第5章 章末检测卷（含答案）

第5章 章末检测卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知函数f（x）＝，则f′＝（　）

A. 3　　    B.        C. 　　    D. 0

2.若函数f（x）在x0处可导，则的值（　）

A. 与x0，h都有关               B. 仅与x0有关，而与h无关

C. 仅与h有关，而与x0无关       D. 与x0，h均无关

3.若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝ f（x）具有T性质.下列函数具有T性质的是（　）

A. y＝sin x         B. y＝ln x            C. y＝ex      D. y＝x3

4.函数f（x）＝（）ex的单调递增区间是（　）

A.     B.（0，3）         C.（1，4）   D.（2，+∞）

5.若函数f（x）＝x2+aln x的图象在点（1，f（1））处的切线经过坐标原点，则函数的最小值

为（　）

A. ln 2        B. ln 2          C. ln 2        D. 1

6.函数y＝的图象大致是（　）

　　　　A　　　　　　　　   B　                 C　　　　　  　 　　　D

7．若曲线与直线相切，则实数的值为（  ）

A．e B． C．或 D．

8.已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f（1）＝2，且f（x）+f ′（x）<1，则不等式f（x）e3-3x>1的解集为（　）

A. （0，1）      B. （1，+∞）          C. （1，2）    D. （2，+∞）

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知函数，则（    ）

A．f(x)的极小值为0 B．曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线为x轴

C．f(x)在区间[1，2]上的最大值为0 D．f(x)在定义域内单调递减

10.已知函数f（x）的导函数为f ′（x），若存在x0，使得f（x0）＝f ′（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（　）

A. f（x）＝x2          B. f（x）＝         C. f（x）＝ln x        D. f（x）＝tan x

11.设f ′（x）为函数f（x）的导函数，若x2f ′（x）+xf（x）＝ln x，f（1）＝，则下列结论不正确的是（　）

A. x f（x）在（0，+∞）上单调递增          B. x f（x）在（0，+∞）上单调递减

C. x f（x）在（0，+∞）上有极大值         D. x f（x）在（0，+∞）上有极小值

12.已知，且，则下列不等式成立的是（  ）

A.         B.           C.        D.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.函数f（x）＝ln（x2+1）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为       .

14.函数f（x）＝xln xx在上的最小值为       .

15.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为       .

16.已知函数f（x）＝若函数f（x）在上无零点，则a的最小值为       .

四、解答题（本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤）

17. （10分）已知函数y＝ax3+bx2+6x+1的单调递增区间为（），求a，b的值.

18. （12分）一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为10 n mile/h时，燃料费是6元/ h，而其他与速度无关的费用是96元/ h，问当轮船的速度是多少时，航行1 n mile所需的费用总和最小？

19. （12分）已知函数y＝ax3+bx2，当x＝1时，y有极大值3.

（1）求a，b的值；

（2）求函数y的极小值.

20. （12分）已知函数f（x）＝e2x+aln（bx+5），且f（）＝，f′＝.

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）求曲线y＝f（x）在处的切线的倾斜角.

21. （12分）已知函数f（x）＝ln x.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）设x0满足f（x0）＝0，证明：曲线y＝ln x在点（x0，ln x0）处的切线也是曲线y＝ex的切线.

22. （12分）已知函数f（x）＝ln x.

  （1）若a＝1，证明：当0<x<1时，f（x）>0；当x>1时，f（x）<0.   

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：<.

第5章 章末检测卷

参考答案

1. C　  2. B    3.A    4. D    5. C   6.C   7.B   8. A　

9.AB     10. ABC   　11. ABC    12.AD

13. 1　   14. 　    15. 3　    16. ln 2　

17. 解：y ′＝3ax2+2bx+6，因为函数的单调递增区间为（），

所以y ′＝3ax2+2bx+6>0的解集为

所以是方程3ax2+2bx+6＝0的两根，即解得

所以a，b的值分别为，.

18. 解：设速度为v n mile/h时的燃料费是p元/h，

由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数，

由v＝10，p＝6，得k＝＝0.006，于是p＝0.006v3.

每小时所需的总费用是（0.006v3+96）元，航行1 n mile所需时间为h，

所以航行1 n mile的总费用为q＝（0.006v3+ 96）＝0.006v2+（v>0）.

q ′＝0.012v＝·（v38 000）.

令q ′＝0，解得v＝20.

因为当0<v<20时，q ′<0，当v>20时，q ′>0，

所以当v＝20时，q取得最小值，

故当轮船的速度为20 n mile/h时，航行1 n mile所需的费用总和最小.

19. 解：（1）y ′＝3ax2+2bx，

由题意得，当x＝1时，y ′|x＝1＝3a+2b＝0，a+b＝3，

故解得

经检验知，符合题意，所以a＝，b＝9.

（2）由（1），得y＝6x3+9x2，则y ′＝18x2+18x，

令y ′＝0，得x＝0或x＝1.

易知x＝0时，有y极小值＝0.

20. 解：（1）因为f（x）＝e2x+aln（bx+5），

所以f ′（x）＝e2x+a.

由已知得解得

故f（x）＝e2x+4ln（2x+5）.

（2）由（1）知f（x）＝e2x+4ln（2x+5），

则f ′（x）＝e2x+4，所以f ′（）＝，

即曲线y＝f（x）在x＝处的切线的斜率等于，

故其倾斜角等于.

21. （1）解：函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），

f（x）＝ln xf ′（x）＝，

因为函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），

所以f ′（x）>0恒成立，

因此函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（1，+∞）.

（2）证明：因为x0是f（x）的一个零点，

所以f（x0）＝ln x0＝0ln x0＝，

y＝ln xy ′＝，所以曲线y＝ln x在点A（x0，ln x0）处的切线l的斜率k＝，

故曲线y＝ln x在点A（x0，ln x0）处的切线l的方程为yln x0＝（xx0），

而ln x0＝，

所以l的方程为y＝+，直线l在轴上的截距为.

设曲线y＝ex的切点为B（x1，），

令其在点B（x1，）的切线为l ′，y＝exy ′＝ex，

所以在点B（x1，）处的切线l ′的斜率为，

因此切线l ′的方程为y＝x+（1x1）.

当切线l ′的斜率等于直线l的斜率时，

即＝x1＝ln＝-ln x0，切线l ′在纵轴的截距为b1＝（1x1）＝（1+ln x0）＝（1+ln x0），

而ln x0＝，所以b1＝＝，

直线l，l ′的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，

因此直线l，l ′ 重合，故曲线y＝ln x在点（x0，ln x0）处的切线也是曲线y＝ex的切线.

22. 证明：（1）当a＝1时，f（x）＝ln x，定义域为{x|x>0}，

f ′（x）＝＝＝，f ′（x）≤0在定义域上恒成立，

所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，

当0<x<1时，f（x）>f（1）＝0；

当x>1时，f（x）<f（1）＝0.原命题得证.

（2）f（x）的定义域为（0，+∞），f ′（x）＝＝，

若f（x）在（0，+∞）上存在两个极值点，

设h（x）＝ax2+2x，则解得0<a<1.

由韦达定理可知，x1+x2＝，x1x2＝.（*）

＝＝a，

原命题即证.

不妨设x1>x2，原命题即证ln，

由（*）知， +＝2，

齐次化，即证ln ·，

不妨令t＝>1，

原命题即证ln t+，

记g（t）＝ln t，

则g ′（t）＝＝，

当t>1时，g ′（t）<0，g（t）在（1，+∞）上单调递减，g（t）<g（1）＝0.

原命题得证.