人教版数学九年级下册同步讲义第8课相似全章复习与巩固（教师版）

第8课  相似全章复习与巩固

知识点01  相似图形及比例线段

1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).

要点诠释：
　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
   (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两   个图形全等；

2.相似多边形

如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．

要点诠释：

（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．

（2）相似多边形对应边的比称为相似比.

3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

要点诠释：

（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）

（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．

知识点02  相似三角形

1. 相似三角形的判定:

判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.

判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　

判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

要点诠释：
　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

2. 相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；

     相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

要点诠释：

要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.

(3) 相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3.相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似多边形的周长比等于相似比．

（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．

知识点03  位似

1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

要点诠释：

(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点

为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
 

知识点04  黄金分割

1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．

2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．

黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．

知识点04  射影定理

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）

∴；

  ；

  （射影定理）；

  （等积）．

考法01   相似三角形

【典例1】已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？

【答案与解析】

∵AC=a，BC=b，

        ∴AB=，

①当△ABC∽△BDC时，

             ,

即.

②当△ABC∽△CDB时，

  ，

即.

【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.

【即学即练1】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）求证：△COM∽△CBA；  （2）求线段OM的长度.

【答案】

（1）证明： A与C关于直线MN对称，

∴ACMN，∴∠COM=90°，

在矩形ABCD中，∠B=90°，

∴∠COM=∠B ，

又∠ACB=∠ACB，

∴△COM∽△CBA ，

（2）在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，

∴AC=10 ，∴OC=5，

△COM∽△CBA，

∴，

∴OM=.

【典例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是（    ）

A．    B．      C．    D．

【答案】C；

【解析】由MC＝6，NC＝，∠C＝90°得S△CMN=，

再由翻折前后△CMN≌△DMN得对应高相等；由MN∥AB得△CMN∽△CAB且

相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S△CMN：S四边形MABN=1:3，故选C.

【总结升华】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.

考法02  相似三角形的综合应用

【典例3】已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．

（1）求证：DE⊥BE；

（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．

【答案与解析】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO=BD，

∵OE=OB，

∴OE=BD，

∴∠BED=90°，

∴DE⊥BE；

（2）∵OE⊥CD

∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，

∴∠CEO=∠CDE，

∵OB=OE，

∴∠DBE=∠CDE，

∵∠BED=∠BED，

∴△BDE∽△DCE，

∴，

∴BD•CE=CD•DE．

【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．

【典例4】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．

（1）求证：△ADF∽△ACG；

（2）若，求的值．

【思路点拨】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．

（2）利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明．
【答案与解析】
（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，

∴∠ADF=∠C，

∵=，

∴△ADF∽△ACG．

（2）解：∵△ADF∽△ACG，

∴=，

又∵=，

∴=，

∴=1．

【总结升华】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型．

【即学即练2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．

（1）求证：△BDE∽△BAC；

（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．

【答案与解析】
证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，

∴∠C=∠AED=90°，

∴∠DEB=∠C=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC；

（2）由勾股定理得，AB=10．

由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．

∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，

在Rt△BDE中，由勾股定理得，

DE2+BE2=BD2，

即CD2+42=（8﹣CD）2，

解得：CD=3，

在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，

即32+62=AD2，

解得：AD=．

【典例5】如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．

（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．

设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式．

【答案与解析】

（1）∵是等边三角形

∴

∵是中点，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴梯形是等腰梯形．

（2）在等边中，

又∵，

∴，

∴，

∴，  

∴，

∵ ∴ ，

∴ ，

∴. 

【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题.

【即学即练3】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．
　　(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
　　(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?
　　　　　　　　　

【答案】

(1)因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，
　　　　　所以.
　　　　  又因为AB=8，AC=6，，，
　　　　  所以，即，
　　　　  自变量x的取值范围为.
　　　(2)
　　　　　.
　　　 所以当时，S有最大值，且最大值为6.

考法03  黄金分割用

【典例6】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．

【答案与解析】

设正方形ABCD的边长为2，
E为BC的中点，
∴BE=1
∴AE=，
又B′E=BE=1，
∴AB′=AE-B′E=-1，
∵AB″=AB′=-1

∴AB″：AB=(-1):2
∴点B″是线段AB的黄金分割点．

【总结升华】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键．

【即学即练4】如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．
求证：（1）AD=BD=BC； （2）点D是线段AC的黄金分割点．

【答案】

（1）∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，
∴∠ABD=36°，
∴△ADB、△BDC是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．

（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=AC•DC，
∵BC=AD，
∴AD2=AC•DC，
∴点D是线段AC的黄金分割点．