期中难点特训（二）二次函数综合压轴题-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）

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1．如图，直线AB与抛物线y＝x2+bx+c交于点A（﹣4，0），B（2，6），与y轴交于点C，且OA＝OC，点D为线段AB上的一点，连结OD，OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若OD将△AOB的面积分成1：2的两部分，求点D的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在点P，使以点A，O，B，P为顶点四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（-2，2）或（0，4）
(3)存在，点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）．
【分析】（1）根据待定系数法，将A(−4，0)、B(2，6)代入，计算即可；
（2）先确定点A点C坐标，再运用待定系数法先求出直线AB的解析式，设点D的坐标为（m，m+4），然后根据OD将△AOB的面积分成1：2的两部分计算即可；
（3）设点P的坐标为（xp，yp），分3种情况分析解答即可．
（1）
解：将A(−4，0)、B(2，6)代入可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）
解：∵ A点坐标为（-4，0），OA＝OC
∴C点坐标为（0,4）
设直线AB的解析式为：，则
，解得：，
∴直线AB的解析式为：，
设点D的坐标为（m，m+4），
∵OD将△AOB的面积分成1：2的两部，即或，
∴或，解得：或m=0
∴点D的坐标为（-2，2）或（0，4）；
（3）
解：存在；
设点P的坐标为（xp，yp），
①当四边形AOBP是平行四边形时，p1在第二象限时，
轴，，
∵B（2，6），
∴点P的坐标为（-2，6）；
②当四边形AOPB是平行四边形时，p2在第一象限时，
点P的横坐标为2+4=6，点P的,纵坐标坐标为6，
点P的坐标为（6，6）；
③当四边形APOB是平行四边形时，p3在第三象限时，
，，
∴，，
即，，
解得：，，
此时点P的坐标为（-6，-6）；
综上，存在满足条件的点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）．
【点睛】本题属于二次函数与一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求解析式、三角形面积、平行四边形等知识点，正确求出二次函数、一次函数的解析式并掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）点P（，）时，S四边形APCD最大=；（3）当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．
【详解】试题分析：（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x，根据二次函数求出极值；（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．
试题解析：（1）设抛物线解析式为y=a+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5）， ∴4a+9=5，
∴a=﹣1， y=﹣+9=-+4x+5，
（2）当y=0时，-+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣+4x+5）， ∴D（x，﹣x+5），
∴PD=-+4x+5+x﹣5=-+5x， ∵AC=4， ∴S四边形APCD=×AC×PD=2（-+5x）=-2+10x，
∴当x=时， ∴S四边形APCD最大=，
（3）如图，
过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0）， ∴直线AE解析式为y=5x+5，
∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），
∵AE2=OA2+0E2=26 ∵MN=AE ∴MN2=AE2， ∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2
∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，
∵点N在抛物线对称轴上， ∴M1N=M2N， ∴1+（b+2）2=26， ∴b=3，或b=﹣7，
∴10+b=13或10+b=3 ∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），
当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），
考点：（1）待定系数法求函数关系式；（2）函数极值额确定方法；（3）平行四边形的性质和判定
3．如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A(﹣2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标；
(3)如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．
【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2； （2）（0，2）或（﹣1，2）或（，﹣2）或（，﹣2）；（3）1．
【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；
（2）设M点坐标为（m，n），根据S△AOM=2S△BOC列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得到点P的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+2，再设N点坐标为（x，x+2），则D点坐标为（x，-x2-x+2），然后用含x的代数式表示ND，根据二次函数的性质即可求出线段ND长度的最大值．
【详解】解：（1）A（﹣2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式y=﹣x2+mx+n，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2．
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，则易得B（1，0），设M（m，n）然后依据S△AOM=2S△BOC列方程可得：
•AO×|n|=2××OB×OC，
∴×2×|﹣m2﹣m+2|=2，
∴m2+m=0或m2+m﹣4=0，
解得m=0或﹣1或，
∴符合条件的点M的坐标为：（0，2）或（﹣1，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣2，0），C（0，2）代入
得到，解得，
∴直线AC的解析式为y=x+2，
设N（x，x+2）（﹣2≤x≤0），则D（x，﹣x2﹣x+2），
ND=（﹣x2﹣x+2）﹣（x+2）=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴x=﹣1时，ND有最大值1．
∴ND的最大值为1．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．根据二次函数的性质并结合已知条件及图象进行分析是解题的关键．
4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，求∠ABC的度数；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P到x轴的距离等于4时，求动点P的坐标．
【答案】（1）；（2）∠ABC=45°；（3）点P的坐标为（，4）或（，4）或（1，4）
【分析】（1）把A、B的坐标代入抛物线解析式求解即可；
（2）先求出点C的坐标，从而可以求出OB=OC，由此即可得到答案；
（3）由点P到x轴的距离等于4，得到P点的坐标轴为4或-4，由此求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）∵点C是抛物线与y轴的交点，
∴点C的坐标为（0，-3），
∴OC=3，
∵B点坐标为（3，0），
∴OB=3，
∴OB=OC，
又∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，即∠ABC=45°；
（3）∵点P到x轴的距离等于4，
∴P点的坐标轴为4或-4，
当P点纵坐标为4时，则，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为（，4）或（，4）；
当点P的纵坐标为-4时，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（1，4），
∴综上所述，点P的坐标为（，4）或（，4）或（1，4）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数上点的坐标特点，等腰直角三角形的性质与判定，点到坐标轴的距离，熟知相关知识是解题的关键．
5．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（0，3），与x轴交于A，B两点，点A（﹣1，0）．
（I）求该抛物线的解析式；
（Ⅱ）D为抛物线对称轴上一点，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；
（Ⅲ）在抛物线上是否存在一点P，使CP恰好将以A，B，C，P为顶点的四边形的面积分为相等的两部分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（I）y＝﹣x2+2x+3；（Ⅱ）点D（1，2）；（Ⅲ）点P（5，﹣12）．
【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（0，3），则抛物线的表达式为：＝﹣x2+bx+3，将点A的坐标代入上式，即可求解；
（2）抛物线的对称轴为：x＝1，点A关于函数对称轴的对称点为点B（3，0），连接BC交抛物线的对称轴于点D，则点D为所求，即可求解；
（3）当点P在第一、二象限时，PC是四边形的边，故CP不可能平分以A，B，C，P为顶点的四边形的面积，当点P在第三、四象限时，设点P（m，﹣m2+2m+3），将点P、C的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+n并解得：
直线PC的表达式为：y＝（2﹣m）x+3，过点A、B分别作CP的等距离的平行线m、n，分别交y轴于点M、N，则点C是MN的中点，即6＝3m﹣6+2﹣m，即可求解．
【详解】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（0，3），则抛物线的表达式为：y═﹣x2+bx+3，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝2，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）抛物线的对称轴为：x＝1，点A关于函数对称轴的对称点为点B（3，0），
连接BC交抛物线的对称轴于点D，则点D为所求，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
故点D（1，2）；
（3）当点P在第一、二象限时，PC是四边形的边，故CP不可能平分以A，B，C，P为顶点的四边形的面积，
当点P在第三、四象限时，设点P（m，﹣m2+2m+3），
将点P、C的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+n并解得：
直线PC的表达式为：y＝（2﹣m）x+3，
过点A、B分别作CP的等距离的平行线m、n，分别交y轴于点M、N，
则直线m的表达式为：y＝（2﹣m）x+k，
将点A的坐标代入上式并解得：k＝3m﹣6，即点M（0，3m﹣6），
同理可得：点N（0，2﹣m），
则点C是MN的中点，即6＝3m﹣6+2﹣m，
解得：m＝5，
故点P（5，﹣12）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
6．已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）与x轴相交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）当A（﹣1，0），C（0，﹣3）时，求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点．
①当点P关于原点的对称点P′落在直线BC上时，求m的值；
②当点P关于原点的对称点P′落在第一象限内，P′A2取得最小值时，求m的值及这个最小值．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①m=；②P′A2取得最小值时，m的值是，这个最小值是．
【分析】（1）根据A（﹣1，0），C（0，﹣3）在抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的图象上，可以求得b、c的值；
（2）①根据题意可以得到点P′的坐标，再根据函数解析式可以求得点B的坐标，进而求得直线BC的解析式，再根据点P′落在直线BC上，从而可以求得m的值；
②根据题意可以表示出P′A2，从而可以求得当P′A2取得最小值时，m的值及这个最小值．
【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①由P（m，t）在抛物线上可得：t=m2﹣2m﹣3．
∵点P和P′关于原点对称，∴P′（﹣m，﹣t），当y=0时，0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，由已知可得：点B（3，0）．
∵点B（3，0），点C（0，﹣3），设直线BC对应的函数解析式为：y=kx+d，，解得：，∴直线BC的直线解析式为y=x﹣3．
∵点P′落在直线BC上，∴﹣t=﹣m﹣3，即t=m+3，∴m2﹣2m﹣3=m+3，解得：m=；
②由题意可知，点P′（﹣m，﹣t）在第一象限，∴﹣m＞0，﹣t＞0，∴m＜0，t＜0．
∵二次函数的最小值是﹣4，∴﹣4≤t＜0．
∵点P（m，t）在抛物线上，∴t=m2﹣2m﹣3，∴t+3=m2﹣2m，过点P′作P′H⊥x轴，H为垂足，有H（﹣m，0）．
又∵A（﹣1，0），则P′H2=t2，AH2=（﹣m+1）2．在Rt△P′AH中，P′A2=AH2+P′H2，∴P′A2=（﹣m+1）2+t2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+）2+，∴当t=﹣时，P′A2有最小值，此时P′A2=，∴=m2﹣2m﹣3，解得：m=．
∵m＜0，∴m=，即P′A2取得最小值时，m的值是，这个最小值是．
【点睛】本题是二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
7．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当四边形的面积最大时，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）存在，，，；（3）点
【分析】（1）把，代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求解抛物线的对称轴 再求解CD的长，由是以CD为腰的等腰三角形，可得．再作对称轴于点H，从而可得答案；
（3）先求解．再求解直线BC的解析式为．过点C作于M，设，，根据列函数关系式，从而可得答案.
【详解】解：（1）∵抛物线经过，，
∴解得
∴抛物线的解析式为．
（2）∵，
∴抛物线的对称轴是直线．
∴．
∵，∴．
在中，由勾股定理，得．
∵是以CD为腰的等腰三角形，
∴．
作对称轴于点H，
∴．∴．
∴，，．
（3）当时，由，解得，，
∴．
设直线BC的解析式为，得
解得
∴直线BC的解析式为．
过点C作于M，设，，
∴．
∵
．
∴根据题意，
∴当时，的最大值为，此时点．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数与等腰三角形，图形面积的最值问题，灵活运用二次函数的图象与性质解决问题是解题的关键.
8．已知：抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线经过点A，与x轴的另一个交点为，交y轴于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，为抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PC，当时，求点的坐标；
（3）如图2，M为抛物线上一动点，过点M作直线轴，交抛物线于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
【答案】（1）；（2）点的坐标为或；（3）21
【分析】（1）通过解方程得设交点式，然后把点坐标代入求出的值即可得到得抛物线的解析式；
（2）先求出和抛物线的对称轴为直线，则设，利用两点间的距离公式和勾股定理得到，然后解方程求出即可得到点的坐标；
（3）抛物线与抛物线经过的另一个交点为，如图2，先通过解方程得，设，则，讨论：当时，；当时，，然后分别利用二次函数的性质求出两种情况下的的最大值，再比较大小即可得到点自点运动至点的过程中，线段长度的最大值．
【详解】解：（1）当时，，解得，，则
设抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线的解析式为，即；
（2）当时，，则
抛物线的对称轴为直线，
设，则，，，
，
，即，
整理得，解得，，
点的坐标为或；
（3）抛物线与抛物线经过的另一个交点为，如图2，
解方程得，，则，
设，则，
当时，，此时时，有最大值；
当时，，此时时，有最大值21；
所以点自点运动至点的过程中，线段长度的最大值为21．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式，会求抛物线与坐标轴的交点坐标；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式和勾股定理．
9．已知抛物线，与x轴交于两点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（Ⅰ）求点A，B和点C的坐标；
（Ⅱ）已知P是线段上的一个动点．
①若轴，交抛物线于点Q，当取最大值时，求点P的坐标；
②求的最小值．
【答案】（Ⅰ）A，B，C；（Ⅱ）①；②
【分析】（Ⅰ）令，代入抛物线解析式即可求出A、B的坐标，令从而得出C点坐标；
（Ⅱ）①设代入B、C坐标即可得出直线解析式，设，，则，且Q在P上方，分别表示出PQ，BP即可得出PQ+BP的表达式，对表达式进行配方即可得出结果，②如图，延长至点D，使得，连接，作轴于点E，过点P作于点H，可证的是等腰直角三角形，由垂线段最短可知，当，，共线时取得最小值，根据题目已知条件得出D点坐标，表示出即可得出结果．
【详解】解：（Ⅰ）令，则，解得，．
∴A点坐标为，B点坐标为．
令，则．
∴C点坐标为．
（Ⅱ）①设：，将，分别代入得，
，解得，故．
可设，，则，且Q在P上方．
所以．
又．
故．
当时取得最大值，此时．
②如图，延长至点D，使得，连接，作轴于点E，过点P作于点H．
由，，，
所以，．
则是等腰直角三角形，．
，由垂线段最短可知，当，，共线时取得最小值．
∵，
∵，
∴．
∴．
∴，．
可得点D的坐标为．
∴，
，代入可得，
解得，故有．
所以的最小值为．
【点睛】本题主要考查的是二次函数与几何的综合应用，掌握二次函数的性质以及用配方法求得最大值是解题的关键．
10．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若H为射线DA与y轴的交点，N为射线AB上一点，设N点的横坐标为t，△DHN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，若N与B重合，G为线段DH上一点，过G作y轴的平行线交抛物线于F，连接AF，若NG=NQ，NG⊥NQ，且∠AGN＝∠FAG，求F点的坐标．
【答案】（1）y＝−x2＋6x−8；（2）S＝x−3；（3）F（1，-3）
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，连接OD，根据S＝S△OND＋S△ONH−S△OHD计算即可．
（3）如图2中，延长FG交OB于M，只要证明△MAF≌△MGB，得FM＝BM．设M（m，0），列出方程即可解决问题．
【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0），
代入得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝−x2＋6x−8；
（2）如图1中，连接OD．
∵y＝−x2＋6x−8=−（x-3）2＋1
∴顶点D坐标（3，1），
∵A（2，0）
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0）
把A（2，0），（3，1）代入得
解得
∴直线AD的解析式为y=x-2，
令x=0，解得y=-2
∴H（0，−2）．
∵设N点的横坐标为t，
∴△DHN的面积S＝S△OND＋S△ONH−S△OHD＝×t×1＋×t×2−×2×3＝t−3．
∴S＝x−3；
（3）如图2中，延长FG交OB于M．
∵H（0，−2），A（2，0）
∴OH＝OA=2，
∴∠OAH＝∠OHA＝45°，
∵FMOH，
∴∠MGA＝∠OHA＝∠MAG＝45°，
∴MG＝MA，
∵∠FAG＝∠NGA，
∴∠MAF＝∠MGN，
在△MAF和△MGN中，
∵，
∴△MAF≌△MGB，
∴FM＝BM．设M（m，0），
∴−（−m2＋6m−8）＝4−m，
解得m＝1或4（舍弃），
∴M（1，0）
∴BM=4-1=3
∴FM＝3，
∴F（1，-3）．
【点睛】本题考查二次函数综合题、全等三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积．学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
11．二次函数的图象经过点，与轴分别交于点，点.点是直线上方的抛物线上一动点.
(Ⅰ)求该二次函数的解析式；
(Ⅱ)连接，，将沿轴翻折，得到.当四边形为菱形时，求点的坐标；
(Ⅲ)当四边形的面积最大时，求点的坐标.
【答案】(Ⅰ)y=-x2+2x+3；(Ⅱ) 点P坐标为（，）；（Ⅲ）点P的坐标为（，）.
【分析】(Ⅰ)把C（0，3），B（3，0）代入二次函数y=ax2+2x+c，解方程组求出a、c的值即可得答案；(Ⅱ)如图，连接PP′，交y轴于点E，根据翻折性质及菱形的性质可得PP′是OC的垂直平分线，可得点P的纵坐标，代入二次函数解析式求出x的值即可得点P坐标；(Ⅲ)设P（m，-m2+2x+3），直线BC的解析式为y=kx+b，把B、C坐标代入y=kx+b可得直线BC的解析式，过P作PF⊥x轴于F，交BC于Q，设点Q的坐标为（m，-m+3）可用m的代数式表示出PQ的长，根据二次函数的解析式可求出A点坐标，即可得OA、AB的长，根据S四边形ACPB=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ可得关于m的二次函数，配方可求出四边形ACPB的面积最大时m的值，代入-m2+2m+3即可得点P坐标.
【详解】(Ⅰ)∵二次函数的图象经过点C（0，3）和B（3，0），
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3.
(Ⅱ)如图，连接PP′，交y轴于点E，
∵△P′OC是由△POC沿y轴翻折得到，
∴PP′⊥OC，
∵四边形POP′C是菱形，
∴PP′是线段OC的垂直平分线，
∵C（0，3），
∴E（0，）
当y=时，-x2+2x+3=，
解得：x1=，x2=（舍去），
∴点P坐标为（，）.
(Ⅲ)设P（m，-m2+2x+3），直线BC的解析式为y=kx+b，
∵点B、点C在直线BC上，
∴，
解得：
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
如图，过P作PF⊥x轴于F，交BC于Q，设点Q的坐标为（m，-m+3）
∴PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m，
当y=0时，-x2+2x+3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），
∴OA=1，AB=4，
∴S四边形ACPB=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ=ABOC+PQOF+PQBF，
∴S四边形ACPB=×4×3+（-m2+3m）×3=(m)2+，
∴m=时，四边形ACPB的面积最大，
当m=时，-m2+2m+3=，
∴此时点P的坐标为（，）.
【点睛】本题是对二次函数的综合考查，包括待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值、菱形的性质及翻折的性质，熟练掌握相关性质是解题关键.
12．如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）；（3）（，4）或（，4）或（1，﹣4）．
【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值．
（2）根据S△PAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，
∴﹣1+3=﹣b，
﹣1×3=c，
∴b=﹣2，c=﹣3，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB=8，
∴AB•|yP|=8，
∵AB=3+1=4，
∴|yP|=4，
∴yP=±4，
把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1±2，
把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．
【点睛】1．待定系数法求二次函数解析式；2．二次函数的性质；3．二次函数图像上点的坐标特征．
13．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一上点．
（1）直接写出点，点，点的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上有一点，求三角形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1），，，；（2）当时，三角形面积最大，其最大值为2，此时的坐标为；（3）或．
【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出点A、C的坐标，然后把、两点代入求解即可；
（2）过点作轴，与交于点，设，则，然后根据铅垂法进行求解即可；
（3）当时，分旋转后点与落在抛物线上时，分别画出图形，然后代入求出点和点的坐标，进而代入解析式求解即可，当时，利用同样的方法可求出m的另一个范围，从而得到答案．
【详解】解：（1）令，得，
∴，
令，得，解得：，
∴，
把、两点代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为，
令，得，
解得：或，
∴；
（2）过点作轴，与交于点，如图1，
设，则，
∴，
∴当时，三角形面积最大，其最大值为2，
此时的坐标为；
（3）当，若旋转后点落在抛物线上时，如图所示：
∵点，
∴，解得：（舍去）；
当旋转后点落在抛物线上时，如图示：线段与抛物线只有一个公共点，
∵点，
∴，解得：（舍去）；
∴当时，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围为；
当时，当旋转后点落在抛物线上时，如图示：线段与抛物线只有一个公共点，
∵点，
∴，解得：（舍去）；
若旋转后点落在抛物线上时，如图所示：线段与抛物线只有一个公共点，
∵点，
∴，解得：（舍去）；
∴当当时，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围为；
综上所述：当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．已知抛物线．
（1）求它的对称轴与轴交点的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴的交点为，，与轴的交点为，若=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）若点（，）在抛物线上，则称点为抛物线的不动点．将抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线上，请说明理由．
【答案】（1）D（3,0）；（2）；（3）在.
【详解】试题分析：（1）根据对称轴的求法求出对称轴，得出点D的坐标；（2）首先设出平移后的解析式，求出点A、点B的坐标，根据直角△ABC的勾股定理列出方程求出k的值；（3）设出平移后的解析式，根据不动点的定义列出方程，根据只有一个交点说明根的判别式为零求出h和k的关系式.
试题解析：（1）由y=－，得x=－=3 ∴点D的坐标为（3,0）
（2）设平移后的抛物线解析式为y=－+k（k＞0） 则C（0，k） OC=k
令y=0，即－+k=0 解得：
∴，．
∴．
．
∵=90°， ∴．
即．．
解得，（舍去）．
∴抛物线的解析式为．
（3）设平移后的抛物线的解析式为，由不动点的定义，得方程，
整理，得． ∵平移后的抛物线只有一个不动点，
∴此方程有两个相等的实数根． ∴判别式，
有，． ∴顶点（，）在直线上．
考点：二次函数图象的平移、勾股定理、根的判别式
15．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当c＝5时，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为﹣5，求b的值
【答案】（Ⅰ）-4；（Ⅱ）y＝x2+4x+5或y＝x2﹣4x+5；（Ⅲ）
【分析】（Ⅰ）利用配方法得到y＝（x+1）2﹣4，然后根据二次函数的性质解决问题；
（Ⅱ）二次函数解析式为y＝x2+bx+5，把问题转化为x2+bx+5＝1有两个相等的实数解，然后根据判别式的意义确定b的值，从而得到此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）利用配方法得到y＝（x+）2+5﹣，则抛物线的对称轴为直线x＝﹣，讨论：若﹣≤1，根据二次函数的性质得到x＝1时，y＝﹣5，把这组对应值代入解析式求得的b不满足条件；若1＜﹣＜3，利用二次函数的性质当x＝﹣时5﹣＝﹣5，求得的b不满足条件；若﹣≥3，解得b≤﹣6，利用二次函数的性质得到x＝3时，y＝﹣5，把这组对应值代入解析式可求出b的值．
【详解】解：（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3，
∵y＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣1时，y有最小值﹣4；
（Ⅱ）当c＝5时，二次函数解析式为y＝x2+bx+5，
∵在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，
∴x2+bx+5＝1有两个相等的实数解，
方程整理为x2+bx+4＝0，
∵△＝b2﹣4×4＝0，解得b＝4或﹣4，
∴此时二次函数的解析式为y＝x2+4x+5或y＝x2﹣4x+5；
（Ⅲ）当c＝5时，二次函数解析式为y＝x2+bx+5，
∵y＝（x+）2+5﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
若﹣≤1，解得b≥﹣2，在1≤x≤3范围内y随x的增大而增大，则x＝1时，y＝﹣5，
∴1+b+5＝﹣5，解得b＝﹣11（舍去）；
若1＜﹣＜3，即﹣6＜b＜﹣2，在1≤x≤3范围内，当x＝﹣时y有最小值﹣5，即5﹣＝﹣5，解得b＝﹣2（舍去）或b＝2（舍去）；
若﹣≥3，解得b≤﹣6，在1≤x≤3范围内y随x的增大而减下，则x＝3时，y＝﹣5，
∴9+3b+5＝﹣5，解得b＝﹣；
综上所述，b的值为﹣.
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
16．如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，且．
（1）求点的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）作直线，问抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点B的坐标为(6，0)；（2）二次函数的解析式为；（3）点M的坐标为或
【分析】（1）由条件可知OC＝6，根据OB＝OC，可求出点B的坐标；
（2）将B，C两点的坐标代入y＝ax2＋b，求出a，b的值，即可求得二次函数的解析式；
（3）根据题意，分M在BC上方和下方两种情况进行解答，画出相应的图形，然后根据二次函数的性质和锐角三角函数可以求得点M的坐标．
【详解】解：（1）∵C(0，－6)
∴
∵
∴
∴点B的坐标为(6，0)
（2）∵抛物线（≠0）经过点C(0，－6)和点B(6，0)，
∴，解得
∴该二次函数的解析式为
（3）存在
①若点M在BC上方，设MC交轴于点D，则∠ODC=45°+15°=60°．
∴∠OCD=30°.
∴设OD=，则CD=2.
∵在Rt△OCD中，∠COD=90°，OC=6，
∴,
即，
解得（舍），.
∴点D的坐标为(，0).
设直线DC的函数解析式为
∴，解得
∴直线DC的函数解析式为
∴，解得（舍），
∴(,12)
②若点M在BC下方，设MC交轴于点E，则∠OEC=45°－15°=30°．
∵OC=6，则CE=12.
∵在Rt△OCE中，∠COE=90°，
∴=108,∴.
∴点E的坐标为(，0).
设直线EC的函数解析式为，
∴，解得
∴直线EC的函数解析式为
∴，解得（舍），.
∴
综上所述，点M的坐标为或.
【点睛】本题考查二次函数的综合、待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质、锐角三角函数等知识．熟练运用方程思想是解题的关键．