数学七年级下册7.1.2平面直角坐标系教学设计

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知识点1 有序数对
像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
注意：当时，和是不同的两个有序数对．
例1（2019秋•上城区期末）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A、B，其中A的位置可以表示成（60°，6），那么B可以表示为 （150°，4） ，A与B的距离为 213 ．
【答案】（150°，4），213．
【解答】解：B可以表示为（150°，4），
由题意可得：42+62=213．
故答案为：（150°，4），213．
【方法总结】
此题主要考查了坐标确定位置，正确理解题意得出横纵坐标的意义是解题关键．
例2 如图，台风中心A在O地的正南方向45km处，台风以30km/h的速度向正北方向移动．如果点A记为（0，﹣45），那么2h后台风中心的位置B记为 （0，15） ．
【解答】解：30×2＝60km，
60﹣45＝15km，
所以，2h后台风中心的位置B记为（0，15）．
故答案为：（0，15）．
【方法总结】
本题考查了坐标确定位置，根据路程、速度、时间三者之间的关系最后求出B到O的距离是解题的关键．
【随堂练习】
1．人们常把电脑屏幕上的点绘出确定的位置，如果电脑屏幕左上方的点是（0，0），右下方的点是（640，480），则屏幕中央的点是 （320，240） ．
【解答】解：∵电脑屏幕左上方的点是（0，0），右下方的点是（640，480），
则屏幕中央的点是（320，240）．
故答案为：（320，240）．
2．（2020•威海）如图①，某广场地面是用A，B，C三种类型地砖平铺而成的．三种类型地砖上表面图案如图②所示．现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A型）地砖记作（1，1），第二块（B型）地砖记作（2，1）…若（m，n）位置恰好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条件是 m、n同为奇数或m、n同为偶数 ．
【解答】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，
若（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数．
故答案为m、n同为奇数或m、n同为偶数．
【方法总结】
本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．
知识点2 各象限内点的坐标特征
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做横轴或轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做纵轴或轴，取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．
2、象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限，第二象限，第三象限和第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限．
3、点的坐标
对于坐标平面内的一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数、分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序实数对叫做点的坐标，记作．如下图为A（4，5）点坐标．
坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．
4、各象限内点的坐标特征
点在第一象限；
点在第二象限；
点在第三象限；
点在第四象限．
5、坐标轴上点的坐标特征：
点在轴上，为任意实数；
点在轴上，为任意实数；
点即在轴上，又在轴上，即点的坐标为．
【典例】
例1（2020春•恩平市期末）若点N（a+5，a﹣2）在y轴上，则a＝ ﹣5 ，N点的坐标为 （0，﹣7） ．
【答案】﹣5；（0，﹣7）．
【解答】解：∵点N（a+5，a﹣2）在y轴上，
∴a+5＝0，
解得：a＝﹣5，
∴a﹣2＝﹣7，
∴N点的坐标为（0，﹣7）．
故答案为：﹣5；（0，﹣7）．
【方法总结】
本题主要考查了点在y轴上时横坐标的特点．解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：点在y轴上，点的横坐标为0．
例2（2020春•闵行区期末）已知点A（m，n）在第四象限，那么点B（m，﹣n）在第 一 象限．
【答案】一．
【解答】解：∵点A（m，n）在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
∴﹣n＞0，
∴点B（m，﹣n）在第一象限，
故答案为：一．
【方法总结】
此题主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限内点的坐标符号，第一象限（+，+），第二象限（﹣，+），第三象限（﹣，﹣），第四象限（+，﹣）．
例3（2020春•东西湖区期末）已知点P（m﹣3，3m﹣4）在y轴上，则点P的坐标为 （0，5） ．
【解答】解：∵点P（m﹣3，3m﹣4）在y轴上，
∴m﹣3＝0，
解得：m＝3，
∴3m﹣4＝5，
故点P的坐标为：（0，5）．
故答案为：（0，5）．
【方法总结】
此题主要考查了点的坐标，正确把握y轴上点的坐标特点是解题关键．
例4（2019秋•萍乡期末）若点P（5+m，m﹣3）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为 （4，﹣4） ．
【解答】解：∵点P（5+m，m﹣3）在第二、四象限的角平分线上，
∴5+m+m﹣3＝0，
解得：m＝﹣1，
∴P（4，﹣4）．
故答案为：（4，﹣4）．
【方法总结】
本题考查了点的坐标的知识．解题的关键是掌握以下知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．
【随堂练习】
1．（2020春•重庆期末）已知点A（m﹣1，m+4）在y轴上，则点A的坐标是 （0，5） ．
【解答】解：∵点A（m﹣1，m+4）在y轴上，
∴点A的横坐标是0，
∴m﹣1＝0，解得m＝1，
∴m+4＝5，点A的纵坐标为5，
∴点A的坐标是（0，5）．
故答案为：（0，5）．
2．（2020春•海淀区校级期末）平面直角坐标系数中点M（a，a+3）在x轴上，则a＝ ﹣3 ．
【解答】解：∵点M（a，a+3）在x轴上，
∴a+3＝0，
解得a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
3．（2020春•西城区期末）已知点A（m﹣1，2m+3）在y轴上，则点A的坐标为 （0，5） ．
【解答】解：∵点A（m﹣1，2m+3）在y轴上，
∴点的横坐标是0，
∴m﹣1＝0，解得m＝1，
∴2m+3＝5，点A的纵坐标为5，
∴点A的坐标是（0，5）．
故答案为：（0，5）．
4．（2020•龙湾区二模）在平面直角坐标系中，点P的坐标是（m，3m﹣3）．则点P不可能经过第 二 象限．
【解答】解：当m＜0时，3m﹣3＜﹣3，点不可能在第二象限，
故答案为：二．
知识点3坐标轴的角平分线上点的坐标特征
两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征：
点在第一、三象限夹角的角平分线上；
点在第二、四象限夹角的角平分线上．
【典例】
例1（2020•新吴区二模）已知点A（m2﹣2，5m+4）在第一象限的角平分线上，则m的值为（ ）
A．6B．﹣1C．﹣1或6D．2或3
【解答】解：∵点A（m2﹣2，5m+4）在第一象限的角平分线上，
∴m2﹣2＝5m+4，
∴m2﹣5m﹣6＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝6，
当m＝﹣1时，m2﹣2＝﹣1，
点A（﹣1，﹣1）在第三象限，不符合题意，
所以m的值为6．
故选：A．
【方法总结】
本题考查了点的坐标，熟记第一象限平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键，易错点在于要注意对求出的解进行判断．
例2（2020秋•锦江区校级期中）已知点A（2a+5，a﹣3）在第一、三象限的角平分线上，则a＝ ﹣8 ．
【解答】解：点A（2a+5，a﹣3）在第一、三象限的角平分线上，且第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等，
∴2a+5＝a﹣3，
解得a＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【方法总结】
本题考查了各象限角平分线上点的坐标的符号特征，第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标互为相反数．
例3（2020春•南丹县期末）在平面直角坐标系xOy中，有一点P（a，b），实数a，b，m满足以下两个等式：2a﹣6m+4＝0，b+2m﹣8＝0．
（1）当a＝1时，点P到x轴的距离为 6 ；
（2）若点P在第一、三象限的角平分线上，求点P的坐标；
（3）当a＜b时，则m的取值范围是 m＜2 ．
【解答】解：（1）当a＝1时，则2×1﹣6m+4＝0，解得m＝1．
把m＝1代入b+2m﹣8＝0中，得b＝6．所以P点坐标为（1，6），
所以点P到x轴的距离为6．
故答案为6．
（2）当点P在第一、三象限的角平分线上时，根据点的横、纵坐标相等，可得a＝b．
由2a﹣6m+4＝0，可得a＝3m﹣2；由b+2m﹣8＝0，可得b＝﹣2m+8．则3m﹣2＝﹣2m+8，解得m＝2．
把m＝2分别代入2a﹣6m+4＝0，b+2m﹣8＝0中，解得a＝b＝4，所以P点坐标为（4，4）．
（3）由（2）中解答过程可知a＝3m﹣2，b＝﹣2m+8．若a＜b，即3m﹣2＜﹣2m+8，解得m＜2．
故答案为m＜2．
【方法总结】
（1）把a＝1代入2a﹣6m+4＝0中求出m值，再把m值代入b+2m﹣8＝0中即可求出b的值，再根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值即可求解；
（2）借助两个等式，用m把a、b分别表示出来，再根据题意可知P点的横、纵坐标相等，列关于m的方程求出m的值，最后求出a、b值．
（3）把a、b用m表示出来，代入a＜b，则m的取值范围可求．
【随堂练习】
1．（2020秋•甘州区校级期中）若点P（a+13，2a+23）在第二，四象限角平分线上，则a＝ -13 ．
【解答】解：∵点P（a+13，2a+23）在第二、四象限的角平分线上，
∴a+13+2a+23=0，
解得a=-13．
故答案为：-13．
2．（2020秋•雁塔区校级月考）若点A（m+2，﹣3）与点B（﹣4，n+5）在二四象限角平分线上，则m+n＝ 0 ．
【解答】解：∵A（m+2，﹣3）在二四象限角平分线上，
∴m+2＝3，
解得m＝1，
∵点B（﹣4，n+5）在二四象限角平分线上，
∴n+5＝4，
解得n＝﹣1，
∴m+n＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
知识点4 规律性--点的坐标
在平面直角坐标系内找点的规律：
1、尽可能多的找出点的坐标，已知的点越多，越好找规律；
2、点的横坐标和纵坐标的规律一般不同，需要分别考虑；
3、要注意所求点的横、纵坐标的正负．
【典例】
例1（2020秋•阜南县期中）如图，一个粒子在第一象限和，轴的正半轴上运动，在第一秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在轴、轴的平行方向来回运动，（即，，，，，，且每秒运动一个单位长度，那么2020秒时，这个粒子所处位置为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，
设粒子运动到，，，时所用的间分别为，，，，
则，，，，，，
，
，
，
，
，
相加得：
，
．
，故运动了1980秒时它到点；
又由运动规律知：，，，中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．
故达到时向左运动40秒到达点，
即运动了2020秒．所求点应为．
故选：．
【方法总结】
考查了规律型：点的坐标，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列通项的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：，，中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．
例2 （2020春•齐齐哈尔期末）如图，已知，，，，，，则坐标为的点是 ．
【解答】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限，
，
点在第三象限，
是第三象限的第505个点，
点的坐标为：．
故答案为：．
【方法总结】
此题主要考查了点的坐标，属于规律型题目，解答此类题目一定要先注意观察，本题第三象限的点的坐标特点比较好判断，我们可以利用这一点达到简化步骤的效果．
【随堂练习】
1．（2020春•汉阳区校级月考）如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在轴、轴的平行方向来回运动，（即，，，，，，且每秒运动一个单位长度，那么第32秒时，这个粒子所处位置的横、纵坐标之和为 8 ．
【解答】解：先看横坐标，横坐标为1的时刻有1、2、5、14、17，
横坐标为2的时刻有6、7、8、13、18，
横坐标为3的时刻有9、10、11、12、19、32，
横坐标为4的时刻有20、21、22、23、24、31，
横坐标为5的时刻有25、26、27、28、29、30，
第32秒时横坐标为3；
再看纵坐标，纵坐标为1的时刻有2、3、7、10、23、26，
纵坐标为2的时刻有4、5、6、11、22，
纵坐标为3的时刻有12、13、14、15、21、28，
纵坐标为4的时刻有16、17、18、19、20、29，
纵坐标为5的时刻有30、31、32、33、34、35，
第32秒时坐标为．
横、纵坐标之和为8．
故答案为：8．
2．（2020春•徽县期末）如图，直角坐标平面内，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，，按这样的运动规律，动点第2018次运动到点的坐标是 ．
【解答】解：点的运动规律是每运动四次向右平移四个单位．
动点第2018次运动时向右个单位
点此时坐标为
故答案为：．
综合运用
1．（2020春•新乡期末）如图，在正方形网格中，已知点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示：点的坐标为．
故选：．
2．（2020春•林州市期末）已知第二象限的点，那么点到轴的距离为
A．B．C．D．
【解答】解：点在第二象限，
，
点到轴的距离为：．
故选：．
3．（2020春•汉阳区校级期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的值是
A．B．C．3D．5
【解答】解：假设，则，，，，，
，，，，为自然数）．
，
的坐标为，
，，
．
故选：．
4．（2020春•凉州区校级期中）已知点在第三象限，则点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：点在第三象限，
，，
，，
点在第一象限．
故选：．
5．（2020春•崇川区校级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如图顺序依次排列为，，，，，，，根据这个规律，第2020个点的坐标为
A．B．C．D．
【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，，
右下角的点的横坐标为时，共有个，
，45是奇数，
第2025个点是，
第2020个点是．
故选：．
6．（2020春•开封期末）一个长方形框放在平面直角坐标系中，如图所示，，，，．把一条长为2020个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边框上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 ．
【解答】解：，，，，
，，，，
绕四边形一周的细线长度为，
，
细线另一端在绕四边形第202圈的第10个单位长度的位置，
即在点的位置，点的坐标为，
故答案为：．
7．（2020春•博兴县期末）如图，动点在平面直角坐标系中按箭头所示方向做折线运动，即第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到，．按这样的运动规律，经过第2020次运动后，动点的坐标是 ．
【解答】解：第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到，，
按这样的运动规律，第几次横坐标即为几，纵坐标为：1，0，2，0，1，0，2，0，，4个一循环，
，
经过第2020次运动后，动点的坐标是．
故答案为：．