初中数学人教版八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式优秀课后作业题

八年级数学下学期复习备考高分秘籍人教版

专题2.2二次根式的应用及探究材料大题专练（培优强化30题）

A卷  基础过关卷

（限时30分钟，每题10分，满分100分）

1．（2022秋•西安月考）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．

（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）

（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）

2．（2022春•赣州期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．

（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 　   　，　   　；

（2）求剩余木料的面积；

（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 　   　块这样的木条．

3．（2019春•沂水县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）

（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；

（2）t2是t1的多少倍？

（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？

4．（2019秋•二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．

（1）求剩余木料的面积．

（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出　   　块这样的木条．

5．（2018秋•太仓市期末）若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝（a+b+c）．

记：Q＝．

（1）当a＝4，b＝5，c＝6时，求Q的值；

（2）当a＝b时，设三角形面积为S，求证：S＝Q．

6．（2019秋•会同县期末）已知长方形的长a＝，宽b＝．

（1）求长方形的周长；

（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．

7．（2021春•广陵区校级月考）一个三角形的三边长分别为10、x和．

（1）求它的周长（要求结果化简）

（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．

8．（2021秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．

（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）

（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）

9．（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板．

（1）求原矩形木板的面积；

（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．

10．（2022春•沂水县期中）座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中r表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），g为重力加速度且g＝9.8m/s2，假如一台座钟的钟摆长为0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1min内，该座钟发出多少次滴答声？（≈3.16，π取3.14，结果保留整数）

B卷  能力提升卷

（限时50分钟，每题10分，满分100分）

11．（2022春•伊宁市校级期末）已知矩形的长为a，宽为b且，．

（1）求矩形的周长；

（2）当S矩形＝S正方形时，求正方形的边长m的值．（注：S表示面积）

12．（2022秋•攸县期末）已知长方形长a＝，宽b＝．

①求长方形的周长；

②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．

13．（2022秋•南昌期末）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．

（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；

（2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面积．

14．（2023•源城区开学）如图，B地在A地的正东方向，两地相距km．A，B两地之间有一条东北走向的高速公路，且A，B两地到这条高速公路的距离相等．上午8：00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A地的正南方向P处，至上午8：20，B地发现该车在它的西北方向Q处，该段高速公路限速为110km/h．问：该车是否超速行驶？

15．（2022春•江都区期末）请阅读下列材料：

问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值．

小明的做法是：根据得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．

仿照上述方法解决问题：

（1）已知，求代数式x2+6x﹣8的值；

（2）已知，求代数式x3+2x2的值．

16．（2016春•泰州校级期末）（1）阅读：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设，则这个三角形的面积为．

（2）应用：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△ABC面积．

（3）引申：如图2，在（2）的条件下，AD、BE分别为△ABC的角平分线，它们的交点为I，求：I到AB的距离．

17．（2022春•武江区校级期末）请阅读下列材料：

问题：已知x＝+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x＝+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：

x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：

（1）已知x＝﹣2，求代数式x2+4x﹣10的值；

（2）已知x＝，求代数式x3+x2+1的值．

18．（2021春•石城县期末）在二次根式中如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．

解决问题：

（1）4﹣的有理化因式可以是 　   　，分母有理化得 　   　．

（2）计算：

①已知x＝，求x2+y2的值；

②．

19．（2021秋•洪江市期末）阅读并解答问题：

＝＝；

＝＝；

＝＝2﹣；

……

上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：

（1）将的分母有理化；

（2）已知a＝，b＝，求a+b的值；

（3）计算+…++．

20．（2022秋•昌平区期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式．

（1）下列式子中①，②，③，　   　是根分式（填写序号即可）；

（2）写出根分式中x的取值范围 　   　；

（3）已知两个根分式，．

①若M2﹣N2＝1，求x的值；

②若M2+N2是一个整数，且x为整数，请直接写出x的值：　   　．

C卷  培优压轴卷

（限时80分钟，每题10分，满分100分）

21．（2022•南京模拟）请阅读下面材料，并解决问题：

海伦——秦九韶公式

海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记那么三角形的面积．这个公式称为海伦公式．秦九韶（约1202﹣1261年），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式．它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一个公式，所以海伦公式也称海伦﹣秦九韶公式．

问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，请用海伦一秦九韶公式求△ABC的面积．

22．（2021秋•叙州区期末）已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为C△ABC．

（1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是（请直接写出答案）；

（2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）；

（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝．其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．

23．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：

数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．

例如：＝＝＝＝1+．

解决问题：

（1）在括号内填上适当的数：＝＝③

①：　   　，②：　   　，③　   　．

（2）根据上述思路，化简并求出+的值．

24．（2022秋•临汾期中）阅读与思考

阅读下列材料，并完成相应的任务：

法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．

“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第n个数F（n）可以表示为+，其中n≥1．（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列）

任务：

（1）卢卡斯数列中的第1个数F（1）＝　   　，第2个数F（2）＝　   　；

（2）卢卡斯数列有一个重要特征：当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣﹣1）+F（n﹣2）．请根据这一规律写出卢卡斯数列中的第6个数F（6）．

25．（2022春•南城县校级月考）观察下列等式：；；…你根据观察得到的结论，解答下列各题：

（1）猜想：＝　   　；

（2）解方程：．

26．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a＝．求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：

∵a＝＝＝2﹣∴a﹣2＝﹣

∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1

∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（1）化简+++…+；

（2）比较﹣　   　﹣；（填“＞”或“＜”）

（3）A题：若a＝+1，则a2﹣2a+3＝　   　．

B题：若a＝，则4a2﹣4a+7＝　   　．

27．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，+1与﹣1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，＝＝＝＝．

（1）请你写出3+的有理化因式：　   　；

（2）请仿照上面的方法化简（b≥0且b≠1）；

（3）已知a＝，b＝，求的值．

28．（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x＝+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x＝+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．

请你用上述方法解决下面问题：

（1）已知x＝﹣2，求代数式x2+4x﹣5的值；

（2）已知x＝，求代数式x3+x2+1的值．

29．（2022春•南部县校级月考）在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（1208年﹣1261年）提出了“三斜求积术”，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，简称秦九韶公式．在海伦（公元62年左右，生平不详）的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）得出的，故我国称这个公式为海伦﹣秦九韶公式．它的表述为：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的面积．（公式里的p为半周长即周长的一半）

请利用海伦﹣秦九韶公式解决以下问题：

（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为 　   　．

（2）四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝7，AD＝6，∠B＝90°，四边形ABCD的面积为 　   　．

（3）五边形ABCDE中，AB＝BC＝，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，求出五边形ABCDE的面积．

30．（2020•太原三模）阅读下列材料，完成相应任务：

任务：

（1）卢卡斯数列中的第1个数F（1）＝　   　，第2个数F（2）＝　   　；

（2）求卢卡斯数列中的第3个数F（3）；

（3）卢卡斯数列有一个重要特征：当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）．请根据这一规律直接写出卢卡斯数列中的第5个数：F（5）＝　   　．