期中难点特训（一）旋转综合压轴题-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）

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1．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．
（1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．
①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为 ；
②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为 (用含a的式子表示)．
（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．
【答案】（1）①60°；②2α；（2）小杨同学猜想是正确的．证明见解析．
【分析】（1）①证明△ADC是等边三角形即可．
②如图2中，作CH⊥AD于H．想办法证明∠ACD=2∠B即可解决问题．
（2）小扬同学猜想是正确的．过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，想办法证明△CBN≌△CEM（AAS）即可解决问题．
【详解】解：（1）①∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠CAD=90°﹣30°=60°．
∵CA=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴旋转角为60°．
故答案为：60°．
②如图2中，作CH⊥AD于H．
∵CA=CD，CH⊥AD，
∴∠ACH=∠DCH．
∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠ACH=∠B，
∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，
∴旋转角为2α．
故答案为：2α．
（2）小杨同学猜想是正确的．证明如下：
过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3．
∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，
∴∠BNC=∠EMC=90°．
∵△ACB≌△DCE，
∴BC=EC，
在△CBN和△CEM中，
∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，
∴△CBN≌△CEM(AAS)，
∴BN=EM．
∵S△BDC•CD•BN，S△ACE•AC•EM．
∵CD=AC，
∴S△BDC=S△ACE．
【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把ABO绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α．
(1)如图①，若α＝90°，求的长；
(2)如图②，若α＝120°，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为，当P+B取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）
【答案】(1)5
(2)(，)
(3)(，)
【分析】（1）如图①，先利用勾股定理计算出AB＝5，再根据旋转的性质得BA＝BA′，∠ABA′＝90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；
（2）作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO＝BO′＝3，∠OBO′＝120°，则∠HBO′＝60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；
（3）由旋转的性质得BP＝BP′，则O′P+BP′＝O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连接O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP＝O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y＝x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′＝OP＝，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′＝30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．
(1)
如图①，
∵点A（4，0），点B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，
∴BA＝BA′，∠ABA′＝90°，
∴△ABA′为等腰直角三角形，
∴AA′＝BA＝5；
(2)
作O′H⊥y轴于H，如图②，
∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，
∴BO＝BO′＝3，∠OBO′＝120°，
∴∠HBO′＝60°，
在Rt△BHO′中，∵∠BO′H＝90°﹣∠HBO′＝30°，
∴BH＝BO′＝，O′H＝BH＝，
∴OH＝OB+BH＝3+＝，
∴O′点的坐标为(，)；
(3)
∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，
∴BP＝BP′，
∴O′P+BP′＝O′P+BP，
作B点关于x轴的对称点C，连接O′C交x轴于P点，如图②，
则O′P+BP＝O′P+PC＝O′C，此时O′P+BP的值最小，
∵点C与点B关于x轴对称，
∴C（0，﹣3），
设直线O′C的解析式为y＝kx+b，
把O′（，），C（0，﹣3）代入得，解得，
∴直线O′C的解析式为y＝x﹣3，
当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝，则P（，0），
∴OP＝，
∴O′P′＝OP＝，
作P′D⊥O′H于D，
∵∠BO′A′＝∠BOA＝90°，∠BO′H＝30°，
∴∠DP′O′＝30°，
∴O′D＝O′P′＝，P′D＝O′D＝，
∴DH＝O′H﹣O′D＝﹣＝，
∴P′点的坐标为(，)．
【点睛】本题考查了几何变换综合题，解题的关键是，熟练掌握旋转的性质；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题；记住含30度的直角三角形三边的关系．
3．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．
(1)求∠ODC的度数；
(2)试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；
(3)若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．
【答案】(1)60°
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；
（2）将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，可知∠ADC=∠BOC=150°，即得∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，故AD⊥OD；
（3）在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长．
（1）
由旋转的性质得：，．
∴，即．
∵为等边三角形，∴．
∴．∴为等边三角形，．
（2）
．
由旋转的性质得，．
∵，∴．
即．
（3）
由旋转的性质得，AD=OB=2，
∵△OCD为等边三角形，
∴OD=OC=3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
AO=
=
=
【点睛】本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状．
4．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝5，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，
(1)如图1，①点C到射线OM的距离为 ．
②求证：△CDE是等边三角形．
(2)设OD＝t，
①如图2，当5＜t＜9时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由．
②当△BDE是直角三角形时，求t的值．（直接写出结果）
【答案】(1)①2 ；②证明见解析
(2)① 存在；2+4；②t＝1或13
【分析】（1）①由等边三角形的性质可得AH＝BH＝2，∠ACH＝30°，可得AH＝，即可求解；②由旋转的性质可得∠DCE＝60°，DC＝EC，可证△CDE是等边三角形；
（2）①由旋转的性质可得BE＝AD，可得C△DBE＝CD+4，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，即可求解；②分四种情况讨论，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求解．
(1)
解：①解：如图1，过点C作CH⊥AB于H，
∵△ABC是等边三角形，CH⊥AB，
∴AH＝BH＝2，∠ACH＝30°，
∴CH＝AH＝，
∴点C到射线OM的距离为，
故答案为：；
②证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形；
(2)
解：①存在，当5＜t＜9时，
由旋转的性质得，BE＝AD，
∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，
由（1）知，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，
∴C△DBE＝CD+4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
∴△BDE的最小周长＝CD+4＝；
②存在，
当t＝9时，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意，
当0≤t＜5时，由旋转可知， 而
∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，
∴∠BED＝90°，
由（1）可知，△CDE是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠CEB＝30°，
∵∠CEB＝∠CDA，
∴∠CDA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ACD＝∠ADC＝30°，
∴DA＝CA＝4，
∴OD＝OA﹣DA＝5﹣4＝1，
∴t＝1；
当5＜t＜9时，由∠DBE＝120°＞90°，
∴此时不存在；
如图，当t＞9时，由旋转的性质可知，
∠DBE＝60°，
又由（1）知∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，
而∠BDC＞0°，
∴∠BDE＞60°，
∴只能∠BDE＝90°，
从而∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝4，
∴OD＝13，
∴t＝13，
综上所述：当t＝1或13时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
5．如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（4，0）．
（Ⅰ）正方形AOBC的边长为 ，点A的坐标是 ．
（Ⅱ）将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45°，点A，B，C旋转后的对应点为A′，B′，C′，求点A′的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；
（Ⅲ）动点P从点O出发，沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q从点O出发，沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒，当它们相遇时同时停止运动，当△OPQ为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果即可）．
【答案】（1）4，；（2）旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为；（3）.
【分析】（1）连接AB，根据△OCA为等腰三角形可得AD=OD的长，从而得出点A的坐标，则得出正方形AOBC的面积；
（2）根据旋转的性质可得OA′的长，从而得出A′C，A′E，再求出面积即可；
（3）根据P、Q点在不同的线段上运动情况，可分为三种列式①当点P、Q分别在OA、OB时，②当点P在OA上，点Q在BC上时，③当点P、Q在AC上时，可方程得出t．
【详解】解：（1）连接AB，与OC交于点D，
四边形是正方形，
∴△OCA为等腰Rt△，
∴AD=OD=OC=2，
∴点A的坐标为.
4，.
（2）如图
∵ 四边形是正方形，
∴，.
∵ 将正方形绕点顺时针旋转，
∴ 点落在轴上.
∴.
∴ 点的坐标为.
∵，
∴.
∵ 四边形，是正方形，
∴，.
∴，.
∴.
∴.
∵，
，
∴ .
∴旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为.
（3）设t秒后两点相遇，3t=16，∴t=
①当点P、Q分别在OA、OB时，
∵,OP=t，OQ=2t
∴不能为等腰三角形
②当点P在OA上，点Q在BC上时如图2，
当OQ=QP，QM为OP的垂直平分线，
OP=2OM=2BQ，OP=t，BQ=2t-4，
t=2（2t-4），
解得：t=．
③当点P、Q在AC上时，
不能为等腰三角形
综上所述，当时是等腰三角形
【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定以及旋转的性质，是中考压轴题，综合性较强，难度较大．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在一象限，点P（t，0）是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，连接OD，PD，得△OPD．
（1）当t＝时，求DP的长
（2）在点P运动过程中，依照条件所形成的△OPD面积为S
①当t＞0时，求S与t之间的函数关系式
②当t≤0时，要使s＝，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.
【答案】（1）DP=；（2）①；②.
【分析】（1）先判断出△ADP是等边三角形，进而得出DP=AP，即可得出结论；
（2）①先求出GH= 2，进而求出DG，再得出DH，即可得出结论；
②分两种情况，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论．
【详解】解：（1）∵A（0，4），
∴OA=4，
∵P（t，0），
∴OP=t，
∵△ABD是由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AP，
∵ ，
∴，
∴；
（2）①当t＞0时，如图1，BD=OP=t，
过点B，D分别作x轴的垂线，垂足于F，H，过点B作x轴的平行线，分别交y轴于点E，交DH于点G，
∵△OAB为等边三角形，BE⊥y轴，
∴∠ABP=30°，AP=OP=2，
∵∠ABD=90°，
∴∠DBG=60°，
∴DG=BD•sin60°= ，
∵GH=OE=2，
∴ ，
∴ ；
②当t≤0时，分两种情况：
∵点D在x轴上时，如图2
在Rt△ABD中，，
(1)当 时，如图3，BD=OP=-t，，
∴，
∴，
∴或，
∴ 或，
（2）当 时，如图4，
BD=OP=-t，，
∴，
∴
∴或（舍）
∴ ．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积公式以及解直角三角形，正确作出辅助线是解决本题的关键．
7．在中，，．
（1）如图，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．
求证：①；
②．
（2）如图，D为外一点，且，仍将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，ED，BD．
①的结论是否仍然成立？并请你说明理由；
②若，，求AD的长．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①成立，理由见解析；②8
【分析】（1）①由旋转的性质可得，AE=AD，则可得到，然后利用SAS证明两个三角形全等即可；
②由①知，得到，则；
（2）①由旋转的性质得，，AE=AD，则 ，然后利用SAS证明即可；
②由（2）①知，得到．然后求出，得到，利用勾股定理求出，再由进行求解即可．
【详解】（1）①证明：由旋转的性质得，，AE=AD，
∴，即．
在和中，
∴；
②由①知，
∴，
∴．
（2）①结论仍然成立．
理由：由旋转的性质得，，AE=AD，
∴，即，
在与中，
∴．
②由（2）①知，
∴．
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，
∴．
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
8．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，点，且，把绕点逆时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，.
（1）点的坐标为______.
（2）解答下列问题：
①设的面积为，用含的式子表示，并写出的取值范围.
②当时，求点的坐标（直接写出结果即可）.
【答案】（1）;（2）①，，或，.②，或.
【分析】（1）由旋转的性质得出AC=AO=8，∠OAC=90°，得出C（8，8）即可；（2）①由旋转的性质得出DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，得出∠ACE=90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x主，OE=AC=8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE=OB-OE=m-8，由三角形的面积公式得出S=m2-4m（m＞8）即可； b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE=OE-OB=8-m，由三角形的面积公式得出S=-m2+4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；
②当S=6，m＞8时，得出m2-4m=6，解方程求出m即可；当S=6，0＜m＜8时，得出-m2+4m=6，解方程求出m即可．
【详解】解：（1）∵点A（0，8），
∴AO=8，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
∴AC=AO=8，∠OAC=90°，
∴C（8，8），
故答案为（8，8）；
（2）①延长DC交x轴于点E，
∵点B（m，0），
∴OB=m，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∴四边形OACE是矩形，
∴DE⊥x主，OE=AC=8，
分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：
则BE=OB-OE=m-8，
∴S=DC•BE=m（m-8），
即S=m2-4m（m＞8）；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：
则BE=OE-OB=8-m，
∴S=DC•BE=m（8-m），
即S=-m2+4m（0＜m＜8）；
c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；
综上所述，S=m2-4m（m＞8），或S=-m2+4m（0＜m＜8）；
②当S=6，m＞8时，m2-4m=6，
解得：m=4±2（负值舍去），
∴m=4+2；
当S=6，0＜m＜8时，-m2+4m=6，
解得：m=2或m=6，
∴点B的坐标为（4+2，0）或（2，0）或（6，0）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．
9．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角α（0°＜α＜360°）．
（Ⅰ）当DE⊥AC时，旋转角α＝ 度，AD与BC的位置关系是 ，AE与BC的位置关系是 ；
（Ⅱ）当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（Ⅲ）当旋转角α＝ 时，△ABD的面积最大．
【答案】（Ⅰ）；垂直；平行；（Ⅱ）；（Ⅲ）或
【分析】（Ⅰ）根据题意画出图形，由等腰直角三角形的性质和即可求出旋转角的度数，再利用角度之间的关系求出，即可得到与的位置关系，再根据平行线的判定即可求出与的位置关系；
（Ⅱ）利用全等三角形的判定得出≌，从而得出，再根据角之间的关系得出，从而得出的度数；
（Ⅲ）由题意可知，点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，在中，当以为底边，点到的距离最大时，的面积最大，即时的面积最大，从而求出旋转角的度数．
【详解】解：（Ⅰ）如图所示，
∵为等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴
∵为等腰直角三角形
∴，
∴
∴旋转角
∵，
∴
∴
∴与的位置关系是垂直
∵,
∴
∴
∴∥
（Ⅱ）如图所示
∵，
∴
∵与为等腰直角三角形
∴
在与中
∴≌
∴
∵
∴
∴
（Ⅲ）如图3、图4所示

∵绕点按逆时针方向旋转
∴点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动
∴当以为底边，点到的距离最大时，的面积最大
∴当时的面积最大
∴旋转角或时的面积最大
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角的判定与性质，熟练掌握旋转的性质以及全等的判定，根据题意画出相应图形是解答此题的关键．
10．如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．
（1）求证：；
（2）①当点在何处时，的值最小；
②当点在何处时，的值最小，并说明理由；
（3）当的最小值为时，求正方形的边长．
【答案】（1）见解析；（2）①当M点落在BD的中点时；②当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，理由见解析；（3）
【分析】（1）由题意得，，所以，容易证出；
（2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当点落在的中点时，的值最小；
②根据“两点之间线段最短”，当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长（如图）；
（3）作辅助线，过点作交的延长线于，由题意求出，设正方形的边长为，在中，根据勾股定理求得正方形的边长为．
【详解】解：（1）证明：是等边三角形，
，．
，
．
即．
又，
．
（2）解：①当点落在的中点时，、、三点共线，的值最小．②如图，连接，当点位于与的交点处时，
的值最小，
理由如下：连接，由（1）知，，
，
，，
是等边三角形．
．
．
根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．
在和中，
，
，
，
，
，
若连接，则，
，，
、可以同时在直线上．
当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长．
（3）解：过点作交的延长线于，
．
设正方形的边长为，则，．
在中，
，
．
解得，（舍去负值）．
正方形的边长为．
【点睛】本题考查轴对称的性质和正方形的性质，三角形全等的判定、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点，添加适当辅助线，灵活运用．
11．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE．
（Ⅰ）求证：∠A＝∠EBC；
（Ⅱ）若已知旋转角为50°，∠ACE＝130°，求∠CED和∠BDE的度数．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）∠BDE=50°, ∠CED =35°
【分析】（Ⅰ）由旋转的性质可得AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，由等腰三角形的性质可求解．
（Ⅱ）由旋转的性质可得AC＝CD，∠ABC＝∠DEC，∠ACD＝∠BCE＝50°，∠EDC＝∠A，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求解．
【详解】证明：（Ⅰ）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，
∴∠A＝，∠CBE＝，
∴∠A＝∠EBC；
（Ⅱ）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，∠ABC＝∠DEC，∠ACD＝∠BCE＝50°，∠EDC＝∠A，∠ACB=∠DCE
∴∠A＝∠ADC＝65°，
∵∠ACE＝130°，∠ACD＝∠BCE＝50°，
∴∠ACB＝∠DCE =80°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝35°，
∵∠EDC＝∠A＝65°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADC﹣∠CDE＝50°．∠CED=180°﹣∠DCE﹣∠CDE=35°
【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
12．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为点，， ．
（Ⅰ）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点落在线段上时，与交于点．
①求证≌；②求出面积．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①见解析；②．
【分析】（Ⅰ）根据旋转可得AD=OA=10，又因为AC=6，利用勾股定理即可求出CD的长度，从而知道BD的长度，即可求出点D的坐标；
（Ⅱ）①根据AD=BC，AB=BA，即可得到；
②设，则，在中，根据，可以求出m的值，再根据三角形面积公式即可求出三角形面积．
【详解】解：（Ⅰ），，
，，
四边形是矩形，
，，．
矩形是由矩形旋转得到，
．
在中，，
，
．
（Ⅱ）由四边形是矩形，得到，
点在线段上，
．
由（Ⅰ）可知，，，
在Rt△ADB和Rt△BCA 中，

．
②如图②中，由，
，
．
设，则，
在中，，
，解得
，
．
【点睛】本题主要考查了旋转以及三角形全等，熟练旋转的性质以及全等三角形的判定是解决本题的关键．