数学选择性必修第一册4.1 数列第2课时学案

第2课时　数列的通项公式与递推公式

古希腊的毕达哥拉斯学派将1,3,6,10等数称为三角形数,因为这些数目的点总可以摆成一个三角形,如图所示.把所有的三角形数按从小到大的顺序排列,就能构成一个数列{an}.

【问题】a2与a1,a3与a2,a4与a3之间分别存在怎样的等量关系?

1.递推公式

(1)概念:如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.

(2)作用:已知首项和递推公式,可求出数列的任何一项.

1.通项公式与递推公式的区别:①通项公式反映的是an与n的关系,递推公式反映的是项与项之间的关系;②若已知n的值,则由通项公式可直接求出an的值,而通过递推公式只能间接求出an的值.

2.利用递推公式求一个数列,必须具备:①数列第1项或前几项;②递推关系.这两个条件缺一不可.

(1)数列1,2,4,8,…的第n项an与第n+1项an+1有什么关系?

(2)所有的数列都有递推公式吗?

提示:(1)an+1=2an;(2)与所有的数列不一定都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式,如精确到1,0.1,0.01,0.001,…的近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.

2.数列的表示方法

数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法,以数列2,4,6,8,10,12,…为例,表示如下:①通项公式法:an=2n.

②递推公式法:

③列表法:

④图象法:

数列各表示方法的优缺点

仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2,n∈N*)就能确定这个数列吗?

提示:不能.数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的,如果只有递推关系而无初始值,那么这个数列是不能确定的.

3.数列的前n项和的概念

数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.

　如何用Sn和Sn-1的代数式表示an?

提示:an=

1.数列满足an+1=3an-1,a1=1,则a3= (　　)

A.5　　　B.3　　　C.2　　　D.1

【解析】选A.依题意,由an+1=3an-1,a1=1,

可知a2=3a1-1=2,a3=3a2-1=5.

2.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是 (　　)

A.an=an-1+2(n≥2)

B.an=2an-1(n≥2)

C.a1=2,an=an-1+2(n≥2)

D.a1=2,an=2an-1(n≥2)

【解析】选C.A,B中没有说明某一项,无法递推,D中a1=2,a2=4,a3=8,不符合.

3.已知an+1-an-3=0,则数列{an}是 (　　)

A.递增数列   B.递减数列

C.常数列    D.不能确定

【解析】选A.由an+1-an-3=0,得an+1-an=3>0,所以数列{an}是递增数列.

4.记Sn为数列的前n项和,若Sn=2an+1,则a1=__________. 

【解析】因为Sn=2an+1,所以当n=1时,

S1=a1=2a1+1,解得a1=-1.

答案:-1

5.已知数列的前n项和为Sn,若Sn=2n-1,则a8=________. 

【解析】因为数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2n-1,所以a8=S8-S7=28-1-=27=128.

答案:128

类型一　由递推公式求固定项(数学运算)

1.已知数列满足a1=1,a2=1,an+2=an+1+an,则a5的值为 (　　)

A.5　　　B.6　　　C.7　　　D.8

【解析】选A.由题意a3=a2+a1=2,a4=a3+a2=3,a5=a4+a3=5.

2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=4an+3,则a4= (　　)

A.67 B.115 C.31 D.127

【解析】选D.因为数列{an}满足a1=1,an+1=4an+3,所以a2=4a1+3=7,a3=4a2+3=31,a4=4a3+3=127.

3.数列满足an+1=,a5=2,则a1=________. 

【解析】因为an+1=,a5=2,

令n=4,2=,所以a4=,

令n=3,=,所以a3=-1,

令n=2,-1=,所以a2=2,

令n=1,2=,所以a1=.

答案:

由递推公式求数列的项的方法

根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.

类型二　由递推公式求通项公式(逻辑推理)

【典例】1.在数列中,a1=2,2an+1=2an+n,则a9等于 (　　)

A.20  B.30  C.36  D.28

【解析】选A.因为a1=2,2an+1=2an+n,

所以an+1-an=,所以a9=+(a8-a7)+…++a1,

所以a9=++…++2=+2=20.

2.设数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),求通项公式an.

【解析】因为a1=1,an=an-1(n≥2),

所以=,an=×××…×××a1=×××…×××1=.

又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=(n∈N*).

由递推公式求通项公式的方法

(1)累加法:形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈N*)求通项公式;

(2)累乘法:形如=f(n)的递推公式,可以利用a1···…·=an(n≥2,n∈N*)求通项公式.

1.若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1,且a1=1,则a100=________. 

【解析】由(n-1)an=(n+1)an-1,即=,则a100=a1···…·=1×××…×=

5 050.

答案:5 050

2.已知数列{an}满足a1=,anan-1=an-1-an(n≥2),求数列{an}的通项公式.

【解析】因为anan-1=an-1-an,所以-=1.

所以=+(-)+(-)+…+(-)=2+=n+1.

所以=n+1(n≥2),

又a1=也适合上式,所以an=.

　　　【加固训练】

1.(2022·荆州高二检测)在数列中,a1=1,=,则a10=__________. 

【解析】由已知a10=··…··a1=××…××1=.

答案:

2.(2022·眉山高二检测)已知数列中,a1=1,an+1=-,则a2 021= (　　)

A.1　　B.-　　C.-2　　D.-1

【解析】选B.当n=1时,a2=-=-,

当n=2时,a3=-=-2,

当n=3时,a4=-=1,

当n=4时,a5=-=-,

所以数列的周期为3,

因为2 021=3×673+2,

所以a2 021=a2=-.

类型三　由前n项和求通项公式(数学运算、逻辑推理)

【典例】1.(2022·北师大附中高二检测)数列的前n项和Sn=3n2,则an=__________. 

【解析】①当n=1时,a1=S1=3,

②当n≥2时Sn-1=3=3n2-6n+3,

an=Sn-Sn-1=6n-3,当n=1时上式也符合,

所以an=6n-3.

答案:6n-3

2.已知数列的前n项和Sn=2n2+n-5,那么它的通项公式是__________. 

【解析】①当n=1时,a1=S1=2+1-5=-2;

②当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+n-5)-

[2(n-1)2+(n-1)-5]=4n-1,

当n=1时,4n-1=4-1=3≠-2,

综上,an=

答案:an=

　　　【加固训练】

数列的前n项和为Sn,Sn=n2-n,则其通项公式an=________. 

【解析】①当n=1时,a1=S1=0;

②当n≥2时Sn-1=-=n2-3n+2,an=Sn-Sn-1=2n-2,当n=1时上式也符合.

所以an=2n-2.

答案:2n-2

【结论通通用】

当Sn是二次式时,若Sn有常数项,则an分段,若Sn没有常数项,则an不分段.

计算an=Sn-Sn-1时,同次项分别相减,并运用平方差公式,能有效减少运算.

由前n项和求通项公式的步骤

(1)先利用a1=S1,求出a1;

(2)用n-1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn-1,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式;

(3)注意检验n=1时的值是否符合n≥2时an的解析式,若符合,则合并;若不符合,则用分段函数表示通项公式an.

1.已知数列的前n项和Sn=n2+1,则a1+a5=__________. 

【解析】由Sn=n2+1得a1=12+1=2,a5=S5-S4=(52+1)-(42+1)=9,故a1+a5=2+9=11.

答案:11

2.已知数列的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列的通项公式为__________. 

【解析】an=,而S1=1-2+2=1,

当n≥2时,Sn-Sn-1=n2--2=2n-3,

故an=

答案:an=

　　　【加固训练】

设Sn是数列的前n项和,若Sn=n2+2n,则a2 021= (　　)

A.4 043　　B.4 042　　C.4 041　　D.2 021

【解析】选A.方法一:a2 021=S2 021-S2 020=2 0212-2 0202+2×2 021-2×2 020=4 043.

方法二:因为Sn=n2+2n,

所以当n=1时a1=S1=3,

当n≥2时an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1.

当n=1时也适合上式,所以an=2n+1,a2 021=2×2 021+1=4 043.

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