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初中数学8.2 幂的乘方与积的乘方复习练习题
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这是一份初中数学8.2 幂的乘方与积的乘方复习练习题，文件包含专题06整式的乘法重难点题型专训解析版docx、专题06整式的乘法重难点题型专训原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。
题型一 整式乘法中的化简求值问题
题型二 整式乘法中不含某项求字母的值
题型三 整式乘法中的看错问题
题型四 整式乘法中的遮挡问题
题型五 整式乘法的应用问题
题型六 整式乘法中的规律探究性问题
题型七 整式乘法的新定义问题
题型八 整式乘法的混合运算
【经典例题一 整式乘法中的化简求值问题】
1、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
2、单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
3、多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
【例1】（2023秋·四川内江·八年级统考期末）已知，则当，的值为（ ）
A．25B．20C．15D．10
【变式训练】
【变式1】（2021春·江苏扬州·七年级统考期中）已知，则a＋b＋c＋d+1的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【变式2】（2021秋·全国·八年级专题练习）已知，，化简的结果是__________．
【变式3】（2022秋·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）知识再现：我们知道幂的运算法则有4条，分别是：①，②，③，④，反过来，这4条运算法则可以写成：①，②，③，④．
问题解决：已知，且满足等式，
(1)求代数式、的值；
(2)化简代数式，并求当，时该代数式的值．
【经典例题二 整式乘法中不含某项求字母的值】
【解题技巧】整式乘法中不含某一项，合并同类项后系数为0。解决这类题目，首先要掌握单项式与多项式，多项式与多项式的乘法。
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。
先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。
除此以外，还要注意区分未知数和参数，会合并同类项。同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变，实际上就是乘法分配律的逆向运用。
【例2】（2022秋·重庆江北·八年级校考期中）关于的三次三项式（其中，，，均为常数），关于的二次三项式（，均为非零常数），下列说法有几个正确（ ）
①当的结果为关于的三次三项式时，则；
②若二次三项式能分解成，则；
③当多项式与的乘积中不含项时，则；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
【变式1】（2022秋·重庆万州·八年级重庆市万州新田中学校考期中）已知的计算结果中不含的项，则的值为（ ）
A．3B．C．D．0
【变式2】（2023春·七年级课时练习）若的积不含项，则___________．
【变式3】（2021秋·江苏无锡·七年级校联考期中）【感悟数学方法】
已知：，．
（1）计算：；
（2）若的值与字母的取值无关，求的值．
【解决实际问题】请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：
新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求的值．
【经典例题三 整式乘法中的看错问题】
【例3】（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
【变式1】（2021秋·全国·八年级专题练习）因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）．
A．B．
C．D．
【变式2】（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考阶段练习）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为___________.
【变式3】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）利用多项式乘以多项式的法则，可以计算，
反过来．
请仔细观察，一次项系数是两数之和，常数项是这两数之积，二次项系数是1，具有这种特点的二次三项式可利用进行因式分解．
根据上述阅读，解决下列问题：
(1)已知关于x的二次三项式有一个因式是，求另一个因式和k的值；
(2)甲，乙两人在对二次三项式进行因式分解时，甲看错了一次项系数，分解的结果为，乙看错了常数项，分解的结果为，求这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解．
【经典例题四 整式乘法中的遮挡问题】
【例4】（2022春·河北承德·七年级承德市民族中学校考期末）小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是（ ）
A．12B．﹣12C．12或﹣12D．36
【变式训练】
【变式1】（2022秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考期中）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：，□的地方被墨水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021春·全国·七年级专题练习）小明同学在做数学作业时发现一道数学题有部分内容被墨水污染了：“先化简，再求值， 其中＝“■”小明翻开答案看到这题的结果是7. 你能帮他确定出被墨水污染了的部分内容“■”＝ _________．
【变式3】（2020春·山东枣庄·八年级统考期末）【类比学习】
小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2＋3x＋2进行因式分解的方法：
即（x2＋3x＋2）÷（x＋1）＝x＋2，所以x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2）．
【初步应用】
小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2＋□x＋6＝（x＋2）（x＋☆），（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式：
得出□＝ ，☆＝ ．
【深入研究】
小明用这种方法对多项式x2＋2x2﹣x﹣2进行因式分解，进行到了：x3＋2x2﹣x﹣2＝（x＋2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3＋2x2﹣x﹣2因式分解．
【经典例题五 整式乘法的应用问题】
【例5】（2022秋·河南三门峡·八年级校考期末）比较图1和图2你可以得到 ① ，如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积是 ② （ ）
A．① ②26B．① ②
C．① ②D．① ②26
【变式训练】
【变式1】（2022秋·河南周口·八年级统考期中）如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正图乙的边长为（ ）
A．7B．8C．5.6D．10
【变式2】（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）现有如图所示的，，三种纸片若干张．
（1）现取1张纸片，2张纸片，其面积和为______．
（2）淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片9张，再取纸片1张，还需要取纸片______张．
【变式3】（2023秋·陕西安康·八年级统考期末）某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中．
(1)长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多少株？（用含、的式子表示，并化简）
(2)用含、的式子表示该种植基地这两块实验田一共种植了多少株踠豆幼苗，并化简；当，时，一共种植了多少株？
【经典例题六 整式乘法中的规律探究性问题】
【例6】（2022秋·全国·八年级期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如图，后人也将其称为“杨辉三角”．
据此规律，则展开式中含项的系数是（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
【变式训练】
【变式1】（2022春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）若一个只含字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推．
①将多项式以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；
②将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；
③将多项式以上述方式进行4次操作后，当时，所得多项式的值为243；
④将多项式以上述方式进行次操作后所得多项式为；
四个结论错误的有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式2】（2022春·河南郑州·七年级统考期末）如果将为非负整数的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：它只有一项，系数为；，它有两项，系数分别是，；，它有三项，系数分别是，，；，它有四项，系数分别是，，，；，它有四项，系数分别是，，，，；
如果将上述的每个式子的各项系数都排成下表，我们发现每一行的首末都是，并且下一行的数比上一行的数多，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．参考这个表，请你直接写出______．
【变式3】（2021·陕西西安·七年级西安市中铁中学校考阶段练习）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；
（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝ （n为大于3的正整数），并证明你的结论；
（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝ ．
【经典例题七 整式乘法的新定义问题】
【例7】（2022秋·重庆江津·九年级校考期中）设a，b是有理数，定义运算，例如：， ， ．下列结论：①；②；③m，n为有理数，当时，则；④x，y为有理数，当时，则；⑤设，，则．其中所有正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式训练】
【变式1】（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）任何一个正整数都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：，又因为，则．那么以下结论中：①；②若是一个完全平方数，则；③是一个完全立方数（即，是正整数），则；④若，则．正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（2022春·四川成都·七年级统考期末）在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：．的化简结果是__________；若乘以的结果为，则的值为__________
【变式3】（2023秋·北京石景山·八年级校考期末）阅读材料：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下：
∵，
∴，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，
，
则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
(1)已知多项式，，则C关于D的“雅常值”是________；
(2)已知多项式，（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且N的最小值为，求M关于N的“雅常值”．
【经典例题八 整式乘法的混合运算】
【例8】（2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）计算的结果是（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
【变式训练】
【变式1】（2021春·浙江·七年级期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状，大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若y为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③④B．①④C．①③D．①②③
【变式2】（2021·全国·七年级假期作业）有一个多项式除以，商为，余式为，那么这个多项式为___．
【变式3】（2022秋·河北衡水·七年级校考期中）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，
即原式，所以，则．
(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值；
(2)已知，；且的值与x无关，求y的值；
(3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【培优检测】
1．（2023秋·贵州安顺·八年级校联考期末）如与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）已知，，是正整数，，且，则等于（ ）．
A．B．或C．1D．1或13
3．（2023秋·河北沧州·八年级校考期末）已知，，则的值为（ ）
A．2022B．2023C．3954D．4046
4．（2022秋·四川宜宾·八年级统考期中）已知，则的值是（ ）
A．B．10C．D．2
5．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ）
①当为关于x的三次三项式时，则；
②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则；
③；
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）有足够多张如图所示的类、类正方形卡片和类长方形卡片，若要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：
①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考阶段练习）有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作，
①第二次操作后整式串为：，，，，；
②第二次操作后，当时，所有整式的积为正数；
③第四次操作后整式串中共有19个整式；
④第2022次操作后，所有的整式的和为．下列结论正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．①④
9．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）已知，则的值为 ______．
10．（2021春·浙江温州·七年级校考期中）如果，则代数式的值为________．
11．（2021春·内蒙古包头·七年级包头市第三十五中学校考期中）如图，边长为的正方形纸片中，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是_____________．
12．（2022春·广西·七年级统考阶段练习）观察下列各式的计算过程：
；
根据上面算法，计算：______．
13．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期末）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是______．
14．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）春天是耕种的最佳时节，我校两个劳动实践小组在试验田里种植了黄瓜、番茄、辣椒三种蔬菜，单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2．第一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，第二小组在余下的实验田里继续种植这三种蔬菜，将余下试验田面积的种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的，且第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的，则最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为__________．
15．（2023秋·广东惠州·八年级统考期末）学习了平方差、完全平方公式后，小明同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：
(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子：
①化简：______；
②计算：______；
(2)【公式运用】已知：，求的值．
16．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；
根据以上信息，完成下列问题:
(1)计算：， ；
(2)计算：；
(3)计算：
17．（2022秋·福建福州·八年级校考阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片______张，号卡片______张，号卡片_____张．
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______；根据得出的等量关系，解决如下问题：已知，求的值．
(3)两个正方形，如图3摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分面积和．
18．（2020秋·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期中）我们知道，对于任意一个实数a，“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题．
例如：，
∵，
∴，
∴．
(1)填空：（______）______．
(2)请用作差法比较与的大小，并写出解答过程．
(3)求的最小值．
19．（2023秋·山西朔州·八年级统考期末）【阅读理解】
“若x满足，求的值”
解：设，，则，，所以
【解决问题】
(1)若x满足，求的值．
(2)若x满足，求的值．
(3)如图，正方形ABCD的边长为x，，，长方形EFGD的面积是240，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
20．（2023春·全国·七年级专题练习）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：，它只有一项，系数为1；系数和为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
则
(1)的展开式共有___________项，系数和为___________．
(2)___________．
(3)___________．
(4)___________．
(5)的展开式中第三项系数为___________．
题型一 整式乘法中的化简求值问题
题型二 整式乘法中不含某项求字母的值
题型三 整式乘法中的看错问题
题型四 整式乘法中的遮挡问题
题型五 整式乘法的应用问题
题型六 整式乘法中的规律探究性问题
题型七 整式乘法的新定义问题
题型八 整式乘法的混合运算
【经典例题一 整式乘法中的化简求值问题】
1、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
2、单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
3、多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
【例1】（2023秋·四川内江·八年级统考期末）已知，则当，的值为（ ）
A．25B．20C．15D．10
【变式训练】
【变式1】（2021春·江苏扬州·七年级统考期中）已知，则a＋b＋c＋d+1的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【变式2】（2021秋·全国·八年级专题练习）已知，，化简的结果是__________．
【变式3】（2022秋·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）知识再现：我们知道幂的运算法则有4条，分别是：①，②，③，④，反过来，这4条运算法则可以写成：①，②，③，④．
问题解决：已知，且满足等式，
(1)求代数式、的值；
(2)化简代数式，并求当，时该代数式的值．
【经典例题二 整式乘法中不含某项求字母的值】
【解题技巧】整式乘法中不含某一项，合并同类项后系数为0。解决这类题目，首先要掌握单项式与多项式，多项式与多项式的乘法。
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。
先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。
除此以外，还要注意区分未知数和参数，会合并同类项。同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变，实际上就是乘法分配律的逆向运用。
【例2】（2022秋·重庆江北·八年级校考期中）关于的三次三项式（其中，，，均为常数），关于的二次三项式（，均为非零常数），下列说法有几个正确（ ）
①当的结果为关于的三次三项式时，则；
②若二次三项式能分解成，则；
③当多项式与的乘积中不含项时，则；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
【变式1】（2022秋·重庆万州·八年级重庆市万州新田中学校考期中）已知的计算结果中不含的项，则的值为（ ）
A．3B．C．D．0
【变式2】（2023春·七年级课时练习）若的积不含项，则___________．
【变式3】（2021秋·江苏无锡·七年级校联考期中）【感悟数学方法】
已知：，．
（1）计算：；
（2）若的值与字母的取值无关，求的值．
【解决实际问题】请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：
新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求的值．
【经典例题三 整式乘法中的看错问题】
【例3】（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
【变式1】（2021秋·全国·八年级专题练习）因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）．
A．B．
C．D．
【变式2】（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考阶段练习）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为___________.
【变式3】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）利用多项式乘以多项式的法则，可以计算，
反过来．
请仔细观察，一次项系数是两数之和，常数项是这两数之积，二次项系数是1，具有这种特点的二次三项式可利用进行因式分解．
根据上述阅读，解决下列问题：
(1)已知关于x的二次三项式有一个因式是，求另一个因式和k的值；
(2)甲，乙两人在对二次三项式进行因式分解时，甲看错了一次项系数，分解的结果为，乙看错了常数项，分解的结果为，求这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解．
【经典例题四 整式乘法中的遮挡问题】
【例4】（2022春·河北承德·七年级承德市民族中学校考期末）小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是（ ）
A．12B．﹣12C．12或﹣12D．36
【变式训练】
【变式1】（2022秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考期中）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：，□的地方被墨水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021春·全国·七年级专题练习）小明同学在做数学作业时发现一道数学题有部分内容被墨水污染了：“先化简，再求值， 其中＝“■”小明翻开答案看到这题的结果是7. 你能帮他确定出被墨水污染了的部分内容“■”＝ _________．
【变式3】（2020春·山东枣庄·八年级统考期末）【类比学习】
小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2＋3x＋2进行因式分解的方法：
即（x2＋3x＋2）÷（x＋1）＝x＋2，所以x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2）．
【初步应用】
小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2＋□x＋6＝（x＋2）（x＋☆），（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式：
得出□＝ ，☆＝ ．
【深入研究】
小明用这种方法对多项式x2＋2x2﹣x﹣2进行因式分解，进行到了：x3＋2x2﹣x﹣2＝（x＋2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3＋2x2﹣x﹣2因式分解．
【经典例题五 整式乘法的应用问题】
【例5】（2022秋·河南三门峡·八年级校考期末）比较图1和图2你可以得到 ① ，如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积是 ② （ ）
A．① ②26B．① ②
C．① ②D．① ②26
【变式训练】
【变式1】（2022秋·河南周口·八年级统考期中）如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正图乙的边长为（ ）
A．7B．8C．5.6D．10
【变式2】（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）现有如图所示的，，三种纸片若干张．
（1）现取1张纸片，2张纸片，其面积和为______．
（2）淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片9张，再取纸片1张，还需要取纸片______张．
【变式3】（2023秋·陕西安康·八年级统考期末）某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中．
(1)长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多少株？（用含、的式子表示，并化简）
(2)用含、的式子表示该种植基地这两块实验田一共种植了多少株踠豆幼苗，并化简；当，时，一共种植了多少株？
【经典例题六 整式乘法中的规律探究性问题】
【例6】（2022秋·全国·八年级期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如图，后人也将其称为“杨辉三角”．
据此规律，则展开式中含项的系数是（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
【变式训练】
【变式1】（2022春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）若一个只含字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推．
①将多项式以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；
②将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；
③将多项式以上述方式进行4次操作后，当时，所得多项式的值为243；
④将多项式以上述方式进行次操作后所得多项式为；
四个结论错误的有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式2】（2022春·河南郑州·七年级统考期末）如果将为非负整数的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：它只有一项，系数为；，它有两项，系数分别是，；，它有三项，系数分别是，，；，它有四项，系数分别是，，，；，它有四项，系数分别是，，，，；
如果将上述的每个式子的各项系数都排成下表，我们发现每一行的首末都是，并且下一行的数比上一行的数多，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．参考这个表，请你直接写出______．
【变式3】（2021·陕西西安·七年级西安市中铁中学校考阶段练习）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；
（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝ （n为大于3的正整数），并证明你的结论；
（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝ ．
【经典例题七 整式乘法的新定义问题】
【例7】（2022秋·重庆江津·九年级校考期中）设a，b是有理数，定义运算，例如：， ， ．下列结论：①；②；③m，n为有理数，当时，则；④x，y为有理数，当时，则；⑤设，，则．其中所有正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式训练】
【变式1】（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）任何一个正整数都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：，又因为，则．那么以下结论中：①；②若是一个完全平方数，则；③是一个完全立方数（即，是正整数），则；④若，则．正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（2022春·四川成都·七年级统考期末）在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：．的化简结果是__________；若乘以的结果为，则的值为__________
【变式3】（2023秋·北京石景山·八年级校考期末）阅读材料：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下：
∵，
∴，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，
，
则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
(1)已知多项式，，则C关于D的“雅常值”是________；
(2)已知多项式，（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且N的最小值为，求M关于N的“雅常值”．
【经典例题八 整式乘法的混合运算】
【例8】（2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）计算的结果是（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
【变式训练】
【变式1】（2021春·浙江·七年级期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状，大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若y为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③④B．①④C．①③D．①②③
【变式2】（2021·全国·七年级假期作业）有一个多项式除以，商为，余式为，那么这个多项式为___．
【变式3】（2022秋·河北衡水·七年级校考期中）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，
即原式，所以，则．
(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值；
(2)已知，；且的值与x无关，求y的值；
(3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【培优检测】
1．（2023秋·贵州安顺·八年级校联考期末）如与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）已知，，是正整数，，且，则等于（ ）．
A．B．或C．1D．1或13
3．（2023秋·河北沧州·八年级校考期末）已知，，则的值为（ ）
A．2022B．2023C．3954D．4046
4．（2022秋·四川宜宾·八年级统考期中）已知，则的值是（ ）
A．B．10C．D．2
5．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ）
①当为关于x的三次三项式时，则；
②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则；
③；
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）有足够多张如图所示的类、类正方形卡片和类长方形卡片，若要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：
①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考阶段练习）有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作，
①第二次操作后整式串为：，，，，；
②第二次操作后，当时，所有整式的积为正数；
③第四次操作后整式串中共有19个整式；
④第2022次操作后，所有的整式的和为．下列结论正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．①④
9．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）已知，则的值为 ______．
10．（2021春·浙江温州·七年级校考期中）如果，则代数式的值为________．
11．（2021春·内蒙古包头·七年级包头市第三十五中学校考期中）如图，边长为的正方形纸片中，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是_____________．
12．（2022春·广西·七年级统考阶段练习）观察下列各式的计算过程：
；
根据上面算法，计算：______．
13．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期末）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是______．
14．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）春天是耕种的最佳时节，我校两个劳动实践小组在试验田里种植了黄瓜、番茄、辣椒三种蔬菜，单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2．第一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，第二小组在余下的实验田里继续种植这三种蔬菜，将余下试验田面积的种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的，且第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的，则最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为__________．
15．（2023秋·广东惠州·八年级统考期末）学习了平方差、完全平方公式后，小明同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：
(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子：
①化简：______；
②计算：______；
(2)【公式运用】已知：，求的值．
16．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；
根据以上信息，完成下列问题:
(1)计算：， ；
(2)计算：；
(3)计算：
17．（2022秋·福建福州·八年级校考阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片______张，号卡片______张，号卡片_____张．
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______；根据得出的等量关系，解决如下问题：已知，求的值．
(3)两个正方形，如图3摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分面积和．
18．（2020秋·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期中）我们知道，对于任意一个实数a，“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题．
例如：，
∵，
∴，
∴．
(1)填空：（______）______．
(2)请用作差法比较与的大小，并写出解答过程．
(3)求的最小值．
19．（2023秋·山西朔州·八年级统考期末）【阅读理解】
“若x满足，求的值”
解：设，，则，，所以
【解决问题】
(1)若x满足，求的值．
(2)若x满足，求的值．
(3)如图，正方形ABCD的边长为x，，，长方形EFGD的面积是240，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
20．（2023春·全国·七年级专题练习）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：，它只有一项，系数为1；系数和为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
则
(1)的展开式共有___________项，系数和为___________．
(2)___________．
(3)___________．
(4)___________．
(5)的展开式中第三项系数为___________．
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