初中数学12.3 角的平分线的性质习题

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第一次月考难点特训（一）与三角形的内外角有关的压轴题
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．

（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　 °；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？
（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
【答案】（1）140；（2）∠1+∠2＝90°+∠α；（3）∠1﹣∠2＝∠α﹣90°．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）连接PC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可；
（2）连接PC，方法与（1）相同；
（3）利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和讨论求解即可．
【详解】
解：（1）如图，连接PC，

由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠ACB，
∵∠DPE＝∠α＝50°，∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝50°+90°＝140°，
故答案为：140
（2）连接PC，

由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠ACB，
∵∠ACB＝90°，∠DPE＝∠α，
∴∠1+∠2＝90°+∠α.
（3）如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C+∠1+∠α，
∴∠2﹣∠1＝90°+∠α；

如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°；

如图3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C，
∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°．

【点睛】
此题主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，∠α转化到一个三角形或四边形中．
2．（1）如图1，与是的两个外角，那么，，之间有怎样的等量关系？请直接写出结论．
（2）如图2，若，分别平分的外角和，那么与之间有怎样的等量关系？请说明理由．
（3）如图3，若，分别平分四边形的外角和，那么与，之间有怎样的等量关系？请说明理由．

【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平角的性质可得可得∠DBC=180°-∠ABC，∠BCE=180°-∠ACB，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
（2）利用（1）中的结论，结合三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出；
（3）结合（1）（2）可得和，整理后即可得出三者之间的关系．
【详解】
解：（1），理由如下：
∠DBC+∠BCE
=180°-∠ABC+180°-∠ACB
=360°-（∠ABC+∠ACB）
=360°-（180°-∠A）
=180°+∠A；
（2）．
理由如下：
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴．
（3），理由如下：
延长DQ、CE交于A，
由（1）同理可证，
由（2）得，即，
∴，即

【点睛】
本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，平角的定义,三角形的外角．熟练掌握相关性质，并能结合图形分析是解题关键．
3．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如图，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．
（1）∠ABO的度数为_____°，△AOB_____（填“是”或“不是”） “智慧三角形”；
（2）若∠OAC=20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；
（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．

【答案】     30；     是；
（2）证明见解析；（3）∠OAC的度数为80°或52.5°或30°或97.5°或112.5°．
【解析】
【分析】
分析：（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；
（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．
【详解】
（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°−∠MON＝30°，
∵∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“智慧三角形”，
故答案为30；是；
（2）∠AOC＝60°，∠OAC＝20°，
∴∠AOC＝3∠OAC，
∴△AOC为“智慧三角形”；
（3）∵△ABC为“智慧三角形”，
①当点C在线段OB上时，∵∠ABO＝30°，
∴∠BAC＋∠BCA＝150°，∠ACB＞60°，∠BAC＜90°，
Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，∠BAC＝10°，
∴∠OAC＝80°，
Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，
∴∠ACB＝10°
∴此种情况不存在，
Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，
∴∠BAC＋3∠BAC＝150°，
∴∠BAC＝37.5°，
∴∠OAC＝52.5°，
Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠OAC＝90°−60°＝30°，
Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，
∴∠BAC＝90°，
∴∠OAC＝0°，
∵点C与点O不重合，
∴此种情况不成立，
Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时，
∴3∠ACB＋∠ACB＝150°，
∴∠ACB＝37.5°，
∴此种情况不存在，
②当点C在线段OB的延长线上时，
∵∠ACO＝30°，
∴∠ABC＝150°，
∴∠ACB＋∠BAC＝30°，
Ⅰ、当∠ACB＝3∠BAC时，
∴3∠BAC＋∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝7.5°，
∴∠OAC＝90°＋∠BAC＝97.5°，
Ⅱ、当∠BAC＝3∠BCA时，
∴3∠BCA＋∠BCA＝30°，
∴∠BCA＝7.5°，
∴∠BAC＝3∠BCA＝22.5°，
∴∠OAC＝90°＋22.5°＝112.5°
当△ABC为“智慧三角形”时，∠OAC的度数为80°或52.5°或30°或97.5°或112.5°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
4．如图，△ABC中，∠A=40°，
(1)若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；
(2)若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；
(3)若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；
(4)若∠A=β，求(1)(2)(3)中∠P的度数(用含β的代数式表示，直接写出结果)

【答案】(1)∠BPC=110°；(2)∠BPC =70°；(3)∠BPC=20°；(4)(1)中∠P=β+90°；(2)中∠P=90°-β；(3)中∠P=β．
【解析】
【分析】
（1）由三角形内角和定理可知∠ABC+∠ACB的度数，根据点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，可知的度数，再次利用三角形内角和定理即可得出∠P度数；
（2）由三角形的外角和定理可以得到∠DBC与∠BCE关于∠A的关系，再利用三角形内角和定理即可求出答案；
（3）由三角形的外角和定理和角平分线的定义可以得到∠P=，即可得出答案；
（4）由（1）（2）（3）证明过程，容易得到答案.
【详解】
(1)∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=×140°=70°，
∴∠BPC=180°-70°=110°；
(2)∵∠DBC=∠A+∠ACB，
∵P为△ABC两外角平分线的交点，
∴∠DBC=∠A+∠ACB，
同理可得：∠BCE=∠A+∠ABC，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴(∠ACB+∠ABC)=90°-∠A，
∵180°-∠BPC=∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∴180°-∠BPC=∠A+∠ACB+∠ABC，180°-∠BPC=∠A+90°-∠A，
∴∠BPC=90°-∠A=70°；
(3)∵点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点
∴
∵∠PCF=∠P+∠PBC，∠ACF=∠A+∠ABC
∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC
∴
(4)若在(1)中；在(2)中，同理得；在(3)中同理可得∠P=β．

【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角和定理和角平分线的定义，能够综合运用定理与定义进行倒角证明是解答本题的关键.
5．已知：如图①，在和中，，，，AC，BD相交于点P．

（1）求证：①；
②．
（2）如图②，在和中，，，，，相交于点P，AC与BD间有怎样的数量关系？的度数为多少？
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）①根据全等三角形的判定SAS得出，再由全等三角形的性质即可得出；
②设AC与BO交于点M，在与中，由三角形内角和定理得出，推出即可得出；
（2）根据全等三角形的判定SAS得出，根据全等三角形的性质即可得出，，设AC与BO交于点M，根据三角形内角和定理得出，推出即可得出．
【详解】
（1）①，
，即，
，，
，
．
②

，
，
如图所示，设AC与BO交于点M，则，
在与中，由三角形内角和定理得：
，即．
（2）

，
，即，
，，
，
，，
如图所示，设AC与BO交于点M，则，
在与中，由三角形内角和定理得：
，即．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，本题的关键是证明．
6．（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个．

（2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个．
想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　 　条．
算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数．
【答案】（1）4；（2）2;想一想： 4；算一算：70°或40°或100°．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的判定，两个边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论；
（2）以O为圆心，OA为半径画弧，交直线l于两点，即可得到结论；
想一想：分四种情况：①当AC=AF，②当BC=BE，③当CB=CG，④当AD＝CD，于是得到结论；
算一算：如图3，当AD=CD，分三种情况：①当CD=BD时，∠B=∠BCD=70°；②当CD=BC时，∠B=∠CDB=40°；③当BD=BC时，∠B=180°-40°-40°=100°；如图4，当AC=AE，CE=BE时，G根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图1，①当AO＝OP1，②当AO＝AP2；③当AO＝OP3，④当AP4＝OP4，这样的等腰三角形能画4个．
故答案为：4；

（2）以O为圆心，OA为半径画弧，交直线l于两点；
故这样的等腰三角形能画2个，
故答案为：2；
想一想：①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CG，④当AD＝CD时，过顶点C作一条直线，能分割出一个等腰三角形，
∴过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画4条，

故答案为：4；
算一算：如图3，当AD＝CD，

∴∠ACD＝∠A＝20°，
∴∠CDB＝40°，
∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝70°；
②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝40°；
③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
如图4，当AC＝AE，CE＝BE时，

∵∠A＝20°，
∴∠ACE＝∠AEC＝80°，
∴∠B＝∠BCE＝40°，
综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为70°或40°或100°．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定与作图；特别注意利用分类讨论的方法，避免漏解．
7．已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．

(1)如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数．
(2)如图1，求证：EF＝2AD．
(3)如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)∠BAC＝50°
(2)见解析
(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的内角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根据∠EAF+∠BAC＝180°构建方程即可解决问题；
（2）延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，想办法证明△ABH≌△EAF即可解决问题；
（3）结论：∠GAF﹣∠CAF＝60°．想办法证明△ACD≌△FAG，推出∠ACD＝∠FAG，再证明∠BCF＝150°即可．
(1)
解：∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝65°，
∴∠EAB＝50°，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC＝75°，
∴∠CAF＝30°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°，
∴50°+2∠BAC+30°＝180°，
∴∠BAC＝50°．
(2)
证明：证明：如图，延长AD至点H，使DH=AD，连接BH

∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
又∵DH=AD，∠BDH=∠ADC
∴△ADC≌△HDB（SAS），
∴BH=AC，∠BHD=∠DAC，
∴BH=AF，
∵∠BHD=∠DAC，
∴BH∥AC，
∴∠BAC+∠ABH=180°，
又∵∠EAF+∠BAC=180°，   
∴∠ABH=∠EAF，
又∵AB=AE，BH=AF，
∴△AEF≌△BAH（SAS），
∴EF=AH=2AD，
∴EF＝2AD；
(3)
结论：∠GAF﹣∠CAF＝60°．
理由：由（2）得，AD＝EF，又点G为EF中点，
∴EG＝AD，
由（2）△AEF≌△BAH，
∴∠AEG=∠BAD，
在△EAG和△ABD中，
，
∴△EAG≌△ABD，
∴∠EAG＝∠ABC＝60°，AG=BD，
∴△AEB是等边三角形，AG=CD，
∴∠ABE＝60°，
∴∠CBM＝60°，
在△ACD和△FAG中，
，
∴△ACD≌△FAG，
∴∠ACD＝∠FAG，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC，
在四边形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF＝360°，
∴60°+2∠BCF＝360°，
∴∠BCF＝150°，
∴∠BCA+∠ACF＝150°，
∴∠GAF+（180°﹣∠CAF）＝150°，
∴∠GAF﹣∠CAF＝60°．
【点睛】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
8．如图1，，，，，连接、，交于点．

(1)写出和的数量关系及位置关系，并说明理由；
(2)如图2，连接，若、分别平分和，求的度数；
(3)如图3，连接、，设的面积为，的面积为，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）设交于点，根据已知条件证明，可得，，进而根据三角形内角和可得，即可求解；
（2）根据（1）的结论结合已知条件证明，可得，进而根据即可求解；
（3）过点，分别作的垂线，交的延长线于点，，可得，进而根据三角形面积公式求得，根据等底等高可得．
(1)
，理由如下，
如图，设交于点，

，，
，
，
，
又，，
，
，，
又，
，
，
(2)
、分别平分和，
，，
，
,
，
在与中，
，
，
，
，
；

(3)
如图，过点，分别作的垂线，交的延长线于点，

，
，
，
又，
，
，
的面积为，的面积为，
，
，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
9．已知：为的中线，分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，连接，．

(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图1，求证：．
(3)如图2，设交于点，交于点与交于点，若点为中点，且，请探究和的数量关系，并直接写出答案（不需要证明）．
【答案】(1)∠BAC=50°；
(2)见解析；
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用三角形内角和定理求出∠EAB和∠CAF，再根据构建方程即可解决问题；
（2）延长AD至H，使DH=AD，连接BH，想办法证明△ABH≌△EAF即可解决问题；
（3）先证明△ACD≌△FAG，推出∠ACD=∠FAG，再证明∠BCF=150°即可．
(1)
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=65°，
∴∠EAB=50°，
∵AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC=75°，
∴∠CAF=30°，
∵∠EAF+∠BAC=180°，
∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC=180°，
∴50°+2∠BAC+30°=180°，
∴∠BAC=50°．
(2)
证明：延长AD至H，使DH=AD，连接BH，
∵EF=2AD，
∴AH=EF，
在△BDH和△CDA中，
，
∴△BDH≌△CDA，
∴HB=AC=AF，∠BHD=∠CAD，
∴AC∥BH，
∴∠ABH+∠BAC=180°，
∵∠EAF+∠BAC=180°，
∴∠EAF=∠ABH，
在△ABH和△EAF中，
，
∴△ABH≌△EAF，
∴∠AEF=∠ABH，EF=AH=2AD，

(3)
结论：∠GAF-∠CAF=60°．
由（1）得，AD=EF，又点G为EF中点，
∴EG=AD，
在△EAG和△ABD中，
，
∴△EAG≌△ABD，
∴∠EAG=∠ABC=60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠CBM=60°，
在△ACD和△FAG中，
，
∴△ACD≌△FAG，
∴∠ACD=∠FAG，
∵AC=AF，∴∠ACF=∠AFC，
在四边形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF=360°，
∴60°+2∠BCF=360°，
∴∠BCF=150°，
∴∠BCA+∠ACF=150°，
∴∠GAF+（180°-∠CAF）=150°，
∴∠GAF-∠CAF=60°．
.
【点睛】
本题考查三角形综合题，涉及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，且∠ADE＝∠B，BD＝CE，
（1）求证：AD＝ED；
（2）如图2，过点D作DF⊥AC于F，作∠BAC平分线AM分别交DF、DC于G、M，求证：AG＝DG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG并延长交AB于H，若AH＝BD，求∠BAC的度数．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）通过证明，即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质，求证，即可求解；
（3）连接，通过证明，再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴
∵
∴
在和中

∴
∴
（2）由（1）得，∴
∴
由题意可得：
在和中

∴
∴
∴
（3）连接，如下图：

∵，，
∴
∴
∴平分
∴
又∵，
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
由三角形内角和可知：，
即，解得
故答案为
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，涉及了等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和的性质，解题的关键是掌握相关性质，灵活运用有关性质进行求解．
11．已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝2∠ABC＝2∠BAC．
（1）猜想△ABC按角分类的类型，并证明你的结论；
（2）如图1，若点D是线段AB上一点，连接CD，过点B作BE⊥AB，连接CE和DE，若AD+BE＝ED，求证：∠ECD＝45°；
（3）如图2，M为射线AC上一点，N为射线CA上一点，且始终满足CM＝AN，过点C作MB的垂线交AB的延长线于点P，连接NP，求证：NP＝MB+CP．

【答案】△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知首先确定在中最大，再设，则根据三角形内角和为180°列出方程，得出的度数，即可说明；
（2）将绕点C逆时针旋转90°，得到,则再证明点F,A,B三点共线，得出即再证明得出通过倒角即可证得；
（3）过点A作AQ⊥MN，交PC延长线于点Q，设BC与BM交点为H，首先证明,得出再证明得出根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】
（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵∠ACB＝2∠ABC＝2∠BAC，
∴在中最大，
设，则
∵
∴
解得，
∴
∴△ABC是直角三角形；
（2）将绕点C逆时针旋转90°，得到,如图，

则
∵EB⊥AB，
∴
由（1）得
∴
又∵
∴点F,A,B三点共线，
∵AD+BE＝ED，
∴
即
在和中，
∵
∴
∴
∵
且
∴
∴；
（3）由（1）得
过点A作AQ⊥MN，交PC延长线于点Q，设BC与BM交点为H，如图，

∵AQ⊥AM，PC⊥BM，
∴
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∵CM＝AN，
∴
∵
∴

∴
在和中，
∵
∴
∴
∴．
【点睛】
本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，通过作辅助线将已知条件联系在一起是解题关键．
12．如图1，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点不重合），连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结并延长交射线于点．
（1）如图1，当时，________，猜想________；
（2）如图2，当点为射线上任意一点时，猜想的度数，并说明理由；

【答案】（1），；（2），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）∠EBF与∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度数；先证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF，即可得到答案；
（2）先证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF，即可得到答案.
【详解】
证明：（1）∵∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠EBF=30°；
猜想：；
理由如下：如图，

∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：30；60；
（2）结论：，
如图：

∵，
∴
在和中，，，
∴
∴．
∴
∴；
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行证明猜想成立.
13．央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．


(1)【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．
求证，请你完善下列过程．
证明：∵，
∴（             ）①
即
在和中
∴（             ）④
(2)【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．
小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
(3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并写出简要过程．
【答案】(1)等量代换，，，SAS
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件可知，采用“边角边”的方法证明；
（2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“边角边”证明，推出，即，由此得出；
（3）在的延长线上找一点E，使，设，同（2）证明，推出，，由此得出．
(1)
证明：∵，
∴（等量代换）①
即，
在和中
∴（SAS）④
故答案为：等量代换，，，SAS．
(2)
解：∵中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中

，
，
，
．
(3)
解：如图，在的延长线上找一点E，使，


设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中

，
，
，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，属于规律探究题，难度逐步加大，解题的关键是充分利用类比方法，参考上一问的方法步骤找到解题方向．