数学九年级下册27.3 位似练习题

第7课  相似多边形及位似

知识点01  相似多边形

相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似多边形的周长比等于相似比．

（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．

要点诠释：

用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：

（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；

（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；

（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.

知识点02  位似

1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

要点诠释：

（1）位似图形与相似图形的区别：

位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：

图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．

4. 作位似图形的步骤
　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
　　第二步：作位似中心与各关键点连线；
　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
　　第四步：顺次连接各对应点.

要点诠释：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.

知识点02  黄金分割

位似和黄金分割   

定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．

要点诠释：

1.黄金分割值：设AB=1，AP=x，则BP=

              ∵

∴

            ∴

            ∴(舍负)

2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．

黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．

考法01   相似多边形

【典例1】如图，矩形草坪长20m，宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？

【答案与解析】

因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等.

，

而，∴

∴矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比不相等，因而它们不相似.

【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.

【即学即练1】如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（　　）

【答案】B.

提示: ∵矩形纸片对折，折痕为EF，

∴AF=AB=a，

∵矩形AFED与矩形ABCD相似，

∴=，即=，

∴（）2=2，

∴=．故选B．

【典例2】如图，在长8cm，宽4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（     ）．

 A. 2cm       B. 4cm        C. 8cm      D. 16cm

【答案】C.

【解析】设留下的矩形的宽为x，

∵留下的矩形与原矩形相似，

∴，

∴x=2，

∴留下的矩形的面积为：2×4=8（cm2）

故答案为：8．故选C．

【总结升华】本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键．

考法02  位似

【典例3】利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.

【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5.   

画法是：

    1．在平面上任取一点O.

    2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.

3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA＝ OB′:OB＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5.

    4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.

这样：＝＝＝＝＝1.5.

   则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.

【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.

【典例4】如图，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4）.画出以点O为位似中心，矩形OABC的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC面积的，并分别写出A′、B′、C′三点的坐标.

【答案与解析】

因为矩形OA′B′C′与矩形OABC是位似图形，面积比为1：4，所以它

们的位似比为1：2. 连接OB，

（1）分别取线段OA、OB、OC的中点A′、B′、C′，连接O A′、A′B′、B′C′、 C′O，矩形OA′B′C′就是所求的图形.

A′，B′，C′三点的坐标分别为A′（3，0），B′（3，2），C′（0，2）.

（2）分别在线段OA，OB，OC的反向延长线上截取O A″、O B″、O C″，使OA″=OA，OB″=OB，O C″=OC，连接 A″B″、B″C″，则矩形O A″B″C″为所求.

A″、B″、C″三点的坐标分别为A″（-3，0），B″（-3，-2），C″（0，-2）.

【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情况都画在坐标系内，并写出两种坐标.

【即学即练2】在已知三角形内求作内接正方形．

【答案】

作法：

（1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC；

（2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′；

（3）连接BF′，延长交AC于F；

（4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别作BC的垂线FE， GD；

∴四边形DEFG即为所求．

考法02  黄金分割

【典例5】求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.

【答案与解析】

宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．）

黄金矩形的作法如下（如图所示）：

第一步：作一个正方形ABCD；

第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；

第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；

第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．

即矩形DCEF为黄金矩形．

证明：在正方形ABCD中，取，

∵ N为BC的中点，

∴ ．

在中，

．

又∵ ，

∴ ．

∴ ．

故矩形DCEF为黄金矩形．

【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．

【即学即练3】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（　　）

A.4cm     B.5cm     C.6cm     D.8cm

【答案】D.

∵该女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，
∴此女士下半身长是165×0.60=99cm，
设需要穿的高跟鞋是xcm，根据黄金分割的定义得：
0.618，
解得：x≈8．
故选D．

题组A  基础过关练

1.下面给出了相似的一些命题：

（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相

似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（　　）

A．2个     B．3个      C．4个     D．5个

【答案】B

【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；
（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；
（4）对应边的比不一定相等．故错误．
故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．

2.下列说法错误的是（　　 ）.
A.位似图形一定是相似图形.
B.相似图形不一定是位似图形.
C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.

【答案】D.

3.下列说法正确的是（　　 ）
  A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE    

是ABC放大后的图形.     
B.两位似图形的面积之比等于相似比.
C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.
D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.

【答案】C.

4.平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（　　 ）
A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.
B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.
C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似.
D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似.

【答案】C.

5.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（　　）

A. 10     B. 12      C.      D.

【答案】C．

【解析】∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，

∴=，

∵AB=12，CD=15，A1B1=9，

∴C1D1==．

6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（　　）

A. AB：AC=AC：BC    B. AC=    C.AB=   D.BC≈0.618AB

【答案】D.

【解析】∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=, AB=

AC≈0.618AB．故选D．

A.       B.      C.      D.2

【答案】B.

【解析】∵AB=1，
设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，
，
解得,,（负值舍去），
经检验是原方程的解．故选B．

题组B  能力提升练

8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为___   ___.

【答案】50cm.

9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.

【答案】2个； 全等.

10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形的周长的比值是__________．
　 　　　　　

【答案】1：2．
　 【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，
　　　　∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，
　　　　∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．
　　　　  故答案为：1：2．

11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.

【答案】 ；

【解析】由BC∥DE可得△ADE∽△ABC，所以，故.

12.图中的两个四边形相似，则x+y=　　，α=　　．

【答案】63，85°.

【解析】由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，

∴ 18：4=x：8=y：6，解得x=36，y=27，则x+y=36+27=63．

∴a=360°﹣（77°+83°+115°）=85°．

故答案为63，85°．

13.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________________.

【答案】.

【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，
∵正六角星形AFBDCE的面积为1，
∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，
同理可得，第三个六角形的面积为：=，
第四个六角形的面积为：，
故答案为：.

14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.

【答案】；

【解析】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠BDC=72°，
∴BC=BD=AD，
∵D点是AC的黄金分割点，

∴BC=AD=4×=.

题组C  培优拔尖练

15.如图，D、E分别AB、AC上的点.
　(1)如果DE∥BC，那么△ADE和 △ABC是位似图形吗？为什么？
　(2)如果△ADE和 △ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？
　　　　　　　　
　【答案与解析】

(1)△ADE和 △ABC是位似图形.理由是：
　  DE∥BC，所以∠ADE=∠B， ∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.
    又因为 点A是△ADE和 △ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C

是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和 △ABC是位似图形.
　 (2)DE∥BC.理由是：
　  因为△ADE和△ABC是位似图形，
　  所以△ADE∽△ABC
　  所以∠ADE=∠B
　  所以DE∥BC.

16.如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．

（1）求证：EB=GD；

（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．

【答案与解析】

（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，

∴∠EAG=∠BAD，

∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，

∴∠EAB=∠GAD，

∵AE=AG，AB=AD，

∴△AEB≌△AGD，

∴EB=GD；

（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，

∵∠DAB=60°，

∴∠PAB=30°，

∴BP=AB=1，

AP==，AE=AG=，

∴EP=2，

∴EB===，

∴GD=．

17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．
（1）求矩形ODEF的面积；

（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
 

【答案与解析】

（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，
∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=；
（2）存在．
∵OE=
所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
AC=

∴8h=4×4，
解得h=2，
∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值，
当点E到AC的距离为2-2时，△ACE的面积有最小值，
S最大=

S最小=