【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第一册：第27讲 导数与不等式证明问题 讲义

第27讲导数与不等式证明问题

◆考点01 直接化简求导

【典例1】已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（1）求、的值；

（2）证明：当，且时，．

【解析】（1）． 由于直线的斜率为，且过点，所以，即，解得，．

【证明】（2）由（1）知，所以

．构造函数（），则，于是在上递减．

当时，递减，所以，于是；当时，递减，所以，于是．

综上所述，当，且时，．

【典例2】已知函数．

⑴若，求的取值范围；（分参数）

⑵证明：．

【解析】⑴，，

题设等价于，

令，则．

当时，；当时，，是的最大值点，

．

综上，的取值范围是．

⑵由⑴知，，即；

当时，；

当时，

所以．

【答案】⑴的取值范围是．⑵略．

【典例3】设为实数，函数，．

⑴求的单调区间与极值；

⑵求证：当且时，．

【解析】⑴由，知，

令得．于是当变化时，的变化情况如下表：

故的单调递减区间是，单调递增区间是，在处取得极小值，

极小值为

⑵设，，于是，

由⑴知当时，最小值为．

于是对任意，都有，所以在内单调递增，

于是当时，对任意，都有，

而，从而对任意，．

即，故．

【答案】⑴的单调递减区间是，单调递增区间是，在处取得极小值；

⑵略．

◆考点02 直接求导隐零点 

【典例4】已知函数（、）．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若，，求证：．

【解析】（1）当，，．

由可得，由可得，所以的递增区间为，递减区间为．

【证明】（2）若，，．令，则，．设，则，所以在上递增，所以，所以，所以在上递增．又因为，，所以恰有一个零点，即，且当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以．

设，，则，所以在上递增，所以．命题获证．

【典例5】知函数（其中）．

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）若（是自然对数的底数），求证：．

【解析】（1），依题意，有，解得或，所以．

（2）法1：令，则，因为，所以，即在上递增．因为，，所以在上有唯一零点．当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取到最小值．因为，所以，所以

，因为，所以，所以当时，．

法2：当时，．

当时，．令，则，由可得或，由可得或，所以在上递增，在上递减，在上递减，在上递增．因为，，所以当时，，所以，当时，，所以．

◆考点03 分开成两个函数

【典例6】设函数，曲线在点处的切线为.

（1）求、；

（2）证明：

【解析】（1）因为，，而，所以，解得，．

【证明】（2）法1：（寻找公切曲线隔离）由（1）知，，于是．

由于混合了指数函数、对数函数和幂函数，比较复杂，所以可以考虑将指数函数、对数函数进行分离，改造为．

令，则，

由可得，由可得，

所以在上递减，在上递增．而

递减，所以两个函数的凸性相同（都是下

凸函数）．此时，我们可以寻找与两个曲线都相切的曲线，将两个函数进行隔离，从而实现证明．

，令，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以，于是．

，令，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以，于是．

由于等号不能同时成立，所以．

法2：（寻找公切线隔离）由（1）知，，于是，将不等式改造为．

令，则．由可得，由可得，所以在上递减，在

上递增，所以．令，

则．由可得，由

可得，所以在上递增，在

上递减，所以．

两个函数的凸性相反．此时，我们可以寻找与两个曲线都相切的公切线，将两个函数进行隔离，又因为等号不能同时成立，所以．

◆考点04 利用参数放缩

【典例7】已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求证：当时，

【解析】（1），因为在曲线上，且，所以切线方程为，即．

【证明】（2）法1：．

当时，，令，则，，于是在上递增．又因为，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以．

法2：．

当时，，由常见不等式（），可得，所以．

法3：令，则

，由可得，由可得或，所以在上递减，在上递增，在上递减．

的极小值为，由洛必达法则，可得，所以，即．

法4：．

令，则，，所以在上递增，又因为，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以．

法5：．当时，不等式成立，当时，．

，由可得或，由可得或，所以在上递增，在上递减，在上递增，在上递减．

因为，，所以，而，所以，即．

法6：．

令，则是以为对称

轴，开口方向向上的抛物线．令，则递

减．由于两个函数的凸性相反，因此我们可以通过寻找两

个曲线的公切线将两个函数进行隔离，但由于公切线不容

易寻找，又因为两个函数处于相离的状态，因此我们可以

选择在上找切线，通过该切线将两个函数隔离，从而实现证明．

由常见不等式可得，容易想到隔离切线，下面进行证明．

，而，命题获证．

【点评】对于含有参数的一个未知数的函数不等式，其证明方法与不含参数的一个未知数的函数不等式证明大体一致．法3是直接证明，法4是将不等式等价转化为，法5是通过分离参数进而证明，3种方法本质都是一平一曲状态．法6将不等式转化为，由于两个函数的凸性相反，因此我们可以寻找切线实现隔离放缩．

对于含有参数的一个未知数的函数不等式，我们还可以通过放缩，消去参数，转化为研究一个特例函数的问题，从而使题目的难度大大降低．

【典例8】（2022春·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考阶段练习）设函数，且对任意恒成立.

(1)求的值；

(2)求函数在上的最值；

(3)设实数且，证明：.

【答案】(1)1；

(2)函数在上的最大值为4，最小值为-16；

(3)证明见解析.

【分析】（1）令代入，即可求解；（2）求出导函数，研究单调性求出最值；（3）先证明出，分别把，代入，相加后整理即可证明.

【详解】（1）因为函数，且对任意恒成立

所以当时，有，即,解得：.

（2）因为,故,.

令，解得：；令，解得：或；

所以函数在上单增，在上单减.

因为，，，

所以函数在上的最大值为4，最小值为-16.

（3）由（1）知,故.

由（2）知，当时，.

所以.

当实数且，有.

所以，，，

相加得：.

即证.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；

（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；

（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；

（4）利用导数证明不等式．

◆考点05 利用不等式放缩

【典例9】已知函数，其中，为常数．

⑴当时，求函数的极值；

⑵当时，证明：对任意的正整数，当时，有．

【解析】       ⑴的定义域为，

当时，，

①时，由得，，易知．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

此时在处取得极小值．

②时，恒成立，无极值点．

综上，时，若，在处取得极小值；若，无极值．

⑵，

为偶数时，令，则．

易知当时，，在上递增，；

为奇数时，注意到，所以要证，只需证．

令，则，在单调递增，．

综上可知，对任意的正整数，当时，有．

【答案】⑴若，在处取得极小值；若，无极值．⑵略．

◆考点06 同构法

【典例10】已知函数．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）求证：．

【解析】（1），所以，又，所以在处的切线方程为，即．

【证明】（2）法1：，构造函数，则，，．因为在上递增，且，所以当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，于是在上递增，又因为，所以当时，，递减，当时，，递增，所以，命题获证．

法2：，构造函数，则．令，则，由可得，由可得，于是在上递减，在上递增，于是．于是当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，于是，命题获证．

【点评】对于不等式，从指对分离的角度来看，可构造出、、、…、等一系列式子，由于构造的不等式两端的函数凸性一致，且寻找隔离曲线的难度大，不容易证明．考虑到函数的形式不算太复杂，可通过多次求导证明其在轴的上方（有且仅有一个交点）．也可以如法2那样将函数进一步改造为，法2比法1简单的原因在于当中的比较“单纯”，求导一次就能消去．

【典例11】已知函数.

（1）求函数的最大值；

（2）若关于的方程有两个不等实数根，证明：.

【答案】（1）2；（2）证明见解析.

【分析】

（1）先求函数的导数，判断含的单调性，再求函数的最大值；（2）首先方程变形为，再构造函数，判断函数的单调性，转化为有两个实数根，，再利用分析法，转化不等式证明为，转化为证明，利用换元转化为证明.

【详解】

（1）解：因为，所以.

令，得；令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.

（2）

法2：证明：方程可化为.

设，显然在上是增函数，又，

所以有，即方程有两个实数根，.

由（1）可知，则有，所以的取值范围为.

因为方程有两个实数根，，所以，则，要证，即证.

，需证.

需证.不妨设，令，则，即要证.

设，则，所以在上是增函数，，即成立，故原式成立.

【点睛】

本题考查利用导数证明不等式双变量问题，属于难题.

难点一：方程实根个数转化为有两个实数根，，

难点二：通过变形，消去并得到关于要证不等式不等号右边和的关于的表达式，进而整理为由表达的形式，利用换元得到关于单变量的函数表达式.

题组  能力提升练

1.已知.

（1）判断函数是否存在极值，并说明理由；

（2）求证：当时，在恒成立.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）由题意求得，根据余弦函数的性质可知，得到，得出函数的单调性，即可求解；

（2）由题意转化为成立，令，求导数，令，利用导数结合（1）求得函数的额单调性和最值，即可求解.

【详解】

（1）由题意，函数，则，

可得，

根据余弦函数的性质可知，可得，

所以函数为单调递减函数，所以函数没有极值.

（2）

法二:由于，即，即，

要证原命题成立，只需证成立，

令，则，

令，

则，

由（1）可知，当时，，即，

当时，，

因此，当时，，

所以，

所以当时为增函数，所以，即，

所以当时为减函数，

所以，原命题得证.

【点睛】

对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.

2.已知，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）已知函数存在极值点、，求证：.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）求得，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（2）由题意得出，，，，将所证不等式转化为证明，即，令，构造函数，证明出对任意的恒成立即可.

【详解】

（1）当时，函数的定义域为，且.

对于方程，.

①当时，即时，令，，，

由可得；

由可得或.

所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

②当时，即时，，所以函数在上单调递增.

（2）由（1）可得，且、是的两根.

由韦达定理可得，.

设，则在处取到极大值，在处取到极小值，所以.

因为，，所以命题等价于证明，

整理得，即.

令，构造函数，，

则，，

令，易知在上单调递增.

因为，，所以存在，使，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，所以成立，

所以.

【点睛】

方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

3.（2022春·贵州毕节·高三校联考阶段练习）已知函数

(1)若，证明：存在唯一极值点．

(2)若，证明：，

【答案】(1)见解析；(2)见解析；

【分析】(1)只需证明在上只有一个解，且在此解的两侧异号即可；

(2)等价于证明在上恒成立，令，则等价于证明在上恒成立，结合对数函数的性质可得即证明在上恒成立，利用证明导数证明在上恒成立即可.

【详解】（1）证明：因为，

所以，

易知在上单调递减，

又因为，，

所以存在唯一个，使得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以存在唯一极值点；

（2）证明：要证明在上恒成立，

即要证明在上恒成立，

也即证明在上恒成立，

令，

即证明在上恒成立，

又因为在上单调递增，

所以，

所以原命题等价于证明在上恒成立，

又因为，

令，

则，

因为，

所以，，

当时，，

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以；

当时，，在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以；

当时，，在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以；

综上所述：在上恒成立，

所以原命题得证.

【点睛】方法点睛：对于利用导数解决恒立问题的常用方法：一是直接利用导数求函数的最值；二是分离参数，转化为参数与分离后的函数之间的关系；三是转化为两个初等函数之间的最值关系.

4.（2022春·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练习）已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，讨论函数的单调性；

(3)当时，证明：.

【答案】(1)

(2)在上单调递增，在上单调递减.

(3)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式求出切线方程；

（2）求导后根据导数的符号可得函数的单调性；

（3）根据（2）中函数的单调性求出函数的最大值，再利用导数证明函数的最大值小于0即可得证.

【详解】（1）当时，，，

，，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）因为，，

所以 ，

因为，所以当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

（3）当时，由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，

所以 ，，

令，，

则 ，则在上单调递减，

所以 ，

所以，所以.

【点睛】（1）中，利用导数的几何意义求出切线的斜率是解题关键；

（2）中，利用导数的符号判断函数的单调性是解题关键；

（3）中，转化为证明函数的最大值小于0是解题关键.

5.（2022·陕西汉中·统考一模）已知函数为常数.

(1)若，求的最小值；

(2)在（1）的条件下，证明：.

【答案】(1)(2)证明见解析

【分析】（1）由可求出，然后利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值；

（2）将问题转化为证成立，令，则只需证明，构造函数，利用导数求出其最小值大于等于零即可.

【详解】（1）由题得，则，所以，

所以

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.

（2）证明：由（1）知：，所以要证

即证，即证，

即证，

因为，所以即证，

令，则只需证明，

由（1）知，令，

则在递增，

所以当时，取得最小值0，

所以，即，

所以原不等式成立.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是将问题转化为，然后通过换元，构造函数，利用导数求其最值即可，考查数转化思想和计算能力，属于较难题.