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第五章达标检测-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析）
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这是一份第五章达标检测-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析），共15页。
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=x2在区间[-1,2]上的平均变化率为( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
2.下列求导运算正确的是 ( )
A.x+1x'=1+1x2 B.(log2x)'=1xln2
C.(5x)'=5xlog5x D.(x2cos x)'=-2xsin x
3.一质点做直线运动,若它所经过的路程与时间的关系为s(t)=13t3+1,设其在时间段[1,2]内的平均速度为v1,在t=2时的瞬时速度为v2,则v1v2= ( )
A.13 B.712 C.56 D.23
4.函数f(x)=ln x-x的极大值点为 ( )
A.1 B.-1 C.e D.1-e
5.已知函数f(x)=x2-2cos x,则f(0), f -13, f 23的大小关系是 ( )
A. f(0)< f -13< f 23
B. f -13< f(0)< f 23
C. f 23< f -13< f(0)
D. f(0)
7.已知函数h(x)=mex+ex在区间[0,1]上不单调,则实数m的取值范围为 ( )
A.[1,e] B.(1,e) C.[1,e2] D.(1,e2)
8.设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),当a>3时,不等式f(-k-sin θ-1)≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,则θ的可能取值是 ( )
A.- π3 B.4π3 C.- π2 D.5π6
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列结论中正确的有 ( )
A.若y=sin π3,则y'=0
B.若f(x)=3x2-f'(1)x,则f'(1)=3
C.若y=-x+x,则y'=-12x+1
D.若y=sin x+cos x,则y'=cos x+sin x
10.定义在区间-12,4上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)在区间(0,4)上单调递增
B.函数f(x)在区间-12,0上单调递减
C.函数f(x)在x=1处取得极大值
D.函数f(x)在x=0处取得极小值
11.若实数m的取值使函数f(x)在定义域上有两个极值点,则称函数f(x)具有“凹凸趋向性”.已知f'(x)是函数f(x)的导数,且f'(x)=mx-2ln x,当函数f(x)具有“凹凸趋向性”时,m的取值范围的子集有 ( )
A.-2e,+∞ B.-2e,0
C.-∞,-2e D.-2e,-1e
12.已知定义在0,π2上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(0)=0, f'(x)cos x+f(x)sin x<0,则下列判断正确的是 ( )
A. f π6<62f π4 B. f lnπ3>0
C. f π6>3f π3 D. f π4>2f π3
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知f'(x0)=m,则limΔx→0f(x0-3Δx)-f(x0)Δx= .
14.设函数f(x)=x+cos x,x∈(0,1),则满足不等式f(t2)>f(2t-1)的实数t的取值范围是 .
15.若f(x)=x3-3x+m,当m=0时,f(x)的极大值为 ;关于x的方程f(x)=0在[0,2]上有根,则实数m的取值范围是 .(第一个空2分,第二个空3分)
16.已知函数f(x)=1+lnx,x≥1,x+12,x<1,若存在x1≠x2,使得f(x1)+f(x2)=2,则x1+x2的取值范围是 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在①f(x)的一个极值点为0;②曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+(e-1)y-1=0垂直;③y=f(-x)-f'(x)为奇函数这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并回答下列问题.
已知函数f(x)=ex+ax-1,且 ,求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.
注:选择多个条件分别解答时,按第一个解答计分.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(a-b)x2-x-xln x.
(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与x轴平行,且f(1)=a,求a,b的值;
(2)若a=1, f(x)≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范围.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos x+xsin x-1.
(1)若x∈(0,π),求f(x)的极值;
(2)证明:当x∈[0,π]时,2sin x-xcos x≥x.
20.(本小题满分12分)如图,已知A、B两个城镇相距20千米,设M是AB的中点,在AB的中垂线上有一高铁站P,P、M的距离为10千米.为方便居民出行,在线段PM上任取一点O(点O不与P、M重合)建设交通枢纽,从高铁站铺设快速路到O处,再铺设快速路分别到A、B两个城镇.因地质条件等各种因素,其中快速路PO造价为1.5百万元/千米,快速路OA造价为1百万元/千米,快速路OB造价为2百万元/千米.设∠OAM=θ(rad),总造价为y(单位:百万元).
(1)求y关于θ的函数关系式,并指出函数的定义域;
(2)求总造价的最小值,并求出此时θ的值.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x-aln x(a>0).
(1)若a=1,求f(x)的极值;
(2)若存在x0∈[1,e],使得f(x0)+1+ax0<0成立,求实数a的取值范围.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=1-x2ex(e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的零点x0,以及曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程;
(2)设方程f(x)=m(m>0)有两个实数根x1,x2,求证:|x1-x2|<2-m1+12e.
答案全解全析
本章达标检测
一、单项选择题
1.B 因为f(x)=x2,所以f(x)在区间[-1,2]上的平均变化率为 f(2)-f(-1)2-(-1)=4-13=1.故选B.
2.B 由导数的运算法则,知x+1x'=1-1x2,(5x)'=5xln 5,(x2cos x)'=2xcos x-x2sin x,A、C、D均错误,故选B.
3.B 由题意知,该质点在时间段[1,2]内的平均速度v1=ΔsΔt=13×23+1-13×13+12-1=73,因为s'(t)=t2,所以s'(2)=4,即该质点在t=2时的瞬时速度v2=4,所以v1v2=712,故选B.
4.A 因为f(x)=ln x-x(x>0),所以f'(x)=1x-1=1-xx,当x>1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当00,函数f(x)单调递增,所以在x=1处取得极大值,
即函数f(x)=ln x-x的极大值点为1,故选A.
5.A 易知f(x)=x2-2cos x为偶函数,
∴f-13=f13,
∵f'(x)=2x+2sin x,当x∈(0,1)时, f'(x)>0,∴f(x)在(0,1)上为增函数,
∴f(0)< f13< f23,
∴f(0)< f-13< f23.故选A.
6.A ∵f(-x)=2(-x)2-ln|-x|=2x2-ln|x|=f(x),
∴函数f(x)是偶函数,
∴f(x)的图象关于y轴对称,故排除B.
当x→0时, f(x)→+∞,故排除D.
当x>0时, f(x)=2x2-ln x, f'(x)=4x-1x=(2x-1)(2x+1)x,当x=12时, f(x)取最小值,且f12=12-
ln 12>0,故排除C.
故选A.
7.D 因为h(x)=mex+ex,所以h'(x)=-mex+ex,又因为函数h(x)=mex+ex在区间[0,1]上不单调,所以h'(x)=-mex+ex在区间(0,1)上存在变号零点,所以h'(0)h'(1)<0,即(1-m)e-me<0,解得1
又当a>3时,a3>1,所以f(x)在(-∞,1]上为减函数.
因为k∈[-1,0],sin θ∈[-1,1],所以-2≤-k-sin θ-1≤1,-1≤k2-sin2θ≤1,
由不等式f(-k-sin θ-1)≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,得sin2θ-sin θ-1≤k2+k=k+122-14对任意的k∈[-1,0]恒成立,
所以sin2θ-sin θ-1≤-14恒成立,
解得-12≤sin θ≤32,即-12≤sin θ≤1,
结合选项知,θ的可能取值是5π6.
故选D.
易错警示
利用单调性解决相关问题时,要注意单调区间的判定,当自变量都在同一个单调区间内才能利用相应的单调性,解题时防止漏证导致解题错误.
二、多项选择题
9.ABC 选项A中,若y=sinπ3=32,则y'=0,故A正确;选项B中,若f(x)=3x2-f'(1)·x,则f'(x)=6x-f'(1),令x=1,则f'(1)=6-f'(1),解得 f'(1)=3,故B正确;选项C中,若y=-x+x,则y'=-12x+1,故C正确;选项D中,若y=sin x+cos x,则y'=cos x-sin x,故D错误.故选ABC.
10.ABD 由y=f'(x)的图象知,当-120,因此f(x)在-12,0上单调递减,在(0,4)上单调递增,故A、B正确;f(x)在x=1附近单调递增,在x=1处不取极大值,故C错误;由f(x)在-12,0上单调递减,在(0,4)上单调递增,得f(x)在x=0处取得极小值,故D正确.故选ABD.
11.BD f'(x)=mx-2ln x=m-2xlnxx(x>0),
若函数f(x)具有“凹凸趋向性”,则m=2xln x在(0,+∞)上有2个不同的实数根,
令g(x)=2xln x,则g'(x)=2(1+ln x),
令g'(x)>0,解得x>1e;令g'(x)<0,解得0
故g(x)的极小值是g1e=-2e,也是最小值,当x→0时,g(x)→0,故-2e
则g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos 2x,
因为f'(x)cos x+f(x)sin x<0,
所以g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos2x<0在0,π2上恒成立,
因此函数g(x)=f(x)cosx在0,π2上单调递减,因此gπ6>gπ4,即fπ6cos π6>fπ4cos π4,即fπ6>62fπ4,故A错误;
又f(0)=0,所以g(0)=f(0)cos0=0,所以g(x)=f(x)cosx≤0在0,π2上恒成立,
因为lnπ3∈0,π2,所以flnπ3<0,故B错误;
又gπ6>gπ3,所以fπ6cosπ6>fπ3cosπ3,即fπ6>3fπ3,故C正确;
又gπ4>gπ3,所以fπ4cosπ4>fπ3cos π3,即fπ4>2fπ3,故D正确.故选CD.
解题模板
通过构造函数,利用函数的单调性比较大小.构造函数时,利用含导函数的不等式分析其结构,结合求导法则构造函数.平时要积累构造函数的方法.
三、填空题
13.答案 -3m
解析 ∵f'(x0)=m,
∴原式=-3limΔx→0f(x0-3Δx)-f(x0)-3Δx
=-3f'(x0)=-3m.
14.答案 12,1
解析 因为f'(x)=1-sin x>0,所以f(x)为增函数,
因为f(t2)>f(2t-1),
所以t2>2t-1,即t≠1,
因为f(x)的定义域为(0,1),
所以0
解析 当m=0时,f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3,
令f'(x)>0,得x>1或x<-1;
令f'(x)<0,得-1
所以f(x)的极大值为f(-1)=(-1)3-3×(-1)=2.
关于x的方程f(x)=0在[0,2]上有根,令g(x)=-x3+3x,即m=g(x)在[0,2]上成立,
由于g'(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1),
当x∈(0,1)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当x∈(1,2)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,而g(0)=0,g(1)=2,g(2)=-2,
所以g(x)的值域为[-2,2],即实数m的取值范围是[-2,2].
16.答案 [3-2ln 2,+∞)
解析 因为x1≠x2,所以不妨设x1
所以x1+x2的取值范围是[3-2ln 2,+∞).
解后反思
分段函数问题要根据自变量的取值范围选择函数解析式,找到x1、x2的关系,进而构造函数,利用导数解决函数的值域,从而得到取值范围.
四、解答题
17.解析 选择①,由题意得f'(x)=ex+a,
则f'(0)=1+a=0,故a=-1, (2分)
故f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.
令f'(x)=ex-1=0,得x=0. (4分)
当x∈(-1,0)时,f '(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
所以f(x)的极小值为f(0)=0,也是最小值.(7分)
因为f(-1)=1e
选择②,由题意得f'(x)=ex+a,
所以f'(1)=e+a,由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+(e-1)y-1=0垂直,
得f '(1)=e-1,所以e+a=e-1,故a=-1, (2分)
则f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.
令f'(x)=ex-1=0,得x=0. (4分)
当x∈(-1,0)时,f '(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
所以f(x)的极小值为f(0)=0,也是最小值.(7分)
因为f(-1)=1e
选择③,由题意得f'(x)=ex+a.
所以f(-x)-f'(x)=e-x-ex-ax-1-a,(1分)
因为y=f(-x)-f'(x)为奇函数,
所以f(-x)-f'(x)=f'(-x)-f(x),可得a=-1. (3分)
则f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,
令f'(x)=ex-1=0,得x=0. (4分)
当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
所以f(x)的极小值为f(0)=0,也是最小值.(7分)
因为f(-1)=1e
18.解析 (1)由f(x)=(a-b)x2-x-xln x,
得f'(x)=2(a-b)x-ln x-2, (2分)
由f(1)=a-b-1=a,f'(1)=2(a-b)-2=0得a=0,b=-1. (4分)
(2)由题意得f(x)=(1-b)x2-x-xln x. (5分)
f(x)≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立等价于b≤1-1x-lnxx对任意x∈(0,+∞)恒成立, (6分)
令g(x)=1-1x-lnxx,则g'(x)=lnxx2. (8分)
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,
所以g(x)在(0,1)上单调递减, (9分)
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,
所以g(x)在(1,+∞)上单调递增, (10分)
所以g(x)min=g(1)=0,
所以b∈(-∞,0]. (12分)
19.解析 (1)∵f(x)=cos x+xsin x-1,
∴f'(x)=xcos x, (2分)
当x∈0,π2时, f'(x)>0;
当x∈π2,π时, f'(x)<0. (4分)
当x发生变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:
x
0,π2
π2
π2,π
f'(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
因此,当x=π2时, f(x)有极大值,并且极大值为fπ2=π2-1,没有极小值. (6分)
(2)证明:令g(x)=2sin x-xcos x-x,
则g'(x)=cos x+xsin x-1=f(x),
由(1)知f(x)在0,π2上单调递增,在π2,π上单调递减. (8分)
又f(0)=0, fπ2=π2-1>0, f(π)=-2<0,
所以f(x)在(0,π)上存在唯一零点,设为x0,则g'(x0)=f(x0)=0. (9分)
当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,π)时,g'(x)<0,
所以g(x)在区间(0,x0)上单调递增,在区间(x0,π)上单调递减,
又g(0)=0,g(π)=0,
所以当x∈[0,π]时,g(x)≥0, (11分)
故2sin x-xcos x≥x. (12分)
20.解析 (1)∵∠OAM=θ,PM⊥AB,M为AB的中点,
∴OA=OB=10cosθ,OM=10tan θ,OP=10-10tan θ, (2分)
∴y=10cosθ×1+10cosθ×2+(10-10tan θ)×1.5=30cosθ-15tan θ+15
=152cosθ-tanθ+150<θ<π4. (5分)
(2)设f(θ)=2cosθ-tan θ
=2-sinθcosθ0<θ<π4,
则f'(θ)=-cos2θ+sinθ(2-sinθ)cos2θ
=2sinθ-1cos2θ. (7分)
令f'(θ)=0,得sin θ=12,
又0<θ<π4,∴θ=π6. (8分)
当0<θ<π6时,sin θ<12, f'(θ)<0, f(θ)单调递减; (9分)
当π6<θ<π4时,sin θ>12, f'(θ)>0, f(θ)单调递增. (10分)
∴f(θ)的最小值为fπ6=3,此时总造价最小. (11分)
∴当θ=π6时,总造价最小,最小值为(153+15)百万元. (12分)
21.解析 (1)a=1时,f(x)=x-ln x,函数f(x)的定义域是(0,+∞), (1分)
f'(x)=1-1x=x-1x, (2分)
令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0
(2)存在x0∈[1,e],使得f(x0)+1+ax0<0成立,等价于f(x0)+1+ax0min<0(x0∈[1,e])成立, (6分)
设h(x)=x-aln x+1+ax,
则h'(x)=(x+1)(x-1-a)x2,
令h'(x)=0,解得x=-1(舍)或x=1+a. (8分)
①当1+a≥e时,h(x)在[1,e]上递减,
∴h(x)的最小值为h(e)=e-a+1+ae,
令h(x)min<0,即e-a+1+ae<0,解得a>e2+1e-1; (10分)
②当1+a
综上,a>e2+1e-1. (12分)
22.解析 (1)由f(x)=1-x2ex=0,得x=±1,
∴函数f(x)的零点x0=±1. (2分)
易得f'(x)=x2-2x-1ex, f'(-1)=2e, f(-1)=0,
∴曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为y=2e(x+1).
f'(1)=-2e, f(1)=0,
∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-2e(x-1). (5分)
(2)证明:由(1)知f'(x)=x2-2x-1ex.
令f'(x)=0,得x=1±2.
当x∈(-∞,1-2)∪(1+2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(1-2,1+2)时, f'(x)<0.
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1-2),(1+2,+∞),单调递减区间为(1-2,1+2).
由(1)知,当x<-1或x>1时, f(x)<0;
当-10. (7分)
下面证明:当x∈(-1,1)时,2e(x+1)>f(x).
当x∈(-1,1)时,
2e(x+1)>f(x)⇔2e(x+1)+x2-1ex>0⇔ex+1+x-12>0.
设g(x)=ex+1+x-12,易知g(x)在x∈(-1,1)上单调递增,
∴g(x)>g(-1)=0对任意x∈(-1,1)恒成立,
∴当x∈(-1,1)时,2e(x+1)>f(x). (9分)
由y=2e(x+1),y=m得x=m2e-1.记x'1=m2e-1.
不妨设x1
要证|x1-x2|<2-m1+12e,只需证x2-m2e-1≤2-m1+12e,即证x2≤1-m.
又∵m=1-x22ex2,∴只需证x2≤1-1-x22ex2,
即(x2-1)·[ex2-(x2+1)]≤0.
∵x2∈(1-2,1),
∴x2-1<0,∴只需证ex2-(x2+1)≥0.
令φ(x)=ex-(x+1),则φ'(x)=ex-1.
当x∈(1-2,0)时,φ'(x)<0,φ(x)为单调递减函数;
当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)为单调递增函数.
∴φ(x)≥φ(0)=0,∴ex2-(x2+1)≥0,
∴|x1-x2|<2-m1+12e. (12分)
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=x2在区间[-1,2]上的平均变化率为( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
2.下列求导运算正确的是 ( )
A.x+1x'=1+1x2 B.(log2x)'=1xln2
C.(5x)'=5xlog5x D.(x2cos x)'=-2xsin x
3.一质点做直线运动,若它所经过的路程与时间的关系为s(t)=13t3+1,设其在时间段[1,2]内的平均速度为v1,在t=2时的瞬时速度为v2,则v1v2= ( )
A.13 B.712 C.56 D.23
4.函数f(x)=ln x-x的极大值点为 ( )
A.1 B.-1 C.e D.1-e
5.已知函数f(x)=x2-2cos x,则f(0), f -13, f 23的大小关系是 ( )
A. f(0)< f -13< f 23
B. f -13< f(0)< f 23
C. f 23< f -13< f(0)
D. f(0)
7.已知函数h(x)=mex+ex在区间[0,1]上不单调,则实数m的取值范围为 ( )
A.[1,e] B.(1,e) C.[1,e2] D.(1,e2)
8.设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),当a>3时,不等式f(-k-sin θ-1)≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,则θ的可能取值是 ( )
A.- π3 B.4π3 C.- π2 D.5π6
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列结论中正确的有 ( )
A.若y=sin π3,则y'=0
B.若f(x)=3x2-f'(1)x,则f'(1)=3
C.若y=-x+x,则y'=-12x+1
D.若y=sin x+cos x,则y'=cos x+sin x
10.定义在区间-12,4上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)在区间(0,4)上单调递增
B.函数f(x)在区间-12,0上单调递减
C.函数f(x)在x=1处取得极大值
D.函数f(x)在x=0处取得极小值
11.若实数m的取值使函数f(x)在定义域上有两个极值点,则称函数f(x)具有“凹凸趋向性”.已知f'(x)是函数f(x)的导数,且f'(x)=mx-2ln x,当函数f(x)具有“凹凸趋向性”时,m的取值范围的子集有 ( )
A.-2e,+∞ B.-2e,0
C.-∞,-2e D.-2e,-1e
12.已知定义在0,π2上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(0)=0, f'(x)cos x+f(x)sin x<0,则下列判断正确的是 ( )
A. f π6<62f π4 B. f lnπ3>0
C. f π6>3f π3 D. f π4>2f π3
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知f'(x0)=m,则limΔx→0f(x0-3Δx)-f(x0)Δx= .
14.设函数f(x)=x+cos x,x∈(0,1),则满足不等式f(t2)>f(2t-1)的实数t的取值范围是 .
15.若f(x)=x3-3x+m,当m=0时,f(x)的极大值为 ;关于x的方程f(x)=0在[0,2]上有根,则实数m的取值范围是 .(第一个空2分,第二个空3分)
16.已知函数f(x)=1+lnx,x≥1,x+12,x<1,若存在x1≠x2,使得f(x1)+f(x2)=2,则x1+x2的取值范围是 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在①f(x)的一个极值点为0;②曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+(e-1)y-1=0垂直;③y=f(-x)-f'(x)为奇函数这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并回答下列问题.
已知函数f(x)=ex+ax-1,且 ,求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.
注:选择多个条件分别解答时,按第一个解答计分.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(a-b)x2-x-xln x.
(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与x轴平行,且f(1)=a,求a,b的值;
(2)若a=1, f(x)≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范围.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos x+xsin x-1.
(1)若x∈(0,π),求f(x)的极值;
(2)证明:当x∈[0,π]时,2sin x-xcos x≥x.
20.(本小题满分12分)如图,已知A、B两个城镇相距20千米,设M是AB的中点,在AB的中垂线上有一高铁站P,P、M的距离为10千米.为方便居民出行,在线段PM上任取一点O(点O不与P、M重合)建设交通枢纽,从高铁站铺设快速路到O处,再铺设快速路分别到A、B两个城镇.因地质条件等各种因素,其中快速路PO造价为1.5百万元/千米,快速路OA造价为1百万元/千米,快速路OB造价为2百万元/千米.设∠OAM=θ(rad),总造价为y(单位:百万元).
(1)求y关于θ的函数关系式,并指出函数的定义域;
(2)求总造价的最小值,并求出此时θ的值.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x-aln x(a>0).
(1)若a=1,求f(x)的极值;
(2)若存在x0∈[1,e],使得f(x0)+1+ax0<0成立,求实数a的取值范围.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=1-x2ex(e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的零点x0,以及曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程;
(2)设方程f(x)=m(m>0)有两个实数根x1,x2,求证:|x1-x2|<2-m1+12e.
答案全解全析
本章达标检测
一、单项选择题
1.B 因为f(x)=x2,所以f(x)在区间[-1,2]上的平均变化率为 f(2)-f(-1)2-(-1)=4-13=1.故选B.
2.B 由导数的运算法则,知x+1x'=1-1x2,(5x)'=5xln 5,(x2cos x)'=2xcos x-x2sin x,A、C、D均错误,故选B.
3.B 由题意知,该质点在时间段[1,2]内的平均速度v1=ΔsΔt=13×23+1-13×13+12-1=73,因为s'(t)=t2,所以s'(2)=4,即该质点在t=2时的瞬时速度v2=4,所以v1v2=712,故选B.
4.A 因为f(x)=ln x-x(x>0),所以f'(x)=1x-1=1-xx,当x>1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当0
即函数f(x)=ln x-x的极大值点为1,故选A.
5.A 易知f(x)=x2-2cos x为偶函数,
∴f-13=f13,
∵f'(x)=2x+2sin x,当x∈(0,1)时, f'(x)>0,∴f(x)在(0,1)上为增函数,
∴f(0)< f13< f23,
∴f(0)< f-13< f23.故选A.
6.A ∵f(-x)=2(-x)2-ln|-x|=2x2-ln|x|=f(x),
∴函数f(x)是偶函数,
∴f(x)的图象关于y轴对称,故排除B.
当x→0时, f(x)→+∞,故排除D.
当x>0时, f(x)=2x2-ln x, f'(x)=4x-1x=(2x-1)(2x+1)x,当x=12时, f(x)取最小值,且f12=12-
ln 12>0,故排除C.
故选A.
7.D 因为h(x)=mex+ex,所以h'(x)=-mex+ex,又因为函数h(x)=mex+ex在区间[0,1]上不单调,所以h'(x)=-mex+ex在区间(0,1)上存在变号零点,所以h'(0)h'(1)<0,即(1-m)e-me<0,解得1
又当a>3时,a3>1,所以f(x)在(-∞,1]上为减函数.
因为k∈[-1,0],sin θ∈[-1,1],所以-2≤-k-sin θ-1≤1,-1≤k2-sin2θ≤1,
由不等式f(-k-sin θ-1)≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,得sin2θ-sin θ-1≤k2+k=k+122-14对任意的k∈[-1,0]恒成立,
所以sin2θ-sin θ-1≤-14恒成立,
解得-12≤sin θ≤32,即-12≤sin θ≤1,
结合选项知,θ的可能取值是5π6.
故选D.
易错警示
利用单调性解决相关问题时,要注意单调区间的判定,当自变量都在同一个单调区间内才能利用相应的单调性,解题时防止漏证导致解题错误.
二、多项选择题
9.ABC 选项A中,若y=sinπ3=32,则y'=0,故A正确;选项B中,若f(x)=3x2-f'(1)·x,则f'(x)=6x-f'(1),令x=1,则f'(1)=6-f'(1),解得 f'(1)=3,故B正确;选项C中,若y=-x+x,则y'=-12x+1,故C正确;选项D中,若y=sin x+cos x,则y'=cos x-sin x,故D错误.故选ABC.
10.ABD 由y=f'(x)的图象知,当-12
11.BD f'(x)=mx-2ln x=m-2xlnxx(x>0),
若函数f(x)具有“凹凸趋向性”,则m=2xln x在(0,+∞)上有2个不同的实数根,
令g(x)=2xln x,则g'(x)=2(1+ln x),
令g'(x)>0,解得x>1e;令g'(x)<0,解得0
故g(x)的极小值是g1e=-2e,也是最小值,当x→0时,g(x)→0,故-2e
则g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos 2x,
因为f'(x)cos x+f(x)sin x<0,
所以g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos2x<0在0,π2上恒成立,
因此函数g(x)=f(x)cosx在0,π2上单调递减,因此gπ6>gπ4,即fπ6cos π6>fπ4cos π4,即fπ6>62fπ4,故A错误;
又f(0)=0,所以g(0)=f(0)cos0=0,所以g(x)=f(x)cosx≤0在0,π2上恒成立,
因为lnπ3∈0,π2,所以flnπ3<0,故B错误;
又gπ6>gπ3,所以fπ6cosπ6>fπ3cosπ3,即fπ6>3fπ3,故C正确;
又gπ4>gπ3,所以fπ4cosπ4>fπ3cos π3,即fπ4>2fπ3,故D正确.故选CD.
解题模板
通过构造函数,利用函数的单调性比较大小.构造函数时,利用含导函数的不等式分析其结构,结合求导法则构造函数.平时要积累构造函数的方法.
三、填空题
13.答案 -3m
解析 ∵f'(x0)=m,
∴原式=-3limΔx→0f(x0-3Δx)-f(x0)-3Δx
=-3f'(x0)=-3m.
14.答案 12,1
解析 因为f'(x)=1-sin x>0,所以f(x)为增函数,
因为f(t2)>f(2t-1),
所以t2>2t-1,即t≠1,
因为f(x)的定义域为(0,1),
所以0
解析 当m=0时,f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3,
令f'(x)>0,得x>1或x<-1;
令f'(x)<0,得-1
所以f(x)的极大值为f(-1)=(-1)3-3×(-1)=2.
关于x的方程f(x)=0在[0,2]上有根,令g(x)=-x3+3x,即m=g(x)在[0,2]上成立,
由于g'(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1),
当x∈(0,1)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当x∈(1,2)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,而g(0)=0,g(1)=2,g(2)=-2,
所以g(x)的值域为[-2,2],即实数m的取值范围是[-2,2].
16.答案 [3-2ln 2,+∞)
解析 因为x1≠x2,所以不妨设x1
所以x1+x2的取值范围是[3-2ln 2,+∞).
解后反思
分段函数问题要根据自变量的取值范围选择函数解析式,找到x1、x2的关系,进而构造函数,利用导数解决函数的值域,从而得到取值范围.
四、解答题
17.解析 选择①,由题意得f'(x)=ex+a,
则f'(0)=1+a=0,故a=-1, (2分)
故f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.
令f'(x)=ex-1=0,得x=0. (4分)
当x∈(-1,0)时,f '(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
所以f(x)的极小值为f(0)=0,也是最小值.(7分)
因为f(-1)=1e
选择②,由题意得f'(x)=ex+a,
所以f'(1)=e+a,由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+(e-1)y-1=0垂直,
得f '(1)=e-1,所以e+a=e-1,故a=-1, (2分)
则f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.
令f'(x)=ex-1=0,得x=0. (4分)
当x∈(-1,0)时,f '(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
所以f(x)的极小值为f(0)=0,也是最小值.(7分)
因为f(-1)=1e
选择③,由题意得f'(x)=ex+a.
所以f(-x)-f'(x)=e-x-ex-ax-1-a,(1分)
因为y=f(-x)-f'(x)为奇函数,
所以f(-x)-f'(x)=f'(-x)-f(x),可得a=-1. (3分)
则f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,
令f'(x)=ex-1=0,得x=0. (4分)
当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
所以f(x)的极小值为f(0)=0,也是最小值.(7分)
因为f(-1)=1e
18.解析 (1)由f(x)=(a-b)x2-x-xln x,
得f'(x)=2(a-b)x-ln x-2, (2分)
由f(1)=a-b-1=a,f'(1)=2(a-b)-2=0得a=0,b=-1. (4分)
(2)由题意得f(x)=(1-b)x2-x-xln x. (5分)
f(x)≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立等价于b≤1-1x-lnxx对任意x∈(0,+∞)恒成立, (6分)
令g(x)=1-1x-lnxx,则g'(x)=lnxx2. (8分)
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,
所以g(x)在(0,1)上单调递减, (9分)
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,
所以g(x)在(1,+∞)上单调递增, (10分)
所以g(x)min=g(1)=0,
所以b∈(-∞,0]. (12分)
19.解析 (1)∵f(x)=cos x+xsin x-1,
∴f'(x)=xcos x, (2分)
当x∈0,π2时, f'(x)>0;
当x∈π2,π时, f'(x)<0. (4分)
当x发生变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:
x
0,π2
π2
π2,π
f'(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
因此,当x=π2时, f(x)有极大值,并且极大值为fπ2=π2-1,没有极小值. (6分)
(2)证明:令g(x)=2sin x-xcos x-x,
则g'(x)=cos x+xsin x-1=f(x),
由(1)知f(x)在0,π2上单调递增,在π2,π上单调递减. (8分)
又f(0)=0, fπ2=π2-1>0, f(π)=-2<0,
所以f(x)在(0,π)上存在唯一零点,设为x0,则g'(x0)=f(x0)=0. (9分)
当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,π)时,g'(x)<0,
所以g(x)在区间(0,x0)上单调递增,在区间(x0,π)上单调递减,
又g(0)=0,g(π)=0,
所以当x∈[0,π]时,g(x)≥0, (11分)
故2sin x-xcos x≥x. (12分)
20.解析 (1)∵∠OAM=θ,PM⊥AB,M为AB的中点,
∴OA=OB=10cosθ,OM=10tan θ,OP=10-10tan θ, (2分)
∴y=10cosθ×1+10cosθ×2+(10-10tan θ)×1.5=30cosθ-15tan θ+15
=152cosθ-tanθ+150<θ<π4. (5分)
(2)设f(θ)=2cosθ-tan θ
=2-sinθcosθ0<θ<π4,
则f'(θ)=-cos2θ+sinθ(2-sinθ)cos2θ
=2sinθ-1cos2θ. (7分)
令f'(θ)=0,得sin θ=12,
又0<θ<π4,∴θ=π6. (8分)
当0<θ<π6时,sin θ<12, f'(θ)<0, f(θ)单调递减; (9分)
当π6<θ<π4时,sin θ>12, f'(θ)>0, f(θ)单调递增. (10分)
∴f(θ)的最小值为fπ6=3,此时总造价最小. (11分)
∴当θ=π6时,总造价最小,最小值为(153+15)百万元. (12分)
21.解析 (1)a=1时,f(x)=x-ln x,函数f(x)的定义域是(0,+∞), (1分)
f'(x)=1-1x=x-1x, (2分)
令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0
(2)存在x0∈[1,e],使得f(x0)+1+ax0<0成立,等价于f(x0)+1+ax0min<0(x0∈[1,e])成立, (6分)
设h(x)=x-aln x+1+ax,
则h'(x)=(x+1)(x-1-a)x2,
令h'(x)=0,解得x=-1(舍)或x=1+a. (8分)
①当1+a≥e时,h(x)在[1,e]上递减,
∴h(x)的最小值为h(e)=e-a+1+ae,
令h(x)min<0,即e-a+1+ae<0,解得a>e2+1e-1; (10分)
②当1+a
综上,a>e2+1e-1. (12分)
22.解析 (1)由f(x)=1-x2ex=0,得x=±1,
∴函数f(x)的零点x0=±1. (2分)
易得f'(x)=x2-2x-1ex, f'(-1)=2e, f(-1)=0,
∴曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为y=2e(x+1).
f'(1)=-2e, f(1)=0,
∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-2e(x-1). (5分)
(2)证明:由(1)知f'(x)=x2-2x-1ex.
令f'(x)=0,得x=1±2.
当x∈(-∞,1-2)∪(1+2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(1-2,1+2)时, f'(x)<0.
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1-2),(1+2,+∞),单调递减区间为(1-2,1+2).
由(1)知,当x<-1或x>1时, f(x)<0;
当-1
下面证明:当x∈(-1,1)时,2e(x+1)>f(x).
当x∈(-1,1)时,
2e(x+1)>f(x)⇔2e(x+1)+x2-1ex>0⇔ex+1+x-12>0.
设g(x)=ex+1+x-12,易知g(x)在x∈(-1,1)上单调递增,
∴g(x)>g(-1)=0对任意x∈(-1,1)恒成立,
∴当x∈(-1,1)时,2e(x+1)>f(x). (9分)
由y=2e(x+1),y=m得x=m2e-1.记x'1=m2e-1.
不妨设x1
要证|x1-x2|<2-m1+12e,只需证x2-m2e-1≤2-m1+12e,即证x2≤1-m.
又∵m=1-x22ex2,∴只需证x2≤1-1-x22ex2,
即(x2-1)·[ex2-(x2+1)]≤0.
∵x2∈(1-2,1),
∴x2-1<0,∴只需证ex2-(x2+1)≥0.
令φ(x)=ex-(x+1),则φ'(x)=ex-1.
当x∈(1-2,0)时,φ'(x)<0,φ(x)为单调递减函数;
当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)为单调递增函数.
∴φ(x)≥φ(0)=0,∴ex2-(x2+1)≥0,
∴|x1-x2|<2-m1+12e. (12分)
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