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苏科版七年级下册第7章 平面图形的认识（二）7.5 多边形的内角和与外角和同步训练题
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这是一份苏科版七年级下册第7章 平面图形的认识（二）7.5 多边形的内角和与外角和同步训练题，文件包含专题04多边形内角和定理重难点题型解析版docx、专题04多边形内角和定理重难点题型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共102页， 欢迎下载使用。
题型一 三角形内角和定理的证明
题型二 与平行线有关的三角形内角和问题
题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题
题型四 三角形折叠中的角度问题
题型五 三角形外角的性质
题型六 多边形的内角和问题
题型七 正多边形的内角、外角问题
题型八 多边形内角和、外角和的综合问题
【经典例题一 三角形内角和的证明】
【知识归纳】
1、三角形的内角：
①三角形的三个内角的和等于180°.
②推论：直角三角形的两个锐角互余.
【例1】（2022秋·全国·八年级专题练习）定理：三角形的内角和等于．
已知：的三个内角为，，．
求证：．
下列说法正确的是（ ）A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1用合理的推理证明了该定理
C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
【变式训练】
【变式1】（2021春·广东深圳·七年级校考期末）如图，将ABC沿BC翻折，使点A落在点A′处，过点B作BD∥AC交A′C于点D，若∠1＝30°，∠2＝140°，则∠A的度数为（ ）
A．115°B．120°C．125°D．130°
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如图，已知交于点，且，则_____．
【变式3】（2022秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是”的结论．
小明受到实验方法1的启发，形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．
(1)填空：小明的证明过程如下：
已知：如图，三角形．
求证：．
证明：延长，过点C作．
∴（两直线平行，内错角相等），
（____________）．
∵（____________），
∴．
(2)请你参考小明解决问题的思路与方法，画出实验2几何图形，并写出利用实验2证明该结论的过程．
(3)在实验过程中，小超不小心把三个角都撕下来，但他发现，除了可以利用原三角形三个顶点外，还可以在原三角形所在的平面内，将撕下来三个角的顶点重合在平面内任意一点，使撕下来角的两边分别平行（或重合）于原三角形的两边，也可以证明三角形内角和是．请你参考小超解决问题的思路与方法，画出几何图形，并写出一种证明该结论的过程．
【经典例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】
【例2】（2022秋·八年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论：
①如果，则；
②；
③如果，则；
④如果，则．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
【变式1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（ ）
A．134°B．124°C．114°D．104°
【变式2】（2022春·广西南宁·七年级统考期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝_____°．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图1，在三角形中，，直线与边、分别交于、两点，直线与边、分别交于、两点，且．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，P为边AB上一点，连接，若，请你探索与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接、，请直接写出、、的数量关系（用含m的式子表示）．
【经典例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】
【例3】（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．②④
【变式训练】
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期末）如图，中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得，……，与的平分线交于点，得，则________．
【变式3】（2022秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考期中）如图，在中，平分，点为线段上的一个动点，交的延长线于点．
(1)若，，求的度数；
(2)若，且，求的度数．
【经典例题四 三角形折叠中的角度问题】
【例4】（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）如图，在中， ，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图1，中，点和点分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点落在的外部处，如图2所示．若，则度数为( )
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在中，，是斜边的中点，将沿直线折叠，点落在点处，如果恰好与垂直，则_______°．
【变式3】（2022秋·河南郑州·八年级校考期末）（1）如图，把沿折叠，使点落在点处，试探究、与的关系；
（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；
（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程．
【经典例题五 三角形外角的性质】
【知识归纳】
1、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.
图中的∠CBD称为△ABC的一个外角
2、注意：
①“外角”是三角形的外角，不是它相邻内角的外角.对三角形的外角,称某个角是某个三角
形的外角,而不称三角形某个角的外角
②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
③三角形的外角和等于360°.
【例5】（2022秋·八年级课时练习）如图，已知点在线段上，且，，分别是，的平分线，若的度数可用含的代数式表示为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·八年级单元测试）如图，在中，是三个内角的平分线的交点，过点作，交边于点若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·河北张家口·八年级校考阶段练习）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应________（填“增加”或“减少”） ________度．
【变式3】（2022秋·全国·八年级期中）如图，在中，是的高．
(1)如图1，是的平分线，若，，求的度数．
(2)如图2，延长到点F，和的平分线交于点G，求的度数．
【经典例题六 多边形的内角和问题】
【知识归纳】
多边形的外角：
（1）多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
（2）任意多边形的外角和等于360°.
多边形的内角：n边形的内角和等于（n－2）·180°
【例6】（2022秋·山西吕梁·八年级统考期中）数学活动课上，小明一笔画成了如图所示的图形，则的度数为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．无法计算
【变式训练】
【变式1】（2022春·江苏·七年级专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A．B．C．或D．或或
【变式2】（2023春·七年级单元测试）已知中，，将按照如图所示折叠，若，则_____．
【变式3】（2021秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）中，，点D、E分别是边、上的点，点P是一动点．令，，．
(1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则__________；
(2)若点P在边上运动，如图（2）所示，则、、之间的关系为：__________；
(3)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由．
(4)若点P运动到形外，如图（4）所示，则、、之间的关系为：__________．
【经典例题七 正多边形的内角、外角问题】
【例7】（2022·四川绵阳·校考二模）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（ ）
A．110°B．120°C．118°D．122°
【变式训练】
【变式1】（2020春·河北石家庄·九年级校考开学考试）如图，以正五边形ABCDE的对角线AC为边作正方形ACFG，使点B落在正方形ACFG外，则的大小为
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝_____°．
【变式3】（2022秋·湖北荆州·八年级统考阶段练习）如图1，点M，N分别在正五边形ABCDE的边BC，CD上，BM=CN，连结AM，BN相交于H．
(1)求正五边形ABCDE外角的度数；
(2)求∠AHB的度数；
(3)如图2，将条件中的“正五边形ABCDE”换成“正六边形ABCDEF”，其他条件不变，试猜想∠AHB的度数．
【经典例题八 多边形的内角和、外角和的综合问题】
【例8】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，七边形中，，的延长线相交于点，若 ， ， ， 的外角的度数和为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，六边形中，的外角都相等，即，分别作和的平分线交于点P，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·八年级单元测试）（正多边形的每个内角都相等）如图，在正八边形中，对角线的延长线与边的延长线交于点M，则的大小为___．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图1，四边形ABCD中，点E在边AB上，∠BCE与∠BEC互余，过点E作EFCD，交AD于点F．
(1)若EF⊥CE，求证：∠AEF＝∠BCE；
(2)如图2，EG平分∠BEC交DC延长线于点G，∠BCD+∠ECD＝180°．点H在FD上，连接EH，CH，∠AHE+∠BCH＝90°．当∠D+∠AEF＝2∠G时，判断线段CH与CE的大小关系，并说明理由．
【培优检测】
1．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，D是上一点，E是上一点，，相交于点F，，，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·河北邯郸·八年级校联考期中）如图，将三角形纸片翻折，点A落在点的位置，折痕为．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·广东梅州·九年级校考期中）如图，，，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，和的外角平分线交于点O，设，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·八年级课时练习）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·重庆巴南·八年级校考期中）如图，在中，，，为延长线上一点，与的平分线相交于点，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考阶段练习）如图，五边形是正五边形，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2021春·湖北武汉·九年级校考自主招生）如图，中，，分别为上的点，的平分线分别交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
10．（2021秋·浙江台州·八年级校联考阶段练习）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（ ）
A．1440B．1800C．2880D．3600
11．（2022秋·天津·八年级校考期中）如图，已知中，于D，于E，交于点F，的平分线交于点O，则的度数为___________．
12．（2022秋·天津·八年级校考期中）如图，中，是的外角的平分线，交的延长线于点F，是的外角的平分线，交的延长线于点G，若，则的大小=___________（度）．
13．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，在中，，，D是上一点，将沿翻折后得到，边交于点F，若中有两个角相等，则______．
14．（2022秋·山西大同·八年级大同市第七中学校校考阶段练习）如图，是 的 和的外角的平分线的交点，若 ，则 __________．
15．（2021秋·重庆渝北·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且，则∠P=____________．
16．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝260°，则∠P＝_____．
17．（2022春·吉林长春·七年级统考期末）【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容．
【感知】如图①，在四边形中，分别是边的延长线，我们把、称为四边形的外角，若，则___________度．
【探究】如图②，在四边形中，分别是边的延长线，我们把、称为四边形的外角，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
【应用】如图③，、分别是四边形的外角的平分线，若，则的度数为______________________．
18．（2022·湖南常德·统考中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．
19．（2022春·八年级课时练习）一个五角星图案如图．已知五边形的各个内角都相等，分别求的度数．
20．（2022秋·天津河西·八年级统考期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角．
试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)；
探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系；
探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？
即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．
21．（2022秋·全国·八年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
(1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由．
(2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由．
(3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）
(4)拓展：如图4，在四边形中，O是与的平分线和的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）．
(5)运用：如图5，五边形
中，的外角分别是分别平分和且相交于点P，若，则 度．
22．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期中）请认真阅读下列材料，并完成相应学习任务．
探索四边形的内角和
数学课上，老师提出如下问题：我们知道，三角形的内角和等于，正方形、长方形的内角和都等于．那么，任意一个四边形的内角和是否也等于呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于吗？
“勤奋小组”的思路是：如图1，连接对角线，则四边形被分为两个三角形，即和．由此可得，
∵，
∴．即四边形的内角和是360°．
“智慧小组”受到“勤奋小组”的启发，他们发现，在四边形的一条边上取一点E，或在四边形内部取一点E，也可以将四边形分为几个三角形（如图2或图3），进而证明四边形内角和等于360°．
“创新小组”的思路是：如图4，在四边形外部取一点E，分别连接，，，…
任务一：
勤奋小组在探索四边形内角和的过程中，主要体现的数学思想是（ ）
A．从一般到特殊 B．转化 C．抽象
任务二：
在图2和图3中，选择一种，按照智慧小组的思路．求证：；
任务三：
如图4，请按照创新小组的思路求证：．
23．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）中，，点D、E分别是边上的点，点P是一动点．
(1)若点P在边上，如图1所示，且，则___________°；
(2)若点P在边上运动，如图2所示，则之间的关系为___________；
(3)若点P运动到边的延长线上，与的交点为M，如图3所示，则之间有何关系？猜想并说明理由．
24．（2022秋·河北沧州·八年级校考阶段练习）在四边形中，，．
(1)如图1，若，则______；
(2)如图2，若的平分线交于点E，且．求的度数；
(3)若和的平分线交于点E，延长，交于点F（如图3）．将原来条件“，”改为“”，其他条件不变，求的度数．
25．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）问题：若，点A在直线上，点B在直线上，点E为，之间一点，探，与之间的关系．
(1)如图1，延长与交于点F（方法一）；如图2，过点E作（方法二），发现：．请选择一种方法说明．
(2)小明同学进行了更进一步的思考：直线，点A、C在直线a上，点B、D在直线b上，直线，分别平分，，且交于点E．
①如图3，若，则_____________．
②如图4，若，则_________．（用含x的代数式表示）
(3)如备用图，射线与射线相交于点O，点A、C在射线上，，点B、D在射线上，其中A、B是定点，C、D是动点，且点D在点B右侧，直线，分别平分，且交于点E．若，，直接写出的度数．（用含m，n的代数式表示）
26．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；
阅读下面的内容，并解决后面的问题：
(1)如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；
(2)①在图3中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
证法1
证法2
如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．
∵（平角的定义），
∴（等量代换）．
如图2，过点作，∵，
（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，内错角相等），
又∵（平角定义），
∴（等量代换）．
现在我们时论三角形的外角及外角和．
如图9.1.9，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角．
三角形的外角写内角有什么关系呢？
在图中，显然有
（外角）（相邻的内角）
那么外角与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
依据三角形的内角和等于，我们有．
由上面两个式子，可以推出
．
．
因而可以得到你与你的同伴所发现的结论：
．
由此可知，三角形的外角有两条性质：
1．三角形的一个外角等于与它不相同的两个内角的和．
2．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
题型一 三角形内角和定理的证明
题型二 与平行线有关的三角形内角和问题
题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题
题型四 三角形折叠中的角度问题
题型五 三角形外角的性质
题型六 多边形的内角和问题
题型七 正多边形的内角、外角问题
题型八 多边形内角和、外角和的综合问题
【经典例题一 三角形内角和的证明】
【知识归纳】
1、三角形的内角：
①三角形的三个内角的和等于180°.
②推论：直角三角形的两个锐角互余.
【例1】（2022秋·全国·八年级专题练习）定理：三角形的内角和等于．
已知：的三个内角为，，．
求证：．
下列说法正确的是（ ）A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1用合理的推理证明了该定理
C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
【变式训练】
【变式1】（2021春·广东深圳·七年级校考期末）如图，将ABC沿BC翻折，使点A落在点A′处，过点B作BD∥AC交A′C于点D，若∠1＝30°，∠2＝140°，则∠A的度数为（ ）
A．115°B．120°C．125°D．130°
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如图，已知交于点，且，则_____．
【变式3】（2022秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是”的结论．
小明受到实验方法1的启发，形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．
(1)填空：小明的证明过程如下：
已知：如图，三角形．
求证：．
证明：延长，过点C作．
∴（两直线平行，内错角相等），
（____________）．
∵（____________），
∴．
(2)请你参考小明解决问题的思路与方法，画出实验2几何图形，并写出利用实验2证明该结论的过程．
(3)在实验过程中，小超不小心把三个角都撕下来，但他发现，除了可以利用原三角形三个顶点外，还可以在原三角形所在的平面内，将撕下来三个角的顶点重合在平面内任意一点，使撕下来角的两边分别平行（或重合）于原三角形的两边，也可以证明三角形内角和是．请你参考小超解决问题的思路与方法，画出几何图形，并写出一种证明该结论的过程．
【经典例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】
【例2】（2022秋·八年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论：
①如果，则；
②；
③如果，则；
④如果，则．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
【变式1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（ ）
A．134°B．124°C．114°D．104°
【变式2】（2022春·广西南宁·七年级统考期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝_____°．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图1，在三角形中，，直线与边、分别交于、两点，直线与边、分别交于、两点，且．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，P为边AB上一点，连接，若，请你探索与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接、，请直接写出、、的数量关系（用含m的式子表示）．
【经典例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】
【例3】（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．②④
【变式训练】
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期末）如图，中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得，……，与的平分线交于点，得，则________．
【变式3】（2022秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考期中）如图，在中，平分，点为线段上的一个动点，交的延长线于点．
(1)若，，求的度数；
(2)若，且，求的度数．
【经典例题四 三角形折叠中的角度问题】
【例4】（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）如图，在中， ，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图1，中，点和点分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点落在的外部处，如图2所示．若，则度数为( )
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在中，，是斜边的中点，将沿直线折叠，点落在点处，如果恰好与垂直，则_______°．
【变式3】（2022秋·河南郑州·八年级校考期末）（1）如图，把沿折叠，使点落在点处，试探究、与的关系；
（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；
（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程．
【经典例题五 三角形外角的性质】
【知识归纳】
1、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.
图中的∠CBD称为△ABC的一个外角
2、注意：
①“外角”是三角形的外角，不是它相邻内角的外角.对三角形的外角,称某个角是某个三角
形的外角,而不称三角形某个角的外角
②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
③三角形的外角和等于360°.
【例5】（2022秋·八年级课时练习）如图，已知点在线段上，且，，分别是，的平分线，若的度数可用含的代数式表示为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·八年级单元测试）如图，在中，是三个内角的平分线的交点，过点作，交边于点若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·河北张家口·八年级校考阶段练习）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应________（填“增加”或“减少”） ________度．
【变式3】（2022秋·全国·八年级期中）如图，在中，是的高．
(1)如图1，是的平分线，若，，求的度数．
(2)如图2，延长到点F，和的平分线交于点G，求的度数．
【经典例题六 多边形的内角和问题】
【知识归纳】
多边形的外角：
（1）多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
（2）任意多边形的外角和等于360°.
多边形的内角：n边形的内角和等于（n－2）·180°
【例6】（2022秋·山西吕梁·八年级统考期中）数学活动课上，小明一笔画成了如图所示的图形，则的度数为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．无法计算
【变式训练】
【变式1】（2022春·江苏·七年级专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A．B．C．或D．或或
【变式2】（2023春·七年级单元测试）已知中，，将按照如图所示折叠，若，则_____．
【变式3】（2021秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）中，，点D、E分别是边、上的点，点P是一动点．令，，．
(1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则__________；
(2)若点P在边上运动，如图（2）所示，则、、之间的关系为：__________；
(3)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由．
(4)若点P运动到形外，如图（4）所示，则、、之间的关系为：__________．
【经典例题七 正多边形的内角、外角问题】
【例7】（2022·四川绵阳·校考二模）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（ ）
A．110°B．120°C．118°D．122°
【变式训练】
【变式1】（2020春·河北石家庄·九年级校考开学考试）如图，以正五边形ABCDE的对角线AC为边作正方形ACFG，使点B落在正方形ACFG外，则的大小为
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝_____°．
【变式3】（2022秋·湖北荆州·八年级统考阶段练习）如图1，点M，N分别在正五边形ABCDE的边BC，CD上，BM=CN，连结AM，BN相交于H．
(1)求正五边形ABCDE外角的度数；
(2)求∠AHB的度数；
(3)如图2，将条件中的“正五边形ABCDE”换成“正六边形ABCDEF”，其他条件不变，试猜想∠AHB的度数．
【经典例题八 多边形的内角和、外角和的综合问题】
【例8】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，七边形中，，的延长线相交于点，若 ， ， ， 的外角的度数和为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，六边形中，的外角都相等，即，分别作和的平分线交于点P，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·八年级单元测试）（正多边形的每个内角都相等）如图，在正八边形中，对角线的延长线与边的延长线交于点M，则的大小为___．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图1，四边形ABCD中，点E在边AB上，∠BCE与∠BEC互余，过点E作EFCD，交AD于点F．
(1)若EF⊥CE，求证：∠AEF＝∠BCE；
(2)如图2，EG平分∠BEC交DC延长线于点G，∠BCD+∠ECD＝180°．点H在FD上，连接EH，CH，∠AHE+∠BCH＝90°．当∠D+∠AEF＝2∠G时，判断线段CH与CE的大小关系，并说明理由．
【培优检测】
1．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，D是上一点，E是上一点，，相交于点F，，，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·河北邯郸·八年级校联考期中）如图，将三角形纸片翻折，点A落在点的位置，折痕为．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·广东梅州·九年级校考期中）如图，，，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，和的外角平分线交于点O，设，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·八年级课时练习）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·重庆巴南·八年级校考期中）如图，在中，，，为延长线上一点，与的平分线相交于点，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考阶段练习）如图，五边形是正五边形，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2021春·湖北武汉·九年级校考自主招生）如图，中，，分别为上的点，的平分线分别交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
10．（2021秋·浙江台州·八年级校联考阶段练习）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（ ）
A．1440B．1800C．2880D．3600
11．（2022秋·天津·八年级校考期中）如图，已知中，于D，于E，交于点F，的平分线交于点O，则的度数为___________．
12．（2022秋·天津·八年级校考期中）如图，中，是的外角的平分线，交的延长线于点F，是的外角的平分线，交的延长线于点G，若，则的大小=___________（度）．
13．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，在中，，，D是上一点，将沿翻折后得到，边交于点F，若中有两个角相等，则______．
14．（2022秋·山西大同·八年级大同市第七中学校校考阶段练习）如图，是 的 和的外角的平分线的交点，若 ，则 __________．
15．（2021秋·重庆渝北·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且，则∠P=____________．
16．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝260°，则∠P＝_____．
17．（2022春·吉林长春·七年级统考期末）【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容．
【感知】如图①，在四边形中，分别是边的延长线，我们把、称为四边形的外角，若，则___________度．
【探究】如图②，在四边形中，分别是边的延长线，我们把、称为四边形的外角，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
【应用】如图③，、分别是四边形的外角的平分线，若，则的度数为______________________．
18．（2022·湖南常德·统考中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．
19．（2022春·八年级课时练习）一个五角星图案如图．已知五边形的各个内角都相等，分别求的度数．
20．（2022秋·天津河西·八年级统考期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角．
试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)；
探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系；
探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？
即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．
21．（2022秋·全国·八年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
(1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由．
(2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由．
(3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）
(4)拓展：如图4，在四边形中，O是与的平分线和的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）．
(5)运用：如图5，五边形
中，的外角分别是分别平分和且相交于点P，若，则 度．
22．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期中）请认真阅读下列材料，并完成相应学习任务．
探索四边形的内角和
数学课上，老师提出如下问题：我们知道，三角形的内角和等于，正方形、长方形的内角和都等于．那么，任意一个四边形的内角和是否也等于呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于吗？
“勤奋小组”的思路是：如图1，连接对角线，则四边形被分为两个三角形，即和．由此可得，
∵，
∴．即四边形的内角和是360°．
“智慧小组”受到“勤奋小组”的启发，他们发现，在四边形的一条边上取一点E，或在四边形内部取一点E，也可以将四边形分为几个三角形（如图2或图3），进而证明四边形内角和等于360°．
“创新小组”的思路是：如图4，在四边形外部取一点E，分别连接，，，…
任务一：
勤奋小组在探索四边形内角和的过程中，主要体现的数学思想是（ ）
A．从一般到特殊 B．转化 C．抽象
任务二：
在图2和图3中，选择一种，按照智慧小组的思路．求证：；
任务三：
如图4，请按照创新小组的思路求证：．
23．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）中，，点D、E分别是边上的点，点P是一动点．
(1)若点P在边上，如图1所示，且，则___________°；
(2)若点P在边上运动，如图2所示，则之间的关系为___________；
(3)若点P运动到边的延长线上，与的交点为M，如图3所示，则之间有何关系？猜想并说明理由．
24．（2022秋·河北沧州·八年级校考阶段练习）在四边形中，，．
(1)如图1，若，则______；
(2)如图2，若的平分线交于点E，且．求的度数；
(3)若和的平分线交于点E，延长，交于点F（如图3）．将原来条件“，”改为“”，其他条件不变，求的度数．
25．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）问题：若，点A在直线上，点B在直线上，点E为，之间一点，探，与之间的关系．
(1)如图1，延长与交于点F（方法一）；如图2，过点E作（方法二），发现：．请选择一种方法说明．
(2)小明同学进行了更进一步的思考：直线，点A、C在直线a上，点B、D在直线b上，直线，分别平分，，且交于点E．
①如图3，若，则_____________．
②如图4，若，则_________．（用含x的代数式表示）
(3)如备用图，射线与射线相交于点O，点A、C在射线上，，点B、D在射线上，其中A、B是定点，C、D是动点，且点D在点B右侧，直线，分别平分，且交于点E．若，，直接写出的度数．（用含m，n的代数式表示）
26．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；
阅读下面的内容，并解决后面的问题：
(1)如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；
(2)①在图3中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
证法1
证法2
如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．
∵（平角的定义），
∴（等量代换）．
如图2，过点作，∵，
（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，内错角相等），
又∵（平角定义），
∴（等量代换）．
现在我们时论三角形的外角及外角和．
如图9.1.9，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角．
三角形的外角写内角有什么关系呢？
在图中，显然有
（外角）（相邻的内角）
那么外角与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
依据三角形的内角和等于，我们有．
由上面两个式子，可以推出
．
．
因而可以得到你与你的同伴所发现的结论：
．
由此可知，三角形的外角有两条性质：
1．三角形的一个外角等于与它不相同的两个内角的和．
2．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
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