必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）同步达标检测题

函数专题：函数的周期性与对称性

一、周期函数的定义

1、周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．

2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．

3、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数）

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，则；

（4）若，则；

（5）若，则；

（6）若，则（）；

二、函数的对称性

1、函数对称性的常用结论

（1）若，则函数图象关于对称；

（2）若，则函数图象关于对称；

（3）若，则函数图象关于对称；

（4）若，则函数图象关于对称；

2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系

（1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称，

当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；

（2）若函数满足，则其函数图象关于点对称，

当，时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；

三、函数对称性与周期性的关系

1、若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是；

2、若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是；

3、若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是.

四、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系

1、①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为.

2、①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为.

3、①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为.

4、①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为.

其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

五、类周期函数

1、类周期函数的定义

若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．

类周期函数图象倍增函数图象

2、倍增函数

若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．

注意当时，构成一系列平行的分段函数，．

题型一 判断证明函数的周期性

【例1】定义在上的函数满足，则下列函数中是周期函数的是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】依题意，定义在上的函数满足，

所以，

所以是周期为的周期函数.故选：B.

【变式1-1】定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】依题意，定义在上的函数满足，

所以，

所以是周期为的周期函数.

故选：D

【变式1-2】已知是定义域为的偶函数，且满足，则下面给出的等式中不恒成立的是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】是R上的偶函数，

又，

即，所以2是的一个周期，

同时4，6也是的周期

所以选项ACD正确，选项B错误.

故选：B.

【变式1-3】已知函数，求证：为周期函数.

【答案】证明见解析

【解析】证明：由题得

.

所以是周期的周期函数.

题型二 利用函数的周期求函数值

【例2】已知函数是定义在上的周期函数，且周期为2，当时，，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】由题可知

所以

又当时，，所以

即.

故选：C.

【变式2-1】设是定义在R上且周期为2的函数，当时，其中．若，则________．

【答案】

【解析】∵是周期为2的函数

∴，

又∵，即，则

∴

故答案为：．

【变式2-2】已知函数，则__________．

【答案】2

【解析】因为，

所以当时，函数的周期为，

所以，

故答案为：2

【变式2-3】已知为上的奇函数，满足，且当时，，则（    ）

A．-4        B．-3        C．4        D．3

【答案】A

【解析】因为奇函数满足，

所以，即

所以函数的周期为，

所以.

故选：A.

【变式2-4】若定义在上的偶函数满足，且当时，，则的值等于(    )

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】∵函数是偶函数，

∴，

又∵，

，

，

，

∴函数的周期为4，

∴.

故选：D.

【变式2-5】若定义在实数集R上的偶函数满足，，对任意的恒成立，则（    ）

A．4        B．3        C．2        D．1

【答案】D

【解析】，则，

所以，即，

为周期函数，最小正周期为4，

则，

令得：，即，

又因为为偶函数，所以，

故，即，因为，所以.

故选：D

【变式2-6】已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（    ）

A．0        B．2        C．3        D．

【答案】A

【解析】当时，－，

所以

即当时，，

所以，

，

所以f(－2 015)＋f(2 017).

故选：A

【变式2-7】已知是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，若，则______.

【答案】2

【解析】由题得，

所以函数的最小正周期为.

因为是定义在上的奇函数，所以，

因为，所以，

，

所以，

,

所以.

故答案为：2

【变式2-8】已知是R上的偶函数，对任意R， 都有，且，则的值为（    ）

A．0        B．        C．2        D．6

【答案】C

【解析】令，则，所以，

则，

故，所以是周期为的周期函数，

所以.

故选：C

【变式2-9】的定义域为，且，，则（    ）

A．3        B．2        C．0        D．1

【答案】C

【解析】令，则，即，

所以，，

所以，

所以，

所以的周期为6，

令，则，得，

因为，

所以，

，

，

，

，

所以，

所以

故选：C

【变式2-10】已知是定义在上的函数，且，若，则____________

【答案】

【解析】，，

是以8为周期的函数，

故

故答案为：．

题型三 利用奇偶性与对称性求函数周期

【例3】已知是定义在R上的函数，为偶函数且为奇函数，则下列选项正确的是（    ）

A．函数的周期为2        B．函数的周期为3

C．                D．

【答案】C

【解析】因为为偶函数，所以，

所以，所以，

因为为奇函数，所以，

所以，

所以，所以，

所以，即函数的周期为，故A B不正确；

又，即，所以，

所以，故C正确；

的值不确定，故D不正确.

故选：C.

【变式3-1】已知函数是偶函数，且函数的图像关于点对称，当时，，则（    ）

A．        B．        C．0        D．2

【答案】A

【解析】根据题意，函数是偶函数，

则函数的对称轴为，则有，

又由函数的图像关于点成中心对称，

则，则有，则，

则有，则函数是周期为8的周期函数，

则

故选：A．

【变式3-2】已知函数的图象关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（    ）

A．      B．      C．的周期为2      D．

【答案】B

【解析】因为函数的图象关于直线对称，

所以，即.

用x代换上式中的2x，即可得到，

所以关于直线对称.

函数关于点对称，

所以，即

所以关于点对称.

对于，令x取x+1，可得：.

对于，令x取x+2，可得：.

所以，令x取-x，可得：，

所以，令x取x+2，可得：，

即的最小正周期为4.所以C、D错误；

对于B：对于，令x取x-3，可得：.

因为的最小正周期为4，所以，

所以，即.故B正确.

对于A：由，可得为对称轴，

所以不能确定是否成立.故A错误.

故选：B

【变式3-3】设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期为（    ）

A．1        B．2        C．3        D．4

【答案】D

【解析】左移个单位得到，与的奇偶性相同，

由于为奇函数，图象关于原点对称，

所以关于对称，即，

左移个单位得到，

由于为偶函数，图象关于轴对称，

所以关于直线对称，所以，

所以，

所以.

所以的周期为.故选：D

【变式3-4】已知是定义域为的奇函数，且为偶函数．若，则______．

【答案】1

【解析】 是定义域为的奇函数，且为偶函数，

则有 ，即，

∴，

 则函数 是周期为4的周期函数，又，

∴

.

故答案为：1.

题型四 综合利用函数性质比较大小

【例4】定义在上的函数满足：成立且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】由题意，，则

，可得函数周期

，，

由于在上单调递增

，即

故选：D

【变式4-1】已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则（    ）

A．        B．

C．        D．

【答案】A

【解析】因为函数的图象关于点对称，

故函数的图象关于原点对称，所以是R上的奇函数，

由可得，

所以的周期为2，

因为函数在上单调递增，

所以函数在上单调递增，

又，

所以.

故选：A.

【变式4-2】定义在上的奇函数满足且在上是增函数，则（    ）

A．        B．

C．        D．

【答案】B

【解析】，，

即函数的周期是8，

则，

，

，

为奇函数，且在上是增函数，

则在上是增函数，

，即.

故选：B.

【变式4-3】已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（    ）

A．        B．

C．        D．

【答案】D

【解析】由题意可知，故函数是周期函数，且周期为，

则，，，

因为奇函数在区间上是增函数，

则该函数在区间上也为增函数，

故函数在区间上为增函数，

所以，即.

故选：D.

题型五 利用周期性求函数解析式

【例5】已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______.

【答案】

【解析】因为当时，,是定义在上周期为的函数

所以，，

故答案为：

【变式5-1】设是定义在R上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在上的解析式___________．

【答案】

【解析】因为函数的周期为2，设是时函数图象上的任意一点，

则点在时函数的图象上，

而函数是R上的奇函数，则点在时的图象上，

所以，

即在上的解析式.

故答案为：.

【变式5-2】设是定义在上周期为4的偶函数，且当时，，则函数在上的解析式为__________.

【答案】，.

【解析】根据题意，设，则，则有，

当时，，

则，

又为周期为4的偶函数，

所以，，

则有，；

故答案为：，.

【变式5-3】设是定义在上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在[4，6]上的解析式是__________

【答案】

【解析】因为是定义在上以2为周期的奇函数且时，，

设，则，

所以，

设，则，,

故.

综上可得，函数在上的解析式是，

故答案为：

题型六 类周期函数问题

【例6】定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，，

又，因此当时，函数，

从而，选C.

【变式6-1】设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】因为时，，

由可知，即将的图象向右平移2个单位长度，

图象上各点对应的纵坐标变为原来的2倍，可得到时图象，

又由可知 ，

当时，将的图象向左平移2个单位长度，

图象上各点对应的纵坐标变为原来的倍，

如图所示：

当时，，

令，得或，

若时，成立，则，

所以实数的取值范围为,故选:D．

【变式6-2】设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______．

【答案】

【解析】因，则，

又当时，，

当时，，，

当时，由，解得或，

当时，，，

显然，当时，，如图，

对任意，都有，必有，

所以m的取值范围是.

故答案为：

【变式6-3】定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是(    )

A．      B．     C．     D．

【答案】C

【解析】因为，所以，

因为时，，

所以，

因为函数满足，

所以，

所以，，

又因为，恒成立，

故，

解不等式可得或.