【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第一册：第30讲 导数压轴小题精选题分题型版 讲义

第30讲导数压轴小题精选题（分题型版）

◆考点01 直接求导型

【典例1】已知函数 ，则函数 在 上的最小值不可能为

 A.  B.  C.  D.

【答案】D 【解析】，

因为 ，

所以 ，

①当 时，，由 ，可得 ，此时函数 单调递增．

所以当 时，函数 取得最小值，．

②当 时，，由 ，可得 ，此时函数 单调递减．

所以当 时，函数 取得最小值，．

③当 时，由 ，解得 ．

当 时，，此时函数 单调递减；

当 时，，此时函数 单调递增．

所以当 时，函数 取得极小值即最小值，．

【典例2】 已知函数 ，若 ，则下列结论正确的是

 A.  B.

 C.  D.

【答案】 D 【解析】．

（i） 当 时，；

（ii） 当 ，且 时，．

① 当 时，根据三角函数线的性质，得 ，又 ，所以 ；

② 当 时，，则 ，又 ，所以 ．

综合（i）（ii），当 时，．

所以 在 上是减函数．

若 ，则 ，

所以 ．

◆考点02 多变量消元型 

【典例3】若存在正实数 ，， 满足 且 ，则 的取值范围为

 A.  B.

 C.  D.

【答案】B 【解析】，

所以 ，

所以 ，

所以 ，

令 ，则 ，

又因为 ，

所以 ，

即 ，令 ，

则 ，令 即 ，

又因为 ，

所以 时 ， 单调减， 时 ， 单调增，

所以 时 取极小值，即 ，

 ，

 ，

所以 最大值为 ，

所以 ，高中数学资料共享群QQ群号：734924357

所以 ．

【典例4】 已知 ，且 对 恒成立，则 的最大值是

 A.  B.  C.  D.

【答案】 A 【解析】若 ，由于一次函数 单调递减，不能满足且 对 恒成立，则 ．

若 ，则 ．

若 ，由 得 ，则 ．

设函数 ，

所以 ，令 得 ，解得 ，

因为 时，，则 ，则 ，

所以 ，所以函数 递减；

同理， 时，，所以函数 递增；

所以当 时，函数取最小值， 的最小值为 ．

设 ，，

由 得 ，不难得到 时，； 时，；

所以函数 先增后减，所以 的最大值为 ，即 的最大值是 ，此时 ，．

◆考点03 利用奇偶性分参

【典例5】已知方程 有 个不同的实数根，则实数 的取值范围是

 A.  B.  C.  D.

【答案】 A 

【解析】由 得 ，因为 ，

所以方程等价为 ，设 ，则函数 是偶函数，

当 时，，

则

由 得 ，得 ，

即 ，得 ，此时函数单调递增，

由 得 ，得 ，

即 ，得 ，此时函数单调递减，

即当 时， 时，函数 取得极大值 ，

作出函数 的图象如图：

要使 ，有 个不同的交点，

则满足 ．

【典例6】已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是

 A.  B.

 C.  D.

【答案】 D 【解析】函数 ，

将 换为 ，函数值不变，即有 图象关于 轴对称，

即 为偶函数，有 ，

当 时， 的导数为 ，

则 在 递增，，即为 ，

可得 ，可得 ，解得 ．

◆考点04 导数构造

【典例7】 若函数 满足 ，且 ，则 的解集为

 A.  B.  C.  D.

【答案】 A 【解析】因为 ，

所以 ，

所以 ，

所以 ，

令 ，

则 ，，

所以 ，

所以 ，

因为 ，， 单减，，， 单增，

所以 ，

所以 ，

所以 在 上单增，

因为 ，，

所以 ，

所以 ，

所以 ，

所以 ，

所以不等式的解集为 ．

【典例8】已知 ， 都是定义在 上的函数，且满足以下条件：

① （）；②   ；③ ．若 ，则使 成立的 的取值范围是

 A.  B.

 C.  D.

【答案】  B 【解析】令 ，由③可得 ，所以 是减函数，即 ，然后由 可求得 ．

◆考点05 复合函数换元

【典例9】已知 是定义在 上的函数 的导函数，若方程 无解，且 ，，设 ，，，则 ，， 的大小关系是

 A.  B.  C.  D.

【答案】 D 【解析】由题意，可知 是定值，不妨令 ，则 ，又 ，所以 ，即 ，则 ，显然当 时，有 ，即函数 在 上为单调递增，又 ，所以 ．

【典例10】已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ， 则对任意的 ，函数 的零点个数至多有

 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

【答案】  A 【解析】当 时，，可得 ，可知 ，函数是减函数， 函数是增函数，，，且 时，，

又 是定义在 上的奇函数，，而 时，，

所以函数的图象如图：

令 则 ，由图象可知：当 时，方程 至多 个根，当 时，方程没有实数根，而对于任意 ，方程 至多有一个根，，从而函数 的零点个数至多有 个．

◆考点06 复合函数分类讨论

【典例11】已知函数 ，若 有两个零点 ，，则 的取值范围是

 A.  B.

 C.  D.

【答案】  D 【解析】当 时，，

所以 ，

所以 ，

当 ，，，

 ，

综上可知：，

则 ，，有两个根 ，，（不妨设 ），

当 是，，当 时，，

令 ，则 ，，，，

所以 ，，

设 ，，

求导 ，

 ，，函数 单调递减，

所以 ，

所以 的值域为 ，

 所以 取值范围为 ．

【典例12】已知函数 ，关于 的方程 有 个相异的实数根，则 的取值范围是

 A.  B.

 C.  D.

【答案】 D 【解析】当 时，，函数的导数 ，

当 时，，当 时，，则当 时，函数取得极小值 ，

当 时，，函数的导数 ，此时 恒成立，此时函数为增函数，．

作出函数 的图象如图：

设 ，则 时， 有 个根，

当 时， 有 个根，

当 时， 有 个根，

当 时， 有 个根，

则 有三个相异的实数根，等价为 有 个相异的实数根，

当 时，，即 ，此时满足条件．

◆考点07 类比斜率

【典例13】已知函数 ，方程 两个根分别在区间 与 内，则 的取值范围为

 A.  B.

 C.  D.

【答案】 A 【解析】由题意，，因为 是开口朝上的二次函数，所以 ，得 由此可画出可行域，如图，

  表示可行域内的点 和点 连线的斜率，显然 的斜率最小， 的斜率最大．

◆考点08 类比距离

 【典例14】设 ，则 的最小值为

 A.  B.  C.  D.

【答案】 C【解析】，

其几何意义为：两点 ， 的距离的平方，

由 的导数为 ，所以 ，点 在曲线 上，

所以 ，所以 ，令 ，，

则 ，

而 是抛物线 上的点到准线 的距离，

即抛物线 上的点到焦点 的距离，

则 可以看作抛物线上的点 到焦点距离和到 上的点的距离的和，

即 ，

由两点之间线段最短，得 最小值是点 到 上的点的距离的最小值，

由点到直线上垂线段最短，这样就最小，

即取 ，

则 ，垂直，

则 ，解得 ，

所以 到 的距离就是点 到 上的点的距离的最小值，

所以 的最小值为 ．

◆考点09 夹角问题

 【典例15】 已知函数 ，点 ， 是函数 图象上不同两点，则 （ 为坐标原点）的取值范围是

 A.  B.  C.  D.

【答案】  A 【解析】当 时，由 得 ，此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为 ，此时渐近线的斜率 ，

当 时，，

当过原点的直线和 相切时，设切点为 ，函数的导数 ，则切线斜率 ，则对应的切线方程为 ，即 ，

当 ， 时，，即 ，即 ，得 ，此时切线斜率 ，则切线和 的夹角为 ，

则 ，则 ，

故 （ 为坐标原点）的取值范围是 ．

◆考点10 分类讨论

 【典例16】已知函数 ，，若对于任意实数 ，函数 与 的值至少有一个为正值，则实数 的取值范围是

 A.  B.  C.  D.

【答案】 C 【解析】当 时，

函数 的图象为开口向下的抛物线，所以在 时， 不恒成立．

函数 当 时，．

所以不满足题意．

当 时，，，不满足题意．

当 时，

需 在 时恒成立，

所以令 或

即 或

解得 或 ．综合得：．

◆考点11 双变量任意存在

【典例17】已知 为自然对数的底数，对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是

 A.  B.  C.  D.

【答案】 C 【解析】令 ，

则 在 上单调递减，且 ，．

令 ，

则 ，且 ，，．

若对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，

即 ，

则 的最大值不能大于 的最大值，

即 ，

因为 在 上单调递减，在 上单调递增，

所以当 时，有两个 使得 ．

若只有唯一的 ，使得 ，

则 的最小值要比 大，

所以 ，

所以 ，

故实数 的取值范围是

【典例18】已知 为自然对数的底数，若对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是

 A.  B.  C.  D.

【答案】  B 【解析】设 ，当 时，， 是增函数，所以 时，，设 ，因为对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，所以 是 的不含极值点的单调区间的子集，因为 ，所以 时，若 ，， 是减函数，若 ，， 是增函数，因为 ，所以 ，所以 ．

◆考点12 零点个数问题

【典例19】 设 ，若函数 在区间 上有三个零点，则实数 的取值范围是

 A.  B.  C.  D.

【答案】 D 

【解析】函数 在区间 上有三个零点即函数 与 在区间 上有三个交点．画图如下．

当 时，显然，不合乎题意，当 时，由图知，当 时，存在一个交点，当 时，，可得 ，，若 ，可得 ， 为减函数，若 ，可得 ， 为增函数，此时 与 必须在 上有两个交点，即 在 上有两个零点，所以 解得 ，故函数 在区间 上有三个零点时，．

【典例20】 已知 ，又 ，若满足 的 有四个，则 的取值范围是

 A.  B.

 C.  D.

【答案】 B 【解析】令 ，则 ，由 ，得 ，当 时，，函数 单调递减，

当 时， 函数单调递增．做出 图象，利用图象变换得 图象（如图），

令 ，则关于 方程 两根分别在 ， 时（如图），

满足 的 有 个，由 解得 ．

◆考点13 绝对值函数分类讨论

【典例21】 已知函数 ，若 ，则 的取值范围是

 A.  B.  C.  D.

【答案】 D 【解析】作出函数 的图象，如图，

要使 成立，则必有 ．当 时，，则 与 相等时，满足条件．

由 ，

 ，

所以 ，

所以 ．

◆考点14 对称问题

 【典例22】已知函数 满足 ，若函数 与 图象的交点为 ，，，，则  

 A.  B.  C.  D.

【答案】 B 

【解析】由 得 关于 对称，而 也关于 对称，所以对于每一组对称点 ，，所以 ．

题组   能力提升练

1. 设函数 ，则函数 的各极小值之和为

 A.  B.

 C.  D.

【答案】 D 【解析】提示：令 ，得 ，易知当 时 取到极小值，故各极小值之和为

2. 已知函数 ，若关于 的不等式 有两个整数解，则实数 的取值范围是

 A.  B.

 C.  D.

【答案】  C 【解析】因为 ，

所以 在 上单调递增，在 上单调递减，

当 时， 或 ，此时不等式 有无数个整数解，不符合题意；

当 时，，此时不等式 有无数个整数解，不符合题意；

当 时， 或 ，要使不等式 恰有两个整数解，必须满足

 ，得 ．

3. 已知函数 ，若 ，且 对任意的 恒成立，则 的最大值为

 A.  B.  C.  D.

【答案】 B 

【解析】因为 ，所以 对任意 恒成立，

即 ，

因为 ，也就是 对任意 恒成立．

令 ，则 ，

令 ，则 ，

所以函数 在 上单调递增．

因为 ，，

所以方程 在 上存在唯一实根 ，且满足 ．

当 时，，即 ，

当 时，，即 ，

所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．

所以 ．

所以 ，

因为 ，故整数 的最大值是 ．

4. 若函数 在 单调递增，则 的取值范围是

 A.  B.  C.  D.

【答案】 C 【解析】解法1：用特殊值法：取 ，，，

但 ，不具备在 单调递增，排除 ，，．

解法2：，因为 是关于 开口向下的二次函数，由 在 上单调递增，有 解得 .

5. 设函数 有两个极值点 ，，且 ，则 的取值范围是

 A.  B.

 C.  D.

【答案】 B 【解析】由已知得： 的定义域为 ，且 ，

因为 有两个极值点 ，，

所以 ， 是方程 的两根，

又因为 ，且 ，所以，，，

所以 ，

令 （其中 ），

则 ，

故 递增，

所以 ，

而 ，，

所以 ．

6. 设函数 ，若 是 的极大值点，则 的取值范围为

 A.  B.

 C.  D.

【答案】  A 

【解析】由 ，，得 ．

设 ，

由 是 的极大值点，即 满足在 的左侧附近为正，右侧附近为负：

当 ， ，显然满足 是 的极大值点．

当 时，由 ，则其对称轴 ，得： ，所以 ；

当 时，由 ，则其对称轴 ，得： .

综上， .

7. 对任意的正数 ，都存在两个不同的正数 ，使 成立，则实数 的取值范围为

 A.  B.  C.  D.

【答案】  A 【解析】由 ，可得：，令 ，

所以 ，设 ，．

令 ．

解得 ，此时函数 单调递增；

令 ．

解得 ，此时函数 单调递减．

又 时，； 时，．

可得函数 的图象．

因此当 时，存在两个正数，使得 成立，即对任意的正数 ，都存在两个不同的正数 ，使 成立．

8. 设函数 .若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是

 A.  B.  C.  D.

【答案】 C 【解析】因为 是奇函数且在 上单调递增，又 ，即 ，所以 ，即 恒成立．即 恒成立．令 ，则当 时，，所以 的取值范围为 .

9. 函数 是定义在区间 上的可导函数 ， 其导函数为 ，且满足 ，则不等式 的解集为

 A.  B.

 C.  D.

【答案】  D 

【解析】构造函数 ，，

当 时，

因为 ，

所以 ，

所以 在 上单调递增，

因为不等式 ，

所以 时，即 时，

 ，

所以 ，

所以 ，

所以 ．

10. 已知定义在 上的函数 满足：函数 的图象关于直线 对称，且当 时， 成立（ 是函数 的导函数），若 ，，，则 ，， 的大小关系是

 A.  B.  C.  D.

【答案】 D 【解析】定义在 上的函数 满足：函数 的图象关于直线 对称，可知函数 是偶函数，

所以 是奇函数，

又因为当 时， 成立（ 是函数 的导函数），

所以函数 在 上既是奇函数又是减函数；

 ，，．

所以 ．

11.已知 是定义在 上的单调函数，且对任意的 ，都有 ，则方程 的解所在的区间是

 A.  B.  C.  D.

【答案】 C 

【解析】根据题意，对任意的 ，都有 ，

又由 是定义在 上的单调函数，

则 为定值，

设 ，则 ，

又由 ，即 ，解可得，；

则 ，，

将 ， 代入 ，

可得 ，

即 ，

令 ，

分析易得 ，，

则 的零点在 之间，

则方程 ，即 的根在 上．

12. 已知函数 ， 若对任意的 ，总存在 ，使得 ，则实数 的取值范围为

 A.  B.

 C.  D.

【答案】 C 【解析】函数 ，导数为 ，可得 的极值点为 ，，由 ，，，，可得 在 的值域为 ；，导数为 ，

当 时，， 递减；当 或 时，， 递增．

由 ，，，，

当 时，， 在 的值域为 ，由对任意的 ，总存在 ，使得 ，可得 ，即有 ，解得 不成立；

当 时，， 在 的值域为 ，由题意可得 ，即有 ，解得 ，即为 ；

当 时，可得 取得最大值， 为最小值，即有 ，可得 ，，即 ，且 ，解得 ．

综上可得， 的取值范围是 ．

13. 定义：如果函数 在 上存在 ，  满足 ，，则称函数 是 上的“双中值函数”．已知函数 是 上的“双中值函数”，则实数 的取值范围是

 A.  B.  C.  D.

【答案】  C 【解析】由题意可知，因为 在区间 存在 ，  ，满足 ，

因为 ，

所以 ，

所以方程 在区间 有两个不相等的解．

令 ，．

则

解得：．

所以实数 的取值范围是 ．

14. 定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时，，若函数 有 个零点，则实数 的取值范围为

 A.

 B.

 C.

 D.

【答案】  A 

【解析】因为函数 可得图象关于直线 对称，且函数为偶函数则其周期为 ，

又因为 ，当 时有 ，则函数在 为减函数，作出其函数图象如图所示：

其中 ，，当 时 要使符合题意则 ，

根据偶函数的对称性，当 时，要使符合题意则 ．

综上所述，实数 的取值范围为 ．

15. 函数 图象上不同两点 ， 处的切线的斜率分别是 ，，规定 叫做曲线在点 与点 之间的“弯曲度”．设曲线 上不同的两点 ，，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是

 A.  B.  C.  D.

【答案】 A 

【解析】 的导数为 ， 

可得 ， 恒成立，则 恒成立，

由 ，

即有 ．

16.已知整数对排列如下：，，，，，，，，，，，，，则第 个整数对是

 A.  B.  C.  D.

【答案】 A 【解析】数对中第一个数 为 的数对的位置分别是 ，，，，，，另外，数对的数字和从 开始稳步变大，可以构造一个数列 ，其中 是数对和第一次达到 的数对的位置，，．可发现 ，此时利用累加法可求出：，容易求出 ，即 是第 个整数对．依次往下写可得答案．