数学八年级下册18.1.1 平行四边形的性质精品课后测评

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八年级数学下学期复习备考高分秘籍人教版
专题2.5平行四边形的性质与判定大题专练（分层培优30题，八下人教）
A卷 基础过关卷
（限时50分钟，每题10分，满分100分）
1．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝24，∠ABC＝70°，△ABO的周长是20．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求AB的长．

【分析】（1）根据平行四边形对角相等即可得答案；
（2）根据平行四边形对角线互相平分可得AO+BO的长，进而可求出AB．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC＝70°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴AO+BO＝（AC+BD）＝12，
∴AO+BO+AB＝20，
∴AB＝8．
2．已知，如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．

【分析】连接BD，与AC交于点O，由平行四边形的对角线互相平分得到OA＝OC，OB＝OD，进而得到OE＝OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证．
【解答】证明：如图，连接BD，与AC交于点O，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
又OB＝OD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
3．如图，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D，E分别为AB，BC的中点，点F在CA的延长线上，∠FDA＝∠B．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若AC＝6，BC＝10，求四边形AEDF的周长．

【分析】（1）根据三角形中位线定理、直角三角形的性质证明四边形DEAF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；
（2）由（1）的结论计算即可．
【解答】（1）证明：∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∵∠BAC＝90°，E为BC的中点，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，又∠FDA＝∠B，
∴∠FDA＝∠EAB，
∴EA∥DF，
∴四边形DEAF是平行四边形，
∴AF＝DE；
（2）解：∵∠BAC＝90°，E为BC的中点，
∴EA＝BC＝5，
∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE＝AC＝3，
∴四边形AEDF的周长＝2×（3+5）＝16．
4．如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AFCE是平行四边形．

【分析】由条件AB∥CD，AD∥BC可证到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，要证四边形AFCE是平行四边形，只需证OE＝OF即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝OB，OF＝OD，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，∠FEC＝∠B，
（1）CF＝DE成立吗？试说明理由．
（2）若AC＝6cm，AB＝10cm，求四边形DCFE的面积．

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝BD，再根据等边对等角可得∠B＝∠DCE，然后求出∠FEC＝∠DCE，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CED＝90°，然后求出∠CED＝∠ECF＝90°，再利用“角边角”证明△CDE和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
（2）由三角形的中位线定理得到DE的长度，再由平行四边形的面积公式求得．
【解析】（1）证明：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠FEC＝∠B，
∴∠FEC＝∠DCE，
∵点E是BC的中点，
∴∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠ECF＝90°，
在△CDE和△ECF中，

∴△CDE≌△ECF（ASA），
∴CF＝DE；

（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴BC＝＝8，
∵点D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE＝AC＝3，CE＝，
∴S四边形DCFE＝3×4＝12．
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，F为BC上一点，EF与对角线BD交于点O．有以下三个条件：①AE＝CF；②EO＝OF；③O为BD中点．从中选取一个作为题设，余下的两个作为结论，组成一个正确的命题，并加以证明．

【分析】利用已知结合全等三角形的判定与性质得出DE＝BF进而得出答案．
【解析】答案不唯一，例如：已知②EO＝OF；③O为BD中点，结论：①AE＝CF．
理由：在△DOE和△BOF中
，
∴△DOE≌△BOF（SAS），
∴DE＝BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴AE＝FC．
7．如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且EF⊥AE．
求证：AE平分∠DAF．
李华同学读题后有一个想法，延长FE，AD交于点M，要证AE平分∠DAF，只需证△AMF是等腰三角形即可．请你参考李华的想法，完成此题的证明．

【分析】通过倍长中线可证△EDM≌△ECF，进而可得EM＝EF，即可得△AMF是等腰三角形．
【解答】证明：延长AD，FE交于M．

在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠MDE＝∠FCE，∠EMD＝∠EFC，
又E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△EDM≌△ECF（AAS），
∴EM＝EF，
又∵EF⊥AE，
∴AF＝AM，即△AMF是等腰三角形，
∴AE平分∠DAF．
8．在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，　②　（填写序号）．
求证：BE＝DF．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形得BO＝DO，加上条件OE＝OF，从而得出四边形BEDF为平行四边形，从而有BE＝DF．
【解析】选②，如图，连接BF，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴BE＝DF．

故选择：②（答案不唯一）．
9．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB＝CE，∠BAE＝80°，∠DCE＝30°，求∠CBE的度数．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD＝FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出∠BCE＝50°，再由等腰三角形的性质得出∠CBE＝∠CEB，根据三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；

（2）解：∵∠BAE＝80°，
∴∠BCD＝80°，
∵∠DCE＝30°，
∴∠BCE＝80°﹣30°＝50°，
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣50°）＝65°．
10．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若AB＝10，AC＝4，求BF的长．

【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论；
（2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．
【解答】（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）＝（10﹣4）＝3．

B卷 能力提升卷
（限时60分钟，每题10分，满分100分）
11．如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若点E是BC的中点，∠C＝108°，求∠DAE的度数．

【分析】（1）由AD//BC可得∠ADE＝∠DEC，再由∠ADE＝∠EDC，从而可得∠DEC＝∠EDC，继而可证得CD＝CE；
（2）由题意可得AD//BC，AB＝CD，继而可求得∠BAD的度数，AB＝BE，从而可求得∠BAE的度数，由此即可求得∠DAE的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠DEC＝∠EDC，
∴CD＝CE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB＝CD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠C＝108°，
∴∠B＝180°﹣108°＝72°，
∵BE＝CE，CE＝CD，
∴AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣72°）÷2＝54°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝108°﹣54°＝54°．
12．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交对角线BD于点E，CF平分∠DCB交对角线BD于点F，连接AF，CE．
（1）若∠BCF＝50°，求∠ADC的度数；
（2）求证：四边形AECF为平行四边形．

【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形得出∠ADC+∠DCB＝180°，再根据角平分线的定义得出∠DCB的度数即可求解；
（2）由ASA证明△ABE≌△CDF得出AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，再根据平行线的判定得出AE∥CF即可得出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DCB＝180°，
∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF＝∠BCF＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DCF﹣∠BCF＝180°﹣50°﹣50°＝80°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，
∴∠BAE＝，，
∴∠BAE＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
13．如图，以平行四边形ABCD的边AB、CD为边，作等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形．

【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，由等边三角形的性质得出BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，证明△ADE≌△CBF（SAS），得出DE＝BF，则可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，
∵△ABE和△CDF是等边三角形，
∴BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，
∴∠DCB﹣∠DCF＝∠DAB﹣∠BAE，
即∠DAE＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF，
又∵BE＝DF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
14．如图，平行四边形ABCD中AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，CB＝2AB，∠DCB的平分线交BA的延长线于点F．
（1）求证：DE＝AE；
（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数．

【分析】（1）根据平行四边形的性质证明A为BF的中点，然后证明△DEC≌△AEF（AAS），进而得出结论；
（2）由平行四边形的对边平行证出∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC，由等腰三角形的性质得出∠CBE＝∠ABE，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CE是∠DCB的平分线，
∴∠DCE＝∠BCF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴∠DCE＝∠CFB，
∴∠BCF＝∠CFB，
∴BC＝BF，
∵BC＝2AB，
∴BF＝2AB，
∴A为BF的中点，
∴AB＝AF，
∴AB＝DC＝AF，
在△DEC和△AEF中，
，
∴△DEC≌△AEF（AAS），
∴DE＝AE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA∥CB，
∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC，
∵△DEC≌△AEF，
∴CE＝EF，
∵BC＝BF，
∴∠EBC＝∠FBE＝CBF＝35°，
∴∠BEA＝35°．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12，DE＝4．
（1）求证：DE＝BF；
（2）求四边形DEFB的周长．

【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据题意得到BF＝BC，等量代换证明结论；
（2）根据勾股定理求出DB，证明四边形DBFE为平行四边形，根据平行四边形的周长公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝3BF，
∴BF＝BC，
∴DE＝BF；
（2）解：∵点D是AC的中点，AC＝12，
∴CD＝6，
∵DE＝4，
∴BC＝8，
由勾股定理得：DB＝＝＝10，
∵DE＝BF，DE∥BC，
∴四边形DBFE为平行四边形，
∴四边形DEFB的周长＝2×（4+10）＝28．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．
（1）求证：
①△AOE≌△COF；
②四边形ABCD为平行四边形；
（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．

【分析】（1）①由平行线的性质得出∠OAD＝∠OCB，可证明△AOE≌△COF（ASA）；
②证得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出OE＝OF，证出BE＝BF，由等腰三角形的性质得出∠OBF＝∠OBE＝32°，求出∠ABC＝116°，则可得出答案．
【解答】（1）①证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
②同理可证△AOD≌△COB，
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∵EF⊥BD，
∴BE＝BF，
∴∠OBF＝∠OBE＝32°，
∴∠EBF＝64°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBF＝80°﹣64°＝16°．
17．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，延长边CD到点F，使DF＝DC，过点F作EF∥AC，连接OF、EC．
（1）求证△ODC≌△EDF．
（2）连接AF，已知 　②　．（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形OCEF的形状，并证明你的结论．
条件①：AF＝FC且AC＝2DC；
条件②：OD＝DC且∠BEC＝45°．

【分析】（1）由DF＝DC，EF∥AC，可以证明△ODC≌△EDF；
（2）由△ODC≌△EDF推出四边形OCEF是平行四边形，再由OD＝DC证明四边形OCEF是矩形，最后由∠BEC＝45°即可证明四边形OCEF是正方形．
【解答】（1）证明：∵EF∥AC，
∴∠EFC＝∠DCO，∠FED＝∠DOC，
∵DF＝DC，
∴△ODC≌△EDF（AAS）；
（2）选择②，四边形OCEF是正方形，
证明：∵△ODC≌△EDF（AAS），
∴OD＝DE，CD＝DF，
∴四边形OCEF是平行四边形，
∵OD＝DC，
∴OD＝DE＝CD＝DF，
∴四边形OCEF是矩形，
∵∠BEC＝45°，
∴∠EOC＝45°，
∴∠OEC＝∠EOC，
∴OC＝CE，
∴四边形OCEF是正方形，
18．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若AB＝，AC＝2，BD＝4．
（1）猜想∠BAO＝　90°　，并证明你的猜想．
（2）求平行四边形ABCD的周长．
（3）求点A到BC边的距离．

【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再利用勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）先利用勾股定理可得，再根据平行四边形的周长公式即可得；
（3）过点A作AE⊥BC于点E，根据S平行四边形ABCD＝BC⋅AE＝AB⋅AC即可得．
【解析】（1）猜想∠BAO＝90°，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝2，BD＝4，
∴，
∵，
∴OA2+AB2＝4＝OB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠BAO＝90°，
故答案为：90°；
（2）∵，
∴，
则平行四边形ABCD的周长为；
（3）如图，过点A作AE⊥BC于点E，

∵，
∴S平行四边形ABCD＝BC⋅AE＝AB⋅AC，即，
解得，
即点A到BC边的距离为．
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABC＝90°．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若点E、F分别为线段AB、AO的中点，连接EF，，BC＝6，求AB的长及四边形ABCD的面积．

【分析】（1）证明四边形ABCD是矩形，即可解决问题；
（2）利用矩形的性质，根据勾股定理可得AB＝8，然后利用矩形的面积公式即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD；
（2）解：∵E，F分别为AB、AO的中点，
∴OB＝2EF＝5；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝2OB＝10，
∵BC＝6，∠ABC＝90°，
∴AB＝＝8，
所以矩形ABCD的面积＝AB•BC＝6×8＝48．
20．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至F，使BF＝BE；连接EC并延长至G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形．

【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD∥FH，进而解答即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形．
C卷 培优压轴卷
（限时70分钟，每题10分，满分100分）
21．在平行四边形ABCD中，点H，G分别在AD，BC上，且AH＝BG，点P是线段GH上一点，过点P作直线EF交AB于E，交CD于F，且∠BEP＝∠BGH．

（1）如图1，求证：四边形HPFD是平行四边形；
（2）如图2，当点P在对角线BD上时，请直接写出图中所有面积相等的四边形．

【分析】（1）由平行四边形的性质和已知条件得出EF∥BC∥AD，由平行线的性质得出∠HPF+∠PHD＝180°，证出∠D+∠PHD＝180°，得出PH∥FD，即可得出结论；
（2）证出四边形BGPE是平行四边形，由平行四边形的性质得出△ABD的面积＝△BCD的面积，△BEP的面积＝△BGP的面积，△BDH的面积＝△PDF的面积，因此四边形AEPH的面积＝四边形PGCF的面积，得出四边形ABGH的面积＝四边形BCFE的面积，四边形AEFD的面积＝四边形GHDC的面积即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥BC，
∴EF∥BC∥AD，
∴∠HPF+∠PHD＝180°，
∵∠HPF＝∠D，
∴∠D+∠PHD＝180°，
∴PH∥FD，
∴四边形HPFD是平行四边形；
（2）解：四边形AEPH的面积＝四边形PGCF的面积，四边形ABGH的面积＝四边形BCFE的面积，四边形AEFD的面积＝四边形GHDC的面积；理由如下：
∵AB∥CD，PH∥FD，
∴AB∥GH∥CD，
∴四边形BGPE是平行四边形，
∵△ABD的面积＝△BCD的面积，△BEP的面积＝△BGP的面积，△BDH的面积＝△PDF的面积，
∴四边形AEPH的面积＝四边形PGCF的面积，
∴四边形ABGH的面积＝四边形BCFE的面积，四边形AEFD的面积＝四边形GHDC的面积．
22．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点F在CD上，连接FO并延长，交AB于点E，交CB的延长线于点M．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AD＝3，AB＝，BM＝1，直接写出BE的长为 　　．

【分析】（1）通过ASA证明△AOE≌△COF即可得出结论；
（2）过点O作ON∥BC交AB于N，由△AON∽△ACB得出ON＝，BN＝，再由△ONE∽△MBE得出等式求出BE即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）解：过点O作ON∥BC交AB于N，

则△AON∽△ACB，
∵OA＝OC，
∴ON＝，BN＝，
∵ON∥BC，
∴△ONE∽△MBE，
∴，
即，
∴BE＝，
故答案为：．
23．如图1，平行四边形ABCD，E、F为AB、DC中点，连接DE、CE、AF、BF，交点分别为G、H．
（1）如图1，求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图2，若∠BAD＝90°时，请直接写出图中所有直角三角形．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝DC，AB∥DC，求出AE＝CF＝BE＝DF，根据平行四边形的判定得出四边形AFCE和四边形BFDE都是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AF∥CE，DE∥BF即可；
（2）根据矩形的判定得出四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质得出∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的判定得出△EAD≌△EBC，求出∠AED＝∠BEC＝45°，求出∠DEC＝90°，得出四边形EGFH是矩形，再得出答案即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∵E、F分别为AB、DC的中点，
∴AE＝BE＝AB，DF＝CF＝DC，
∴AE＝CF＝BE＝DF，
∴四边形AFCE和四边形BFDE都是平行四边形，
∴AF∥CE，DE∥BF，
即GF∥EH，EG∥HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）解：直角三角形有△ADE，△BCE，△ADF，△CBE，△AGE，△AGD，△DGF，△CFH，△BHC，△BHE．
24．如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AD，BC为边向外构造等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF，BD．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．
（2）若AD与BE交于点G，且AD＝BD，∠DFB＝45°，，求△BDG的面积．

【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得DE＝BF，∠EDB＝∠DBF即DE∥BF，进而利用平行四边形的判定即可得证；
（2）先求得∠DBF＝∠EDB＝90°，进而求得∠ADB＝∠DBC＝30°，∠DEB＝∠DBE＝45°，过G作GH⊥BD于H，利用等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求得BH、GH、DH，进而求得BD即可得所求面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵等边△ADE和等边△BCF，
∴DE＝AD，BC＝BF，∠EDA＝∠CBF＝60°，
∴DE＝BF，∠EDB＝∠DBF，
∴DE∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；

（2）解：∵AD＝BD，AD＝DE＝BF，
∴DE＝BD＝BF，
又∵∠DFB＝45°，
∴∠DBF＝180°﹣2∠DFB＝90°＝∠EDB，
∴∠DBC＝∠DBF﹣∠CBF＝30°，∠DEB＝∠DBE＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC＝30°，
过G作GH⊥BD于H，
在Rt△GHB中，，∠HBG＝45°，BG2＝GH2+HB2，
∴，
在Rt△GHD中，∠GDH＝30°，GH＝1，
∴DG＝2GH＝2，
∴，
∴，
∴△BDG的面积为＝．

25．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．

【分析】（1）取BD的中点P，连接EP、FP，由三角形中位线定理得PE∥AB，且PE＝5，PF∥CD，且PF＝12，再证∠EPF＝90°，然后由勾股定理即可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得PE∥AB，且，PF∥CD，且，再证∠EPF＝90°，然后由勾股定理即可得出结论．
【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP，
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝10，CD＝24，
∴PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE∥AB，且，且，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在Rt△EPF中，由勾股定理得：，
即EF的长为13；
（2）证明：由（1）可知，PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE∥AB，且，PF∥CD，且，
∴∠EPD＝∠ABD，∠DPF＝180°﹣∠BDC．
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴，
∴AB2+CD2＝4EF2．

26．如图，在平行四边形ABCD内有一点E，且∠CBE＝∠CDE＝90°．
（1）请在下面三个结论中，选出一个正确的结论并证明：
①∠BED＝2CABE；②∠BED﹣∠ABE＝90°；③∠BED﹣∠CBD＝90°．
（2）若BD平分∠CDE，求证：BC＝BE．

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得正确的结论为②∠BED﹣∠ABE＝90°，证明即可；
（2）在DC上截取DF＝DE，证明△BDE≌△BDF（SAS），可得BE＝BF，∠BED＝∠BFD，进而可以解决问题．
【解答】（1）解：正确的结论为：②∠BED﹣∠ABE＝90°，证明过程如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∵∠CBE＝∠CDE＝90°，
∴∠BED+∠C＝180°，
∴∠BED＝∠ABC，
∴∠BED﹣∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE＝∠CBE＝90°；
（2）证明：如图，在DC上截取DF＝DE，

∵BD平分∠CDE，
∴∠BDE＝∠BDF，
在△BDE和△BDF中，
，
∴△BDE≌△BDF（SAS），
∴BE＝BF，∠BED＝∠BFD，
由（1）知：∠BED+∠C＝180°，∠BFD+∠BFC＝180°，
∴∠BFC＝∠C，
∴BF＝BC，
∴BC＝BE．
27．在等边△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，满足DE＝EF，且∠DEF＝60°．作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG．
（1）当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形；
（2）当AD＜BD，AB＝DE时，求∠BDE的度数．


【分析】（1）根据题意即可补全图形；然后证明△BDE≌△CEF可得CE＝BD，进而可以解决问题；
（2）根据题意证明△DEF是等边三角形，可得DE＝DF，由点E，点G关于AC对称，可得EF＝GF，∠FEC＝∠FGC，所以DF＝GF，进而可以解决问题．
【解析】（1）如图1，即为补全的图形，

证明：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵点E，点G关于AC对称，
∴∠ACG＝∠ACB＝60°，CE＝CG，
∴∠A＝∠ACG，
∴AB∥CG，
即BD∥CG，
∵∠DEF＝60°，∠BED+∠CEF+∠DEF＝180°，
∴∠BED+∠CEF＝120°，
在△BDE中，
∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠BDE＝∠CEF，
在△BDE与△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（AAS），
∴CE＝BD，
∴CG＝CE＝BD，
∵BD∥CG，
∴四边形DBCG是平行四边形；
（2）∵四边形DBCG是平行四边形，
∴BC＝DG，∠DGC＝∠B＝60°，
∵BC＝AB，AB＝DE，
∴DG＝DE，
∵DE＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，
∵点E，点G关于AC对称，
∴EF＝GF，∠FEC＝∠FGC，
∴DF＝GF，
∴DG＝DF＝GF，
在△DFG中，DG2＝DF2+GF2，
∴∠DFG＝90°，
∵DF＝GF，
∴∠FDG＝∠FGD＝45°，
∴∠CGF＝∠CGD﹣∠FGD＝15°，
∴∠BDE＝∠CEF＝∠CGF＝15°．
28．如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）当∠ABC＝90°时，G是EF的中点，联结DB，DG（如图2），请直接写出∠BDG的度数
（2）当∠ABC＝120°时，FG∥CE，且FG＝CE，分别联结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

【分析】（1）根据∠ABC＝90°，G是EF的中点可直接求得；
（2）延长AB、FG交于H，连接HD．易证平行四边形AHFD为菱形，进而可得△ADH，△DHF为全等的等边三角形，再证明△BHD≌△GFD，所以可得∠BDH＝∠GDF，然后即可求得答案．
【解析】（1）连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF＝45°，
∵∠DCB＝90°，DF∥AB，
∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝DC，
∴BE＝DC，
∵∠CEF＝∠GCF＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°，
在△BEG与△DCG中，
，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA＝90°，
又∵∠DGC＝∠BGA，
∴∠BGA+∠DGA＝90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG＝45°；
（2）延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形，
∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°，
∴△DAF为等腰三角形，
∴AD＝DF，
∴CE＝CF，
∴平行四边形AHFD为菱形，
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，
∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°．
∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH，
∴BH＝GF．
在△BHD与△GFD中，
，
∴△BHD≌△GFD（SAS），
∴∠BDH＝∠GDF，
∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60°．


29．在平行四边形ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为边CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．
（1）如图①，当点P为线段CD的中点时，求证：PA＝PE；
（2）如图②，当点P在线段CD上时，求证：DE﹣DA＝DP．

【分析】（1）连接PB，根据题意可得△BDC是等腰直角三角形，再证明△ADP≌△EBP，即可；
（2）过点P作PF⊥CD交DE于点F，可得∠DPA＝∠FPE，再结合平行四边形的性质可得△ADP≌△EFP，可得AD＝EF，再由勾股定理可得，即可．
【解答】证明：（1）如图，连接PB，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∵AD＝BD，
∴BC＝BD，
∵∠C＝45°，
∴∠BDC＝∠C＝45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵点P为线段CD的中点，
∴DP＝BP，∠CPB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠PBE＝135°，
∵EP⊥AP，
∴∠APE＝∠DPB＝90°，
∴∠APD＝∠BPE，
∴△ADP≌△EBP（ASA），
∴PA＝PE；
（2）证明：如图，过点P作PF⊥CD交DE于点F，

∵PF⊥CD，EP⊥AP，
∴∠DPF＝∠APE＝90°，
∴∠DPA＝∠FPE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠DAB＝45°，AB∥CD，
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC＝90°，
∴∠PFD＝45°，
∴∠PFD＝∠PDF＝45°，
∴PD＝PF，
∴∠PDA＝∠PFE＝135°，
∴△ADP≌△EFP（ASA），
∴AD＝EF，
∵PD＝PF，∠PFD＝∠PDF＝45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴，
∵DE＝DF+EF，
∴DE＝DF+DA，
∴．


30．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC上以4cm/s的速度从点C出发往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止），设运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）当点P运动t秒时，线段PD的长度为 　（15﹣t）　cm；
当点P运动2秒时，线段BQ的长度为 　7　cm；
当点P运动5秒时，线段BQ的长度为 　5　cm；
（2）若经过t秒，以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有t的值．

【分析】（1）由路程＝速度×时间，可求解；
（2）分四种情况讨论，由平行四边形的性质，列出等式可求解．
【解析】（1）∵点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，
∴AP＝tcm，
∴PD＝（15﹣t）cm，
当点P运动2秒时，CQ＝2×4＝8cm，
∴BQ＝15﹣8＝7cm，
当点P运动5秒时，CQ＝4×5＝20cm，
∴BQ＝20﹣15＝5cm，
故答案为：（15﹣t）；7；5；
（2）∵P在AD上运动，
∴t≤15÷1＝15，即0＜t≤15，
∵以点P、D、Q、B为顶点的平行四边形，
已有PD∥BQ，还需满足DP＝BQ，
①当点Q的运动路线是C﹣B时，BQ＝15﹣4t，由题意得：15﹣t＝15﹣4t，t＝0 不合题意，
②当点Q的运动路线是C﹣B﹣C时，BQ＝4t﹣15，由题意得：15﹣t＝4t﹣15，解得：t＝6；
③当点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B时，BQ＝45﹣4t，由题意得：15﹣t＝45﹣4t，解得：t＝10；
④当点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B–C时，BQ＝4t﹣45，由题意得：15﹣t＝4t﹣45，解得：t＝12；
综上所述，t的值为6或10或12．