【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第一册：第29讲 导数与零点个数问题 讲义

第29讲导数与零点个数问题

◆考点01 直接求导

【典例1】（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数.

(1)设，求在区间上的最值；

(2)讨论的零点个数.

【答案】(1)最大值为，最小值为

(2)在上有两个零点

【分析】(1)利用导数讨论单调性即可求最值；(2)讨论函数在在上的单调性，并用零点的存在性定理确定零点个数，再根据函数为偶函数即可求解.

【详解】（1）因为，

所以在区间上单调递减，

所以当时，取最大值；

当时，取最小值.

（2）先讨论在上的零点个数，

由（1）可知，在上递减，，

所以在上递减，因为，

所以在上有唯一零点，

又因为，

所以是偶函数，所以在上有两个零点.

【典例2】（2022春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数，.

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，求函数的最小值；

(3)当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.

【答案】(1)单调减区间为；单调增区间为．

(2)

(3)1个，理由见解析

【分析】（1）先对函数求导，令导函数大于0得到递增区间，令导函数小于0得到递减区间；

（2）根据（1）确定的函数单调性，讨论与，的关系，得到函数在，上的单调性，进而可得函数的最小值．

（3）由，得方程，显然为此方程的一个实数解．当时，方程可化简为．构造函数，利用导数得到的最小值即可求解.

【详解】（1）因为，所以，

令，得

当变化时，和的变化情况如下：

故的单调减区间为；单调增区间为．

（2）由（1）得的单调减区间为；单调增区间为．

所以当，即时，在，上单调递增，

故在，上的最小值为；

当，即时，

在上单调递减，在上单调递增，

故在，上的最小值为；

当，即时，在上单调递减，

故在，上的最小值为 ．

所以函数在，上的最小值为．

（3）结论：函数有且仅有一个零点．

理由如下：

由，得方程，

显然为此方程的一个实数解．所以是函数的一个零点．

当时，方程可化简为．

设函数，则，

令，得．

当变化时，和的变化情况如下：

即的单调增区间为；单调减区间为．

所以的最小值．

因为，所以，

所以对于任意，，因此方程无实数解．

所以当时，函数不存在零点．

综上，函数有且仅有一个零点．

◆考点02 直接求导隐零点 

【典例3】已知函数（其中，），.

（1）若存在实数使得恒成立，求的取值范围；

（2）当时，讨论函数的零点个数.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】

（1）由在上恒成立，得到，利用导数求得函数的单调性和最值，列出不等式，即可求解；

（2） （ⅰ）当时，结合和的取值，得出函数只有1个零点.（ⅱ）当时，令，求得，令，求得，分和两种情况，结合函数的单调性和最值，即可求解.

【详解】

（1）由题意，函数，（其中），

要使在上恒成立，可得，

又由，

令，解得，即函数在单调递增，

令，解得，即函数在单调递减，

所以，

要使得，可得，解得，

即实数的取值范围.

（2）由函数和.

（ⅰ）当时，

当时，可得，，所以恒大于零，函数没有零点；

当时，可得，，可得恒小于零，没有零点；

当时，令，可得，所以函数由一个零点，

综上可得，当时，在只有1个零点.

（ⅱ）当时，令，则，

可得，

令，可得，

因为，所以恒成立，在单调递增，

①由，即时，可得在上恒小于零，在上恒大于零，

即在上单调递减，在上单调递增，

所以，在只有个零点

②当时，，由于在单调递增，

所以在上恒小于零，在上单调递减，

因为，所以在上有唯一零点.

又因为，

所以存在，使得，

由于在单调递增，，，

所以在在单调递减，在单调递增，，

所以，

又因为，，，所以，

由，，知在上有唯一零点，

结合在单调递增，在上有唯一零点，

又，时，在上有个零点

综上所述，当或时，在只有个零点；

当时，在上有个零点.

【点睛】

函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

【典例4】已知函数．

（1）若曲线在点处的切线经过坐标原点，求实数；

（2）当时，判断函数在上的零点个数，并说明理由．

【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．

【分析】

（1）求出函数的导数，根据导数几何意义求斜率，由切线方程求a；

（2）原问题转化为的零点问题，求导，利用导数可得单调性，结合零点存在性即可求解.

【详解】

（1），

所以在点处的切线方程为，

所以，即；

（2）因为，

所以，

所以可转化为，

设，

则

当时，，

所以在区间上单调递增．

当时，设，

此时，

所以在时单调递增，

又，，

所以存在使得且时单调递减，

时单调递增．

综上，对于连续函数，在时，单调递减，

在时，单调递增．

又因为，

所以当，即时，函数有唯一零点在区间上，

当，即时，函数在区间上无零点，

综上可知，当时，函数在上有个零点；

当时，函数在上没有零点．

【点睛】

关键点点睛：由题意可转化为在区间上的零点个数问题，求导，利用导数可得函数单调性，在时，单调递减，在时，单调递增，分类讨论的正负即可．

◆考点03 分开成两个函数

【典例5】已知函数，（为常数，）.

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）判断方程是否存在实数解；如果存在，求出解的个数；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.

【分析】（1）利用参变量分离法得出，构造函数，其中，利用导数求出函数的最小值，由此可得出实数的取值范围；

（2）由（1）得出，当且仅当时，等号成立，设，利用放缩法得出，即可得出结论.

【详解】（1）因为，由，即，可得，

设，则.

当时，，函数递减；

当时，，函数递增.

所以，所以.

因此，实数的取值范围是；

（2）方程不存在实数解.

由（1）可知，当时，，即，当且仅当时等号成立.

设，

则（当且仅当时等号成立），

又，当且仅当时等号成立.

所以对任意，恒成立，所以函数无零点，

即方程不存在实数解.

【点睛】

方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

◆考点04 分离参数

【典例6】已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】

（1）求导后，对a分类讨论即可求解；

（2）根据函数在上有两个零点可转化为在上有两个不相等的实数根，令，利用导数研究函数大致变化趋势求出a的范围.

【详解】

（1）函数的定义域为，

所以．

当时，由，得．则的减区间为；

由，得．则的增区间为．

当时，由，得．则的减区间为；

由，得，或．则的增区间为和．

当时，，则的增区间为．

当时，由，得．则的减区间为；

由，得，或．则的增区间为和．

（2）．

在上有两个零点，即关于方程在上有两个不相等的实数根．

令，，则．

令，，则，

显然在上恒成立，故在上单调递增．

因为，所以当时，有，即，所以单调递减；

当时，有，即，所以单调递增．

因为，，，

所以的取值范围是．

【点睛】

关键点点睛：问题转化为方程关于方程在上有两个不相等的实数根后，需要对的极值，单调性进行分析，继续利用导数研究是解题的关键.

【典例7】（2022春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数，．

(1)若，求的极值；

(2)若在区间内有零点，求实数a的取值范围．

【答案】(1)极小值为，无极大值(2)

【分析】（1）当时，对求导，得出的单调性，即可求出的极值；

（2）方法一：分类讨论，和，得出的单调性，利用单调性列出不等式即可求出实数a的取值范围；方法二：分离参数，构造新函数，研究的单调性，求出在的值域，进而求出实数a的取值范围.

【详解】（1）由函数，则，．

当时，令得，

当时，，

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的极小值为，无极大值．

（2）方法一：由，，

①当时，，即恒成立，

所以在上单调递减，

要使在内有零点，则，即，

所以．

②当时，令得，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

此时，所以需，

所以．

③当时，，即恒成立，

所以在上单调递增，

此时，所以恒成立，不符合条件．

综上可知，a的取值范围为．

方法二：令得，

设，，则，

令，得，

在上递增，在上递减，

且，，，

所以．

◆考点05 函数同构

【典例8】（2022春·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当a＝1时，若函数有两个零点，求实数t的取值范围．

【答案】(1)答案见解析(2)

【分析】（1）分，，讨论求解即可；

（2）由题意可知关于x的方程有两个不同的实根，进而，令，要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根．令，利用导数法研究的零点即可

【详解】（1）因为，

所以．

当时，恒成立，

所以在上单调递增；

当时，令，得，

由解得，由解得，

所以在上单调递减，在上单调递增；

当时，恒成立，

所以在上单调递减．

综上可知：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减．

（2）当时，，则，

所以关于x的方程有两个不同的实根，

即关于x的方程有两个不同的实根．

因为x＞0，

所以．

令，则，

所以在上单调递增．

要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根．

令，则．

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以．当t＜1时，，没有零点；

当t＝1时，，当且仅当x＝1时，等号成立，只有一个零点；

当t＞1时，，，．

令，则，即在上单调递增，

所以，即．

所以在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件．

综上，实数t的取值范围是．

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

题组  能力提升练

1.（2022春·新疆巴音郭楞·高三校考期中）已知函数.

(1)若曲线y=在点处的切线的斜率为0，求曲线y=在点处的切线方程；

(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【分析】（1）先利用求出，再求出和，即可得到切线方程；（2）利用导数研究单调性和极值，由函数有两个零点，列不等式即可求解.

【详解】（1）函数定义域为,.

因为曲线y=在点处的切线的斜率为0，所以，解得：，

所以.

而，所以曲线y=在点处的切线方程为：，即；

（2）i.当时，恒成立，所以在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意，舍去；

ii. 当时，令，解得：；令，解得：.

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.

当，；当，；

所以要使函数有两个零点，只需，解得：.

即

综上所述：实数的取值范围为.

【点睛】利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g（x）的方法，把问题转化为研究构造的函数g（x）的零点问题；

（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究，

2.（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知，函数.

(1)证明：在上有唯一的极值点;

(2)当时，求的零点个数.

【答案】(1)证明见详解析(2)在上有两个零点.

【分析】(1)对函数求两次导数，判断导函数的单调性，根据零点存在性定理，判断原函数的单调性性，进而得到证明；

(2)结合（1）的结论及极小值的定义可得：，进而得到在上有两个零点.

【详解】（1）由题意可知，，

当时，，从而，故在上单调递增.

又，

由零点存在性定理知，存在唯一，有

从而在上单调递减，在上单调递增，

故为在上的唯一极值点.

（2）当时，

当时，由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，

又注意到，，且，

由极小值定义知：，

从而存在，，有，

当时，，

故在上无零点.

综上，在上有两个零点.

【点睛】(1)可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．

(2)若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

3.（2022春·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）已知函数.（参考值：）

(1)证明：在上有唯一的极小值点；

(2)试研究零点的个数.

【答案】(1)证明见解析

(2)3个零点

【分析】（1）根据函数的零点定理和导数的正负即可确定极小值点；（2）分类讨论并结合二次求导、零点定理、不等式放缩等方法即可求解.

【详解】（1）当时，，

在上单调递增

又

存在唯一的使得

且当时，当时

在上有唯一的极小值点.

（2）

当时，，分3种情况讨论：

①当时，，

在上有唯一的零点；

②当时，恒成立，单调递增

，

在上有唯一的零点；

③当时，

令，则递增

在上无零点.

当时，，分种情况讨论：

（i）当时，，

在上无零点

（ii）当时，，

令，则，

令，则在上恒成立在上单调递减

而，

存在使得，且

当时，递增；当时，递减.

存在使得，且

当时，递增；当时，递减

当时，

注意到

所以在上恒成立

当时，单调递增

又

在上存在唯一的零点.

综上知，在定义域上共有3个零点，

4.（2022·四川自贡·统考一模）已知函数，，.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若函数有零点，求a的取值范围.

【答案】(1)的单调增区间为，单调减区间为；

(2)当时,有1个零点.

【分析】（1）将代入得，求导分别令导函数大于0，小于0，即可得到其单调区间；

（2），分，和讨论，尤其是当时，结合导函数与函数极值，最值的关系以及零点存在定理即可求出范围.

【详解】（1）当时,函数,

可得，

当吋,，

所以的单调增区间为的单调减区间为；

（2）函数，

，

当时由(1)知在上有1个零点，

当时,令,可得，

由可知存在唯一的使得,

所以当时,单调递增;

当时,单调递减,

因为，

若函数有零点，必有,即时,在上有1个零点.

当时，根据得到恒成立，

则在单调递增，且，故此时在上不存在零点，舍去，

综上可得,当时,有1个零点.

5.（2022春·安徽亳州·高三蒙城第一中学校考阶段练习）已知函数.

(1)若的最大值为，求；

(2)若存在，使得函数有3个零点，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出函数的导数，判断函数单调性，确定最值，即可求得答案；

（2）设，求出其导数，分类讨论a的取值范围，说明当时不合题意，当 时，构造函数，利用导数说明函数的单调性，数形结合，说明存在，使得函数有3个零点，进而求得参数范围.

【详解】（1）由题意 的定义域为 ，

当 时， ，在 上单调递增；

当 时， ，在 上单调递减，

故的最大值为 ，故，解得；

（2）设，则 ，

设 ，则，

若，则 ，方程至多有2个不相等的实数解，不符合题意．

若，则在上单调递减，

取时，，而，

故不妨设，则当 时，，递增，

当 时，，递减，

此时方程至多有2个不相等的实数解，不符合题意；

若 ，令 ，解得 ，

当 时，，递增 ，当时，，递减，

由，解得，

当时，因为 ，所以存在唯一实数 使得 ，

令，当时，，递增，

当时，，递减，故，

即 ，则 ，

所以存在唯一的 使得，

此时，当 时， ，， 在区间上单调递减，

当时， ，，在区间上单调递增，

当 时，，，在区间上单调递减，

且当 时， ，当时，，

由数形结合可知，此时的图象和直线可以有3个交点，

即当时，存在，使得有3个零点，

故a的取值范围是 ．

【点睛】本题考查了利用导数求解函数的最值问题以及根据函数的零点个数求解参数范围问题，综合性强，计算量大，解答时要明确导数与函数的单调性以及最值之间的关系，解答的关键在于根据函数零点个数求解参数范围时，要能综合利用导数的知识，构造函数，分类讨论，判断函数的单调性，数形结合，确定参数范围.