2022-2023学年苏教版（2019）选择性必修一第五章 导数及其应用 单元测试卷

第五章 导数及其应用 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共32分)

1、(4分)原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出，，等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则等于(   )

A.12贝克 B.贝克 C.6贝克 D.贝克

2、(4分)设，已知函数，对于任意，，都有，则实数m的取值范围为(   )

A. B. C. D.

3、(4分)已知定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则下列结论中正确的是(   )

A. B. C. D.

4、(4分)已知函数，过点可作曲线的三条切线，则实数m的取值范围是(   )

A. B. C. D.

5、(4分)如图是函数的导函数的图象，则下列说法中正确的是(   )

A.是函数的极小值点

B.当或时，函数的值为0

C.函数在上是增函数

D.函数在上是增函数

6、(4分)已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a的值为(   )

A.1 B.2 C.3 D.-1

7、(4分)已知函数在区间上的最大值、最小值分别为M，N，则的值为(   )

A.2 B.4 C.20 D.18

8、(4分)若是函数的极值点，则的极小值为(   )

A.-1 B. C. D.1

二、多项选择题(共24分)

9、(6分)若直线l与曲线C满足下列两个条件：①直线l在点处与曲线C相切；

②曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C，则下列命题中正确的是(   )

A.直线在点处“切过”曲线

B.直线在点处“切过”曲线

C.直线在点处“切过”曲线

D.直线在点处“切过”曲线

10、(6分)设函数的定义域为，已知有且只有一个零点，则下列结论中正确的有(   )

A.  B.在区间上单调递增

C.当时，取得极大值 D.是的最小值

11、(6分)已知函数，则下列结论中正确的是(   )

A.函数在处取得最大值为

B.函数有两个不同的零点

C.

D.若在区间上恒成立，则

12、(6分)设函数的导函数为，则下列结论中正确的是(   )

A.  B.是的极值点

C.存在零点  D.在区间上单调递增

三、填空题(共16分)

13、(4分)已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是____________.

14、(4分)已知的定义域为，是导函数，且满足，若是偶函数，，则不等式的解集为________________.

15、(4分)已知函数，当时，函数有极值，则函数在区间上的最大值为____________.

16、(4分)已知函数，则的极大值为______________.

四、解答题(共28分)

17、(14分)已知函数.

（1）若，求在区间上的极值；

（2）讨论函数的单调性.

18、(14分)已知函数.

（1）若是奇函数，且有三个零点，求实数b的取值范围；

（2）若在处有极大值，当时，求出的值域.

参考答案

1、答案：A

解析：由题意，得，所以，解得，则，所以（贝克）.

2、答案：B

解析：设，则，当或时，，单调递增；当时，单调递减，当时，，所以在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，所以，，因为对于任意，，都有，所以，即，即，解得或.又，所以实数m的取值范围为.

3、答案：B

解析：由，得.因为定义在上，所以.令，则，故函数在区间上单调递增.由，得.又，所以，所以.同理令，，则函数在区间上单调递减.由，得，即.综上.

4、答案：D

解析：设切点坐标为.因为，所以，所以曲线在点处的切线斜率为.又因为切线过点，所以切线斜率为，所以，即①.因为过点可作曲线的三条切线，所以方程①有3解.令，则的图象与x轴有3个交点，所以的极大值与极小值异号.又，令，得或，所以，即，解得，故m的取值范围是.

5、答案：D

解析：由函数的导函数图象可知，当，时，，则原函数为减函数；当时，，则原函数为增函数，故D正确，C错误；不是函数的极值点，故A错误；当或时，导函数的值为0，函数的值未知，故B错误.

6、答案：A

解析：因为是奇函数，当时，的最小值为1，所以在区间上的最大值为-1，当时，，令，得.又，所以，令，则，所以在区间上单调递增；令，则，所以在区间上单调递减，所以，所以，则.

7、答案：C

解析：由题意，得，令，解得，，当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增.因为，，，所以最大值，最小值，故.

8、答案：A

解析：因为，，所以，所以，.令，解得或，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极小值为.

9、答案：AC

解析：的导数为，得切线方程为，即x轴.当时，；当时，，所以直线在点处“切过”曲线，故A正确；由的导数为，得切线方程为，且的导数为，则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以，则，故B错误；的导数为，可得在点处切线方程为.由和直线可得切线穿过曲线，则直线在点处“切过”曲线，故C正确；的导数为，可得在点处切线方程为，令，则，当时，，当时，，即在区间上单调递減，在区间上单调递增，所以当时，，所以，故D错误.故选AC.

10、答案：ACD

解析：只有一个零点，即方程在上只有一个根，则，两边取对数，得，即只有一个正根.设，则，当时，，单调递增；当时，；当时，，单调递减，此时，则，所以要使方程只有一个正根，则或，解得或.又因为，所以，故A正确；，，令，即，两边取对数，得，易知和是此方程的解.设，，当时，则，单调递增；当时，，单调递减，所以是极大值.又，所以有且只有两个零点.当或时，所以，即，即，则.同理当时，，所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减，所以极小值为，极大值为.又，所以是最小值，故B错误，C，D正确.故选ACD.

11、答案：ACD

解析：由题意，得.对于A，令，得；令，得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在处取得最大值为，故A正确；对于B，令，得，故函数有一个零点，故B错误；对于C，因为，所以根据函数的单调性，，故C正确；对于D，函数在区间上恒成立，即在区间上恒成立.设，所以.令，得；令，得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，所以，故D正确.故选ACD.

12、答案：AD

解析：由题意知的定义域为.对于A，，则，故A正确；对于B，D，，所以函数单调递增，故无极值点，故B错误，D正确；对于C，，故函数不存在零点，故C错误.故选AD.

13、答案：

解析：由，得，设，则存在，使得成立，即成立，所以成立，所以.令，则，所以时，，单调递增，所以，所以实数a的取值范围是.

14、答案：

解析：构造函数，该函数的定义域为.因为函数为偶函数，所以，所以函数为偶函数.又，当时，，则，所以函数在上为增函数.因为，所以.由，得，即，所以，所以，解得或，故不等式的解集为.

15、答案：13

解析：因为，当时，函数有极值，所以，解得，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增.双极大值，，所以在区间上的最大值为13.

16、答案：

解析：因为，令，则，解得，所以.令，解得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得极大值.

17、答案：(1)有极小值，无极大值

(2)当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；

当时，函数的单调减区间为，单调增区间为

解析：(1)当时，，

所以，

则，随x的变化情况如下表：

所以在区间上有极小值，无极大值.

(2)因为函数的定义域为，.

当时，，从而，故函数在区间上单调递减；

当时，若，则，从而；若，则，从而.

故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

综上所述，当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；当时，函数的单调减区间为，单调增区间为.

18、答案：（1）因为是定义域为R的奇函数，

所以，且，

所以，所以.

当时，，

此时在R上单调递减，在R上只有一个零点，不符合题意.

当时，，解得.

因为在R上有三个零点，

所以且.

又，，恒成立，

所以.

综上，实数b的取值范围为.

（2）由题意，得，

，，

解得或

当，时，，，

令，得，

令，得或，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以在处有极小值，与题意不符.

当，时，，.

令，得；

令，得或，

所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增，

所以在处有极大值，符合题意，

故，.

又因为，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.

又，，，

所以函数在区间上的值域为.

解析：