高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示精练

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一、周期函数的定义
1、周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．
3、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数）
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若，则（）；
二、函数的对称性
1、函数对称性的常用结论
（1）若，则函数图象关于对称；
（2）若，则函数图象关于对称；
（3）若，则函数图象关于对称；
（4）若，则函数图象关于对称；
2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系
（1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称，
当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；
（2）若函数满足，则其函数图象关于点对称，
当，时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；
三、函数对称性与周期性的关系
1、若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是；
2、若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是；
3、若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是.
四、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系
1、 = 1 \* GB3 ①函数是偶函数； = 2 \* GB3 ②函数图象关于直线对称； = 3 \* GB3 ③函数的周期为.
2、 = 1 \* GB3 ①函数是奇函数； = 2 \* GB3 ②函数图象关于点对称； = 3 \* GB3 ③函数的周期为.
3、 = 1 \* GB3 ①函数是奇函数； = 2 \* GB3 ②函数图象关于直线对称； = 3 \* GB3 ③函数的周期为.
4、 = 1 \* GB3 ①函数是偶函数； = 2 \* GB3 ②函数图象关于点对称； = 3 \* GB3 ③函数的周期为.
其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
五、类周期函数
1、类周期函数的定义
若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．
类周期函数图象倍增函数图象
2、倍增函数
若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．
注意当时，构成一系列平行的分段函数，．
题型一 判断证明函数的周期性
【例1】定义在上的函数满足，则下列函数中是周期函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知是定义域为的偶函数，且满足，则下面给出的等式中不恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知函数，求证：为周期函数.
题型二 利用函数的周期求函数值
【例2】已知函数是定义在上的周期函数，且周期为2，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】设是定义在R上且周期为2的函数，当时，其中．若，则________．
【变式2-2】已知函数，则__________．
【变式2-3】已知为上的奇函数，满足，且当时，，则（ ）
A．-4 B．-3 C．4 D．3
【变式2-4】若定义在上的偶函数满足，且当时，，则的值等于( )
A． B． C． D．
【变式2-5】若定义在实数集R上的偶函数满足，，对任意的恒成立，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2-6】已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．
【变式2-7】已知是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，若，则______.
【变式2-8】已知是R上的偶函数，对任意R， 都有，且，则的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．6
【变式2-9】的定义域为，且，，则（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
【变式2-10】已知是定义在上的函数，且，若，则____________
题型三 利用奇偶性与对称性求函数周期
【例3】已知是定义在R上的函数，为偶函数且为奇函数，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的周期为2 B．函数的周期为3
C． D．
【变式3-1】已知函数是偶函数，且函数的图像关于点对称，当时，，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【变式3-2】已知函数的图象关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．的周期为2 D．
【变式3-3】设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-4】已知是定义域为的奇函数，且为偶函数．若，则______．
题型四 综合利用函数性质比较大小
【例4】定义在上的函数满足：成立且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】定义在上的奇函数满足且在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
题型五 利用周期性求函数解析式
【例5】已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______.
【变式5-1】设是定义在R上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在上的解析式___________．
【变式5-2】设是定义在上周期为4的偶函数，且当时，，则函数在上的解析式为__________.
【变式5-3】设是定义在上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在[4，6]上的解析式是__________
题型六 类周期函数问题
【例6】定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【变式6-1】设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______．
【变式6-3】定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．