北师大版九年级下册5 确定圆的条件教案

这是一份北师大版九年级下册5 确定圆的条件教案，共9页。教案主要包含了教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，进一步体会解决数学问题的策略.
2.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
3.学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果，培养学生的探索能力.
4.形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.
二、教学重难点
重点：1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论.
2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.
难点：经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设
情境
教师活动：教师提出问题，引导学生回答，师生共同回顾、交流，适时做好总结.
问题1：构成圆的基本要素有哪些？
预设：两个条件:圆心和半径
追问：已知 和 可以作一个圆；
已知 也可以作一个圆；
作圆的关键是 .
预设：圆心；半径；线段AB为直径；确定圆心和半径.
问题2：线段垂直平分线上的点具有什么样的性质？
预设：线段垂直平分线上的点和线段的两个端点的距离相等.
追问：还记得怎样用尺规作一条线段的垂直平分线吗？
预设：1.分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
2.作直线CD.
问题3：过一点可以作几条直线？
预设：无数条.
追问：过几点可以确定一条直线？
预设：两点.
思考：过几点可以确定一个圆呢？
思考并回答问题.
思考并回答问题.
回顾旧知识，为本节课作铺垫，与作直线类比，引出确定圆的条件问题.
环节二
探究
新知
教师重视学生的课堂参与，让学生在活动中自主探究以及与同伴交流，培养有条理的思考和总结归纳的能力，进而提升分析问题和解决问题的能力.
【做一做】
提出问题：作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
教师活动：先由学生自己动手尝试画图.师巡视发现学生出现的问题.待学生完成后，询问作出的圆的个数.
因为圆心不定，所以半径也就不定，所以可以作无数个圆.
（多媒体动画演示画圆）
经过一个已知点能作无数个圆.
追问1：作圆，使它经过已知点A，B.你能作出几个这样的圆？
经过两个已知点A、B 能作无数个圆.
追问2：圆心的位置有什么特点？与线段A、B 有什么关系？为什么？
预设：圆心到A、B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.
追问3：作圆，使它经过已知点 A，B，C(A，B，C 三点不在同一条直线上) .你能作出几个这样的圆？
教师活动：教师让学生说出自己利用尺规画不在同一条直线上的三点作圆的方法和步骤，教师同时利用多媒体展示作法，让没完成的同学跟着完成.
（多媒体动画演示画圆）
作法：
1. 连结 AB，BC.
2. 分别作线段 AB，BC 的垂直平分线 DE 和 FG，DE 与 FG 相交于点 O.
3. 以 O 为圆心，以 OB 的长为半径作圆.
⊙O 就是所要求作的圆.
教师活动：引导学生通过思考明确这样的基本思想：作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定.
追问4：说说以上作法的道理.
预设：在上面的作图过程中，点O是线段AB，BC的垂直平分线DE和FG的交点，它到 A，B，C 三个点的距离相等，因为直线 DE 和 FG 有且只有一个交点 O，所以经过 A，B，C 三点能且只能作一个圆.
思考：过如下三点能不能作圆?为什么?
预设：不能.因为l1与l2平行，两直线没有交点，圆心不存在.
教师活动：要向学生明确为什么在同一条直线上的三个点不能确定一个圆.
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.
教师强调：有且只有一个这样的圆.
已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.
【归纳】
概念：
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.
作图：三角形三边垂直平分线的交点.
性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
【做一做】
你能设法确定一张圆形纸片的圆心吗？你有哪些方法？
教师活动：组织学生讨论思考，动手操作，对于遇到困难的学生给予帮助.
预设：方法一：
(1)对折两次，折痕的交点即为圆心；
方法二：
(2)在圆纸片上画两个90°的圆周角，使它们所对的弦相交，这个交点就是圆心；
方法三：
在圆中画两条不平行的弦，分别作这两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心；

【做一做】
下列说法是否正确.
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( )
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( )
(3)经过三点一定可以确定一个圆( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
答案：(1) √ ；(2)×；(3) × ；(4)√.
总结：一个三角形的外接圆有一个；一个圆的内接三角形有无数个.
【探究】
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
教师活动：教师组织学生分组作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并实物投影，根据图形说明它们外心的位置情况.
预设：
锐角三角形：内部
直角三角形：斜边中点
钝角三角形：外部
学生自己动手尝试画图
学生自己动手尝试画图
学生思考，回答问题
学生自己动手尝试画图
学生思考，回答问题
认真思考并做笔记
分小组讨论，动手操作，然后以小组为单位回答问题.
学生思考并回答问题.
学生动手画图，然后回答问题.
由易到难让学生经历画圆的过程，从中探索确定圆的条件.
以问题串的形式引导学生由易到难地开展探究活动、培养学生的探究精神，使学生体会在这一过程中所体现的归纳思想.
通过三角形外接圆、三角形外心的概念等问题，实现本节课的教学目标，突破重点、难点，使学生巩固过三点作圆的方法.
方法有很多，鼓励学生通过画图找出圆心，培养学生的画图能力和思维能力.
增加学生对三角形外接圆的理解，并锻炼学生有条理的数学表达能力.
通过合作交流，了解三种三角形外心的位置.巩固找三角形外心的方法，进一步体验“不在同一直线上的三点确定一个圆”的事实.也体会到三角形的形状对它的外心位置带来的影响.
环节三
应用
新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【例】 已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，求⊙O的半径.
【分析】已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，则AD平分BC，再根据垂径定理的推论得出AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长，进而求出面积.
解：过A作AD⊥BC于D，连接BO.
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
则AD必过圆心O，
Rt△ABD中，AB=5，BD=3，∴AD=4
设⊙O的半径为x，
Rt△OBD中，OB=x，OD=4-x，BD=3
根据勾股定理，解得：x=3.125．
思考问题，尝试回答问题，明确例题的做法.
通过例题让学生再次感受三角形外接圆的相关知识，让学生经历知识的探索、发现、掌握、应用的过程.使学生在实际动手计算、制作中体验合作的愉快及成功的喜悦.进一步理性地感受上一个环节中得出的结论，培养学生数学思考的严谨性，判断推理的科学性，以及语言表述的准确性.

环节四
巩固
新知
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1．下列给定的三点能确定一个圆的是( )
A．线段的中点及两个端点.
B．角的顶点及角的边上的两点.
C．三角形的三个顶点.
D．矩形的对角线交点及两个顶点.
答案：C
2．设⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0，0)，点 P的坐标为(4，-3)，则点P在( ).
A．在⊙O内 B．在⊙O上
C．在⊙O外 D．在⊙O内或外
答案：B
3.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则等腰直角三角形的直角边长为( )
A． B．
C． D．
答案：A
4.如图,已知☉O是△ABC的外接圆,连接AO.若∠B=40°,则∠OAC= .
答案：50°
5.如图，☉O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交☉O于点E，交BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点F.
(1)求证：BE=EF；
(2)若DE=4，DF=3，求AF的长.
【分析】(1)通过证明∠BFE=∠EBF得到EB=EF；
(2)先证明△EBD∽△EAB，再利用相似比求出AE，然后计算AE-EF即可得到AF的长.
证明：(1)∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠4.
∵∠1=∠5，∴∠4=∠5.
∵BF平分∠ABC，∴∠2=∠3.
∵∠6=∠3+∠4=∠2+∠5，
即∠6=∠EBF，
∴BE=EF.
(2)∵DE=4，DF=3，∴BE=EF=DE+DF=7.
∵∠5=∠4，∠BED=∠AEB，∴△EBD∽△EAB，
∴ 即
∴
∴AF=AE-EF=
自主完成练习，然后集体交流评价.
及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑.在练习中联系相关知识分析、推理，说明解决问题的想法，获得相关问题的成功体验，培养学生对推理知识学习的兴趣.
环节五
课堂
小结
回顾本节课所讲的内容
通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六
布置
作业
教科书第88页
习题3.6
第2、3、4题
课后完成练习
通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.