高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体综合训练题

9.2　用样本估计总体

9.2.1　总体取值规律的估计

9.2.2　总体百分位数的估计

基础过关练　 　　　　　 　　　　　

题组一　频率分布表

1.一个容量为80的样本中,数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为(　　)

A.10组 B.9组 C.8组 D.7组

2.一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下:

则样本数据落在[10,40)上的频率为(　　)

A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64

3.将容量为72的样本中的数据分成5组,已知第一组、第五组的频数都为8,第二组、第四组的频率都为,则第三组的频数为(　　)

A.16 B.20 C.24 D.36

4.某农技站为了考察某种大麦穗生长的分布情况,在一块试验田里抽取了100株麦穗,量得长度如下(单位:cm):

6.5　6.4　6.7　5.8　5.9　5.9　5.2　4.0　5.4　4.6

5.8　5.5　6.0　6.5　5.1　6.5　5.3　5.9　5.5　5.8

6.2　5.4　5.0　5.0　6.8　6.0　5.0　5.7　6.0　5.5

6.8　6.0　6.3　5.5　5.0　6.3　5.2　6.0　7.0　6.4

6.4　5.8　5.9　5.7　6.8　6.6　6.0　6.4　5.7　7.4

6.0　5.4　6.5　6.0　6.8　5.8　6.3　6.0　6.3　5.6

5.3　6.4　5.7　6.7　6.2　5.6　6.0　6.7　6.7　6.0

5.6　6.2　6.1　5.3　6.2　6.8　6.6　4.7　5.7　5.7

5.8　5.3　7.0　6.0　6.0　5.9　5.4　6.0　5.2　6.0

6.3　5.7　6.8　6.1　4.5　5.6　6.3　6.0　5.8　6.3

根据上面的数据列出频率分布表,并估计在这块试验田里长度在[5.75,6.35)之间的麦穗所占的百分比.

题组二　频率分布直方图

5.一个样本量为100的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6,10)内的频数为a,样本数据落在[2,10)内的频率为b,则a,b分别为(　　)

A.32,0.4 B.8,0.1 C.32,0.1 D.8,0.4

6.将容量为n的样本中的数据分成6组,绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和等于27,则n=　　　　. 

7.某样本的频率分布直方图中共有8个小长方形,若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长方形的面积和的,且样本量为200,则第8组的频数为　　　　. 

8.某企业在2020年的招聘考试成绩中随机抽取100名应聘者的笔试成绩(单位:分),按成绩分组得到如下频率分布表:

(1)请求出频率分布表中①②处应填写的数据,并完成如图所示的频率分布直方图;

(2)为了选拔出最优秀的应聘者,该企业决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6名应聘者进入第二轮面试,求第3,4,5组每组各应抽取多少名应聘者进入第二轮面试.

题组三　条形图、扇形图、折线图

9.(多选)下列说法正确的是(　　)

A.频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率

B.频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1

C.频率分布直方图中各个小矩形的宽必须一样大

D.频数分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频数

10.如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位:℃)情况绘制的折线统计图,试根据折线统计图反映的信息完成下列问题.

(1)绘制该市3月1日到3月10日最低气温(单位:℃)的扇形统计图;

(2)绘制该市3月1日到3月10日最低气温(单位:℃)的条形统计图;

(3)比较以上折线统计图、扇形统计图、条形统计图的特点.

11.有一容量为200的样本,数据的分组以及各组的频数如下:

(1)列出样本的频率分布表;

(2)画出频率分布直方图和折线图;

(3)求样本数据不足0的频率.

题组四　总体百分位数的估计

12.某地8名新冠肺炎病患者的潜伏期(单位:天)分别为7,8,8,10,12,13,13,16,则它们的50%分位数是(　　)

A.10或12 B.12

C.10 D.11

13.已知100个数据的第75百分位数是9.3,则下列说法正确的是(　　)

A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B.把这100个数据按从小到大的顺序排列后,9.3是第75个数据

C.把这100个数据按从小到大的顺序排列后,9.3是第75个数据和第76个数据的平均数

D.把这100个数据按从小到大的顺序排列后,9.3是第74个数据和第75个数据的平均数

14.数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位数是　　　　. 

15.从某珍珠公司生产的珍珠中任意抽取12颗,得到它们的质量(单位:g)如下:7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.

(1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数;

(2)请找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量;

(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品,依照这个样本的数据,给出该公司珍珠等级的划分标准.

能力提升练

题组一　统计图、表的综合应用　　　 　　　　　 　　　　　

1.()在抽查某产品尺寸的过程中,将其尺寸分成若干个小组,[a,b)是其中一组,抽查出的个体数在该组内的频率为m,在频率分布直方图中该组的高度为h,则|a-b|=(　　)

A.hm B. C. D.h+m

2.(2019山西大同铁一中期末考试,)为了解某校高三学生的身体状况,用分层随机抽样的方法抽取部分男生和女生的体重,将男生体重的数据整理后,画出了如图所示的频率分布直方图,已知图中从左到右前三个小组的频率之比为1∶2∶3,第二小组的频数为12,若全校男、女生比例为3∶2,则全校抽取的学生数为　　　　. 

3.()为了了解学生参加体育活动的情况,某校对学生进行了随机抽样调查,其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少?”共有4个选项可供选择:A.1.5小时以上;B.1~1.5小时;C.0.5~1小时;D.0.5小时以下.下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,请你根据统计图中提供的信息解答以下问题:

(1)本次一共调查了多少名学生?

(2)在图(1)中将选项B对应的部分补充完整;

(3)若该校有3 000名学生,试估计全校学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下的人数.

题组二　总体百分位数的估计

4.(2020山东济南历城二中高一下5月学情检测,)已知甲、乙两组按顺序排列的数据:

甲组:27,28,37,m,40,50;

乙组:24,n,34,43,48,52.

若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等,则等于(　　)

A. B. C. D.

5.()如图是一样本的频率分布直方图,样本数据共分3组,分别为[5,10),[10,15),[15,20].

估计样本数据的第60百分位数是(深度解析)

A.14 B.15 C.16 D.17

6.()从某校高一新生中随机抽取一个容量为20的身高样本,数据从小到大排序如下(单位:cm):152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,170,171,x,174,175.若样本数据的第90百分位数是173,则x的值为(　　)

A.171 B.172 C.173 D.174

7.(2020福建师大附中高二期末,)从某保险公司的推销员中随机抽取50名,统计这些推销员某月的月销售额(单位:千元),由统计结果得如下频数分布表:

(1)作出这些数据的频率分布直方图;

(2)根据以上抽样调查数据,公司将推销员的月销售指标确定为17.875千元,试判断是否有60%的职工能够完成该销售指标.

答案全解全析

基础过关练

1.B　根据列频率分布表的步骤,得==8.9,所以应将样本数据分为9组.

2.C　样本数据落在[10,40)上的频数为13+24+15=52,故其频率为=0.52.

3.C　由题意得,第二组、第四组的频数都为72×=16,所以第三组的频数为72-2×8-2×16=24.

4.解析　(1)计算极差:7.4-4.0=3.4;

(2)决定组距与组数:若取组距为0.3,则≈11.3,即可以将这些数据分为12组,所以取组距为0.3,组数为12;

(3)将数据分组:由于组距为0.3,12个组距的长度超过极差,所以可以使第一组的左端点略小于数据中的最小值,最后一组的右端点略大于数据中的最大值,按如下方式把样本数据以组距0.3分为12组:[3.95,4.25),[4.25,4.55),…,[7.25,7.55];

(4)列频率分布表:

从表中数据可以看到,样本数据落在[5.75,6.35)之间的频率是0.28+0.13=0.41,所以可以估计在这块试验田里长度在[5.75,6.35)之间的麦穗约占41%.

5.A　由样本的频率分布直方图知:落在[6,10)内的频率是4×0.08=0.32,∴a=100×0.32=32.落在[2,10)内的频率为4×(0.02+0.08)=0.4,∴b=0.4.

6.答案　60

解析　设第一组至第六组数据的频率分别为2x,3x,4x,6x,4x,x,则2x+3x+4x+6x+4x+x=1,解得x=0.05,所以前三组数据的频率分别是0.1,0.15,0.2,所以(0.1+0.15+0.2)×n=27,解得n=60.

7.答案　40

解析　设最后一个小长方形的面积为x,则其他7个小长方形的面积和为4x,从而x+4x=1,所以x=0.2.故第8组的频数为200×0.2=40.

8.解析　(1)由题意可知,第2组的频数为0.35×100=35,第3组的频率为=0.30,故①处应填35,②处应填0.30.

频率分布直方图如图所示.

(2)因为第3,4,5组共有60名应聘者,所以利用分层随机抽样的方法在60名应聘者中抽取6名应聘者的抽样比为=,故第3组应抽取30×=3名应聘者,第4组应抽取20×=2名应聘者,第5组应抽取10×=1名应聘者,所以第3,4,5组应抽取的应聘者人数分别为3,2,1.

9.BD　频率分布直方图中每个小矩形的面积是该组的频率,且各个小矩形的面积之和为1,故A错,B正确;数据分组时,可以是等距的,也可以是不等距的,要根据数据的特点而定,所以频率分布直方图中各小矩形的宽不一定都是一样大的,故C错;根据频数分布直方图的特点可知D正确.

10.解析　该城市3月1日至3月10日的最低气温(单位:℃)情况如下表:

其中最低气温为-3 ℃的有1天,占10%;最低气温为-2 ℃的有1天,占10%;最低气温为-1 ℃的有2天,占20%;最低气温为0 ℃的有2天,占20%;最低气温为1 ℃的有1天,占10%;最低气温为2 ℃的有3天,占30%.

(1)绘制的扇形统计图如图所示.

(2)绘制的条形统计图如图所示.

(3)折线统计图能很好地描述数据随时间的变化趋势;扇形统计图更多用于描述各类数据占总数的比例;从条形统计图中可以更直观地看出事物的不同类型或分组数据的频数和频率.

11.解析　(1)频率分布表如下:

(2)频率分布直方图和折线图如图所示.

(3)样本数据不足0的频率为0.035+0.055+0.075+0.200=0.365.

12.D　50%分位数即中位数,为×(10+12)=11.

13.C　因为100×75%=75,为整数,所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数.

14.答案　8.4

解析　因为8×30%=2.4,所以30%分位数是第三个数据8.4.

15.解析　(1)将所有数据从小到大排列,得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,

因为12×25%=3,12×75%=9,12×95%=11.4,

所以第25百分位数是=8.15,

第75百分位数是=8.75,

第95百分位数是第12个数据9.9.

(2)因为12×15%=1.8,所以第15百分位数是第2个数据7.9,所以产品质量较小的前15%的珍珠有2个,它们的质量分别为7.8,7.9.

(3)由(1)可知,样本数据的第25百分位数是8.15 g,第50百分位数为8.5 g, 第95百分位数是9.9 g,所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品,质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品,质量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠为优等品,质量大于9.9 g的珍珠为特优品.

能力提升练

1.B　根据频率分布直方图中小矩形的高为,可知=h,所以|a-b|=.故选B.

2.答案　80

解析　由题图得,第四小组与第五小组的频率和为(0.037 5+0.012 5)×5=0.25.

因为从左到右前三个小组的频率之比为1∶2∶3,第二小组的频数为12,

所以前三个小组的频数和为36,所以抽取的男生数为=48.

因为全校男、女生比例为3∶2,所以全校抽取的学生数为48×=80.

3.解析　(1)由题图知,选A的共60名学生,占总学生数的30%,

所以总学生数为60÷30%=200,即本次一共调查了200名学生.

(2)被调查的学生中,选B的有200-60-30-10=100(名),补充完整的条形图如图所示.

(3)3 000×5%=150(名),估计全校有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下.

4.B　因为30%×6=1.8,50%×6=3,所以甲组数据的第30百分位数为28,乙组数据的第30百分位数为n,甲组数据的第50百分位数为,乙组数据的第50百分位数为=.

所以解得

所以==.

5.A　第1组[5,10)的频率为0.04×(10-5)=0.20,

第2组[10,15)的频率为0.10×(15-10)=0.50,

所以第60百分位数是10+5×=14.

方法技巧

本题还可以利用方程思想,通过列方程求解.设第60百分位数是x,则0.04×5+(x-10)×0.10=60%,解得x=14.

6.B　因为20×90%=18,

所以第90百分位数是第18项和第19项数据的平均数,即×(x+174)=173,所以x=172.

7.解析　(1)根据题意作出频率分布表.

作出频率分布直方图如图所示:

(2)由(1)得,月销售额小于17.875千元的频率为0.08+0.2+×0.48=0.4.所以有60%的职工能够完成该销售指标.