直接写出满足条件的点的坐标．
24．（2022春·广西防城港·八年级统考期末）如图，已知平行四边形ABCD，延长AB到E，使，连接BD，ED，EC，若．
(1)求证：；
(2)求证：四边形BECD是矩形；
(3)连接AC，若，，求AC的长．
参考答案：
1．B
【分析】首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，，
；
在和中，
，
，
，
；
，
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半是解决问题的关键．
2．A
【分析】根据矩形的性质，可得，，根据折叠可得，最后根据进行计算即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
由折叠可得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了长方形性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出和的度数．
3．B
【分析】先判断四边形为矩形，由D是中点得到，的长求出面积．
【详解】∵，，
四边形矩形，
又，
E、F为，的中点，
∴，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的判定和三角形的中位线，判断四边形的形状是解题的关键．
4．B
【分析】如图，AC⊥BD，点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，连接点E、F、G、H，根据中位线的性质证得四边形EFGH为平行四边形，再利用AC⊥BD，EHBD，EFAC，推出EH⊥EF，由此证得四边形EFGH为矩形．
【详解】解：如图，AC⊥BD，点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，连接点E、F、G、H，
根据中位线的性质EHBD，FGBD，
∴EHFG，
同理EFHG
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC⊥BD，EHBD，EFAC，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH为矩形，
故选：B．
【点睛】此题考查了矩形的判定定理，三角形的中位线定理，熟记矩形的判定定理是解题的关键．
5．D
【分析】根据折叠的性质可得AD=DF，设CF=x，则DF=AD=BC=BF+CF=3+x，然后利用勾股定理列出方程求出x值，进而可以求出△CDF的面积．
【详解】解：由折叠的性质得，EF=AE=5，AD=DF，
在长方形ABCD中，∠B=90°，
在RtBEF中，由勾股定理得，
BE=＝4，
∴AB=AE+BE=9，
折叠的性质得，AD=DF，
在长方形ABCD中，∠C=90°，BC=AD，CD=AB=9，
设CF=x，则DF=AD=BC=BF+CF=3+x，
在RtCDF中，由勾股定理得，，
∴，
∴x=12，
∴CDF的面积．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质以及勾股定理，掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用是解题的关键．
6．C
【分析】画出图形，根据菱形的性质得到ACBD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ACBD，
∵E，F，G，H是菱形各边的中点，
∴EFBD，FGAC，
∴EFFG，
同理：FGHG，GHEH，HEEF，
∴四边形EFGH是矩形．
故选：C．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质定理、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理是解题的关键．
7．D
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得BC，再根据三角形的中位线性质求得DE即可．
【详解】解：∵在中，，点F为BC的中点，，
∴BC=2AF=10cm，
∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=5cm，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质是解答的关键．
8．D
【分析】先利用勾股定理可得，再根据线段中点的定义、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长公式即可得．
【详解】解：在中，，，，
，
是的中点，
，
的周长为，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
9．C
【分析】根据题意得，即，根据三角形的外角得，即可得．
【详解】解：∵CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．
10．D
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可解答．
【详解】解：∵角三角形斜边上的中线长是6.5，
∴斜边长=2×6.5=13，
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
11．/
【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
解得，
∴，线段的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
12．
【分析】先把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．
【详解】解：∵边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，
∴，，即，，
∴．
故答案为：70．
【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
13．54°/54度
【分析】根据折叠的性质可得，，由角平分线的定义可得，然后根据矩形的定义及角的运算可得答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得：，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：54°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质、角平分线的定义、角的运算．
14．
【分析】根据轴对称性质作点N关于对称轴BD的对称点E，线段ME即为PM＋PN的最小值，利用等边三角形性质和勾股定理即可求出线段ME长度．
【详解】解：如图，作点N关于线段BD的对称点E，连接ME交线段BD于P点，ME即为PM＋PN的最小值；
连接DE，过点E作EF⊥AD，EG⊥AB．
∴四边形AFEG为矩形．
∴AG = FE，AF = GE
∵点N、点E关于线段BD对称，点P、点D在线段BD上．
∴PE = PN，DN = DE
∴PM＋PN = PM＋PE
当点P、M、E在同一直线时，PM＋PE有最小值．
∵∠ADB = 30°
∴∠NDE = 60°
∴△DNE是等边三角形．
∴点F垂直平分DN
∵AB = 2，∠ADB = 30°
∴AD =
∵点M、N是线段AB、AD中点
∴DN = DE = NE = AN = ，NF = ，AM = 1
∴EF = = =
∵AF = AN＋NF =
∴GE = AF = ，EF = AG =
∵MG = AG－AM = =
∴ME = = =
所以PM＋PN的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，轴对称的性质和勾股定理等知识点，学会通过轴对称的性质转移线段以及理解两点之间线段最短定理是解题的关键．
15．/
【分析】由翻折的性质得到AF=AD=5，在Rt△ABF中，利用勾股定理求出BF的长，进而求出CF的长，再根据勾股定理可求EC的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，AB=CD=3，AD=BC=5，
∵△AEF是由△ADE翻折得到的，
∴AD=AF=5，DE=EF，
在Rt△ABF中，AF=5，AB=3，
∴，
∴CF=BC−BF=5−4=1，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握和运用折叠的性质是解决本题的关键．
16．（答案不唯一）
【分析】先得到四边形ABCD是平行四边形，再利用对角线相等的平行四边形是矩形来求解．
【详解】解：∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵，AC和BD是对角线，
∴四边形是矩形．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和矩形的判定，理解相关知识是解答关键．
17．2
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【详解】∵，是的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
18．2
【分析】连接CE，利用中位线的性质可得CE＝2DF，DF∥CE，由平行线的性质及等腰三角形的判定与性质可证明CD＝ED，结合中点的定义及直角三角形的性质可得CD＝AD，AD＝4DF，利用勾股定理可求解AD的长，进而可求得DF的长．
【详解】解：连接CE，
∵AD是BC边上的中线，F点为BE的中点，
∴DF为△BCE的中位线，
∴CE＝2DF，DF∥CE，
∴∠BDF＝∠DCE，∠EDF＝∠DEC，
又∵DF⊥BE，
∴∠EDF＝∠BDF，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴CD＝ED，
∵E为AD的中点，∠ACB＝90°，
∴CE＝ED＝CD＝AD，
∴AD＝4DF，
∵AC＝，
∴AD2− CD2＝AD2−（AD）2＝AC2＝48，
∴AD＝8，
∴DF＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识的综合运用，解题的关键在于求出AD＝4DF．
19．见解析
【分析】先根据四边形ABCD是矩形，证明，即可得出结论．
【详解】证明：∵是矩形，
∴，，
又∵，
∴（HL），
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题词的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=BD，再根据等边对等角可得∠B=∠DCE，然后求出∠FEC=∠DCE，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CED=90°，然后求出∠CED=∠ECF=90°，再利用“角边角”证明△CDE和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
（2）证明四边形是平行四边形，根据勾股定理求得，由三角形的中位线定理得到DE的长度，再由平行四边形的面积公式求得．
（1）
证明：在和中，
∵，点D、E是分别是的中点．
∴，
∴，
又∵．
∴，
又∵
∴，
∴；
（2）
解：在中，∵
∴，
∵点D、E分别是的中点，
，又，
四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)当时，四边形是矩形，理由见解析
【分析】（1）根据平行线性质得到一组角，再由“AAS”找到两个三角形全等的条件即可证得△AFE≌△DFB；
（2）由全等三角形的性质和中线性质可得AE＝CD，且AEBC，可证四边形ADCE是平行四边形；
（3）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，即可得四边形ADCE是矩形．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：由（1）可知：，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：当时，四边形是矩形．
理由如下：
∵是的中线，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴当时，四边形是矩形．
【点睛】本题考查矩形以及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
22．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，根据中位线的性质求得，根据平行四边形的性质即可求解．
（1）
证明：，点是中点，
，
，
，
，
，
点是中点，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）
解：，，
，，
，
，四边形是平行四边形，
，
四边形的周长为．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)
(3)满足条件的点的坐标为或或或
【分析】（1）由折叠得到，再由得到，即，再由等角对等边即可得证；
（2）由（1）得到，设，则，再用勾股定理建立方程，求出即可；
（3）设出点坐标，分三种情况讨论计算即可．
（1）证明：∵将该长方形沿翻折，点的对应点为点，与交于点，∴，，∵，∴，∴，∴．
（2）解：由（1）知：，∵长方形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，∴，，设，则，∴，，在中，，∴，∴，∴，∴，∴．∴点的坐标为．
（3）∵点的坐标为，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，∵点是直线上的任意一点，∴设，∵，，∴，，，∵是等腰三角形，①当时，∴，∴，解得：，∴；②当时，∴，∴，解得：，∴或；③当时，∴，∴，解得：或（舍去），∴；∴满足条件的点的坐标为或或或．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，采用分类讨论的数学思想方法．理解和掌握折叠的性质、运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得CD=AB，即可得；
（2）由（1）知CD=BE，根据平行四边形的性质得CD // BE，AD=BC，即可得四边形BECD是平行四边形，根据ED=AD得ED=BC，即可得平行四边形BECD是矩形；
（3）连接AC，根据平行四边形的性质得CB=AD=，AB=CD=2，根据矩形的性质BE=CD=，，在Rt△BEC中，根据勾股定理得，在Rt△AEC中，根据勾股定理即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD=AB，
又∵ BE =AB，
∴CD=BE．
（2）证明：由（1）知CD=BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD // BE，AD=BC，
∴ 四边形BECD是平行四边形，
∵ ED=AD，
∴ ED=BC，
∴平行四边形BECD是矩形．
（3）解：如图所示，连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ CB=AD=，AB=CD=2，
∵ 四边形BECD是矩形，
∴ BE=CD=，，
∴在Rt△BEC中，CE＝，
在Rt△AEC中，．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
相关试卷
19.1函数-【人教版期末真题精选】广西2022-2023八年级数学下学期期末复习专练： 这是一份19.1函数-【人教版期末真题精选】广西2022-2023八年级数学下学期期末复习专练，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
七年级下册5.4 平移课时训练： 这是一份七年级下册5.4 平移课时训练，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中数学第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.1 相交线课时训练： 这是一份初中数学第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.1 相交线课时训练，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
