北师大版九年级下册1 二次函数教案

这是一份北师大版九年级下册1 二次函数教案，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。

1.能结合具体情境，表示变量之间的二次函数关系，理解二次函数的概念.
2.会应用二次函数的概念，进行二次函数关系的判断.
3.在通过实际情境归纳出二次函数概念的过程中，体会函数的模型思想.
4.通过对贴合生活的实例的探讨，感受生活中处处有数学，培养数学学习的兴趣.
二、教学重难点
重点：能结合具体情境，表示变量之间的二次函数关系，理解二次函数的概念；
难点：会应用二次函数的概念，进行二次函数关系的判断；
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设情境
【情境引入】
教师活动：教师描述情境，并提出问题引发学生思考，引出本节课要讲解的内容.
画一个正方形，如果它的边长变化，正方形的哪些量也发生变化？
（1）正方形的周长?与边长?之间的函数关系式 . .
（2）正方形的面积?与边长?之间的函数关系式 .
（1）C=4x，S=x2
（2）C=4×32x，S=32x2
（3）C=4×2x，S=2x2
上述解析式是我们学过的一次函数吗？如果不是，那这种函数叫什么? 这节课我们一起来学习吧.
认真思考
通过情境引入，激发学生的探索兴趣和求知欲望.
环节二 探究新知
【合作探究】
教师活动：教师出示问题，先让学生分组探究，再让学生展示过程，最后教师用课件展示探究过程.
问题1：某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结600 个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子.
（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
展示探究过程：
变量：新增的橙子树棵数、橙子总产量
自变量：新增的橙子树棵数
因变量：橙子总产量
小结：因变量随自变量的变化而变化
（2）假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
展示探究过程：
（3）如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x 之间的关系式.
问题2：设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存. 如果存款额是 100 元，那么请你写出两年后的本息和 y（元）的表达式.
展示探究过程：
本息和=本金+利息
=本金+本金×年利率×时间
一年后本息和：
y=100+100x=1001+x
两年后本息和：
y=1001+x+1001+xx
=100x2+200x+100
问题3：（1）已知矩形的周长为 40 cm，它的面积可能是 100 cm2 吗？可能是 75 cm2吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？
（2）两数的和是 20，设其中一个数是 x，你能写出这两数之积y 的表达式吗？
解析：（1）设矩形的一边长为xcm，则与其相邻的另一边长为（20-x）cm.
100=x×1240−2x 解得x1=x2=10
75=x×1240−2x 解得x1=5，x2=15
这个矩形的面积与其一边长的关系为：
y=−x²+20 x （0（2）其中一数是x，则另一数是20−x.
y=x(20−x)= −x²+20
【思考】
这些函数有什么共同特点？请你结合学习一次函数的经验，给它下个定义.
【归纳】
一般地，形如 y = ax2+ bx + c（a，b，c 是常数，a ≠ 0）的函数叫做x的二次函数.
a为二次项系数，
ax²为二次项，
b为一次项系数，
bx为一次项，
c为常数项.
注意：
（1）关于x的代数式一定是整式；
（2）自变量的最高次数为2；
（3）二次项系数不为零.
【议一议】
在前边讨论的问题中，自变量能取哪些值？
①y=−5x2+100x+60000；
②y=100x2+200x+100；
③y=−x2+20 x.
预设：
①0≤x＜120.
②x＞0.
③0＜x＜20.
认真思考，并分组探究交流

熟悉探究过程
跟随教师的思路认真完成探究
认真思考并计算
思考回答问题.
通过分组探究的形式让学生探究函数的表达式，培养合作探究的意识，体会函数思想.
展示探究过程，让学生明白如何确定的自变量、因变量，如何写出的函数表达式.

在探究过程中让学生学会确定函数表达式，并进一步感受函数思想.
提供两个几何背景的问题，让学生从丰富的现实背景中体会函数模型的意义.
在大量模型的基础上归纳出二次函数的基本形式.
通过猜想培养学生归纳总结的能力.
让学生了解求函数自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分.
环节三
应用新知
【典型例题】
【例1】下列函数中，那些是二次函数
1y = x+2； 2y =−12x2+1 ；
3y=1x ; 4y =x2 ；5y=x+3²−x².
分析：二次函数解析式的三个特征：
函数解析式等号两边必须是整式；
化简后自变量的最高次为2；
二次项系数不为0.
解：
(1) x的最高次幂不是二次，不是二次函数.
(2) ?的最高次幂是二次，且系数不为零，是二次函数.
(3)y=1x, 等号右边不是整式，不是二次函数.
(4) ?的最高次幂是二次，且系数不为零，是二次函数.
(5) y=x+32−x²=6x+9，一次函数.
【例2】已知正方体的棱长为? cm,表面积为? cm²，体积为? cm³.
（1）分别写出 ?与?， ?与?之间的函数关系式.
（2）这两个函数中，哪一个是?的二次函数？
解:（1） S=6×x2=6x2， V=x3.
（2）?=6?2是?的二次函数.
明确例题的做法
让学生在学习例题的过程中进一步加深对二次函数定义的理解，培养学生的应用意识.
环节四
巩固新知
【随堂练习】
1. 指出下列二次函数中相应的a，b，c的值:
(1) y=−5x2+3x+1 ;
(2) y=x+12−1 ;
(3) y=−x2+6 .
2.正方形的边长为4，当边长增加x时，面积增加y，求y与x之间的函数关系式，这个函数是二次函数吗？
3. 已知二次函数 y=ax2+c,当x=2时,y=4;当x=−1时,y=−3,求 a、c 的值.
答案：
1.解：(1)a=−5,b=3,c=1.
(2)y=x+12−1=x2+2x, 所以 a=1,b=2,c=0.
(3) a=−1,b=0,c=6.
2.解：因为正方形的边长为4，当边长增
加x时，面积增加y，
所以y=x+42−16=x2+8x.
3.解把x=2,y=4;x=−1,y=−3
代入函数y=ax2+c，
得4a+c=4,a+c=−3, 解得a=73,c=−163.

自主完成练习，然后集体交流评价.
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五
课堂小结
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容：
回顾本节课所讲的内容
通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六
布置作业
教科书第30页
习题2.1第1、3题
课后完成练习
通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.