专题09 整式乘法与因式分解经典压轴题型专训（30道）-七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题09 整式乘法与因式分解经典压轴题型专训（30道）   

【整式乘法与因式分解经典压轴题型】

1．（2022秋·重庆·九年级重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知多项式，多项式．

①若多项式是完全平方式，则或

②

③若，，则

④若，则

⑤代数式的最小值为2022

以上结论正确的个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考阶段练习）有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作，

①第二次操作后整式串为：，，，，；

②第二次操作后，当时，所有整式的积为正数；

③第四次操作后整式串中共有19个整式；

④第2022次操作后，所有的整式的和为．下列结论正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②④ D．①④

3．（2021秋·辽宁鞍山·八年级校考期中）下列计算结果正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）已知，则等于（    ）

A． B． C． D．

5．（2022秋·福建莆田·八年级校考期末）观察下列等式：已知：＝（a﹣b）（a+b）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）……小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为（    ）

A． B． C． D．

6．（2022春·安徽安庆·七年级统考期中）已知，且，则 -的值为（       ）

A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044

7．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．如记，；已知，则的值是（    ）

A． B．20 C． D．44

8．（2022·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）对整式 进行如下操作：将 与另一个整式 相加， 使得 与 的和等于 ， 表示为， 称为第一次操作； 将第一次操作的结果 与另一个整式 相减，使得 与 的差等于 ， 表示为 ， 称为第二次操作； 将第二次的操作结果 与另一个整式 相加，使得 与 的和等于 ， 表示为 ， 称为第三次操作；将第三次操作的结果 与另一个整式 相减， 使得 与 的差等于 ， 表示为， 称为第四次操作， 以此类推， 下列四种说法：

① ；② ；③ ；④当 为奇数时， 第 次操作结果 ； 当 为偶数时，第 次操作结果 ： 四个结论中正确的有（    ）

A．1 个 B．2 个

C．3 个 D．4 个

9．（2022春·安徽安庆·七年级统考期末）在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图①，图②两种方式放置（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分的面积和为．则的值表示正确的是（    ）

A． B． C． D．

10．（2022·全国·七年级假期作业）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）

A．6858 B．6860 C．9260 D．9262

11．（2022秋·四川眉山·八年级校考期中）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（    ）

A．4 B．4.5 C．5 D．5．5

12．（2022秋·八年级单元测试）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）

1   1                 

1   2   1             

1   3   3   1         

1   4   6   4   1     

…                                         …                 

请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ）

A．-2021 B．2021 C．4042 D．-4042

13．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）设x，y满足，，则______．

14．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知，且，则的值为 _____．

15．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）已知实数a，b，c满足，，则 _____．

16．（2022秋·八年级课时练习）若是关于的完全平方式，则___________．

17．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）已知，，那么______，______．

18．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）已知，则的值为______；的值为______．

19．（2022秋·江苏无锡·七年级校联考期中）有6张如图①的长为a，宽为的小长方形纸片，按图②方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则满足的数量关系是_______．

20．（2022春·重庆·九年级重庆一中校考阶段练习）某店三八节推出，，三种花束，每种花束的成本分别为105元/束，135元/束，70元/束．在3月7日，，，三种花束的单价之比为，销量之比为．在3月8日，由于供不应求，该花店适当调整价格，预计3月8日三种花束的销售额将比3月7日有所增加．，花束增加的销售额之比为；3月8日花束的单价上调25%且，花束的销售额之比为．同时三种花束的销量之比不变，若3月8日三种花束的单价之和比3月7日三种花束的单价之和多96元，则3月8日当天的利润率为______．

21．（2023春·七年级单元测试）实践操作：现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：

方式1：将B放在A的内部，得甲图；

方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．

问题解决：对于上述操作，若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为________．

22．（2022·全国·八年级专题练习）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______．

23．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”．

(1)求证：对任意“好数”，一定为20的倍数．

(2)若，且，为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值．

24．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）若一个正整数是两个连续奇数或连续偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“半平分数”，为的“半平分点”．例如，，则35是“半平分数”，5为35的半平分点．

(1)是80的“半平分点”，则______；的“半平分数”“半平分点”为1，则______；当为正整数时，整数______．

(2)把“半平分数”与“半平分数”的差记为，其中，，例如，，，则．若“半平分数”的“半平分数”为，“半平分数”的“半平分点”为，当时，求的值．

25．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题，请阅读并解决下列问题：

(1)问题一：．则A=______，B=______；

(2)计算：；

(3)问题二：已知，则P=_____，Q=______；

(4)已知长和宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．

26．（2022秋·河南鹤壁·九年级校考阶段练习）两个边长分别为a和b的正方形如图1放置，其未叠合部分（阴影）而积为，若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．

(1)用含a，b的代数式分别表示；

(2)若，求的值；

(3)当时，求出图3中阴影部分的面积．

27．（2022秋·上海·七年级专题练习）探索、研究：仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、…），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数an与层数n之间满足关系式an＝n2−32n＋247，1⩽n＜16，n为整数．

(1)例如，当n＝2时，a2＝22−32×2＋247＝187，则a5＝        ，a6＝        ；

(2)第n层比第（n＋1）层多堆放多少个仪器箱；（用含n的代数式表示）

(3)假设堆放时上层仪器箱的总重量会对下一层仪器箱产生同样大小的压力，压力单位是牛顿，设每个仪器箱重54 牛顿，每个仪器箱能承受的最大压力为160牛顿，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．

①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；

②再确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层，为什么？

28．（2022秋·江西上饶·八年级校考期中）把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）．

(1)如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式；

(2)如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）；

(3)如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关．

29．（2022春·四川成都·七年级校联考期中）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即．

例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．

请根据阅读材料解决下列问题：

(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；

(2)已知，，求的值；

(3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？

30．（2022秋·全国·九年级专题练习）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．

定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．

例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．

解决问题：

(1)已知29是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式：______；

(2)若可配方成（m，n为常数），则______；

(3)探究问题：已知，求的值．

(4)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k的值．