初中人教版12.1 全等三角形教案

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请老师根据学生的具体情况自行填写
知识导图
课首小测
[单选题] [全等三角形的性质] [难度： ★ ]下列说法正确的是（）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积分别相等D．所有等边三角形都是全等三角形
【参考答案】C
【题目解析】形状相同的两个三角形有可能是相似三角形，面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，两个等边三 角形，边长如果不相等那么它们两个不会全等！全等三角形的周长和面积一定相等。
[单选题] [全等三角形的判定] [难度： ★ ] （2016年广州市小联盟试题） 如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）．
A．∠BCA＝∠FB．∠B＝∠E
C．BC∥EFD．∠A＝∠EDF
【参考答案】B
【题目解析】在图形中AB＝DE，BC＝EF，显然△ABC和△DEF两边对应相等，所以应该去看两边的夹角，
∠B=∠E。
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
利用ASA，AAS判定两个三角形的全等
课型
一对一
教学目标
利用尺规作图画一个三角形，使得它和已知三角形的两个角相等，以及两个角的夹边也相等。
通过对所画三角形和已知三角形进行对比，发现这两个三角形全等，引导学生自己总结出ASA，3.通过对ASA的研究，进一步引导学生能推导出AAS，并会利用ASA，AAS来判定两个三角形的全等。
重、难点
在复杂图形中，寻找全等条件。
[全等三角形的判定] [难度： ★ ] 如图，将两根钢条，的中点O连在一起，使，可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出的长等于内槽宽AB；那么判定△OAB≌△的依据是 ．
【参考答案】SAS
【题目解析】，的中点为O， 两边分别对应相等，夹角为对顶角，所以△OAB≌△
[全等三角形的判定] [难度： ★★ ] 如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），如果要使
△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 .
【参考答案】（4，-1）；（-1，3）；（-1，-1）。
【题目解析】根据图形的对称性，但是要注意分类讨论的思想，不要漏解。
[单选题] [全等三角形的性质] [难度： ★ ] 如图，△ABC≌△A’B’C’， ∠BCB’＝30°，则∠ACA’的度数为
（）
A. 20°B. 30°C. 35°D.40°
【参考答案】B
【题目解析】因为△ABC≌△A’B’C’，所以∠ACB=∠A’CB’，即：∠AC A’+∠A’CB=∠BCB’+∠A’CB， 所以∠AC A’=∠BCB’=30°
[全等三角形的判定] [难度： ★ ] 已知：如图，点B，C，E，F在同一条直线上，AB＝DF，BE＝FC，AC＝DE．求证：
△ABC≌△DFE．
【参考答案】证明：∵BE=FC
BC=BE-CE EF=CF-CE
∴BC=EF（等量的差相等） 在△ABC和△DFE中AB＝DF
AC＝DE
BC=FE
∴△ABC ≌ △DFE （SSS）
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★ ] 已知：如图，CA＝CD，E为AB上一点，且CE＝CB，∠DCA＝∠ECB． 求证：AB＝DE．
【参考答案】 证明：∵∠DCA＝∠ECB．
∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE
∴∠DCE=∠BCA 在△DCE和△ACB中CA＝CD
∠DCE=∠ACB CE＝CB
∴△DCE ≌ △ACB (SAS)
∴AB=DE
导学一 ： 全等三角形的判定——ASA
知识点讲解 1：利用ASA判定三角形全等例题
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★ ] （2012年广州市中考） 如图，D点在AB上，E点在AC上，AB＝AC，∠B＝
∠C，求证：AD＝AE．
【参考答案】证明：在△ADC和△AEB中
∠A=∠A （公共角） AB=AC（已知）
∠B＝∠C（已知）
∴△ADC ≌ △AEB（ASA）
∴ AD＝AE．
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] 如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥DE，AC∥DF，求证： AB＝DE，AC＝DF．
【参考答案】证明：∵AB∥DE，AC∥DF
∴∠B=∠E，∠ACF=∠DFC
∵FB=CE
∴FB+FC=CE+FC
∴ BC=EF
在△ABC和△DEF中
∠B=∠E BC=EF
∠ACF=∠DFC
∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）
∴ AB＝DE，AC＝DF
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1. [全等三角形的判定与性质] [难度： ★ ] 已知:如图，AB＝AD，∠B=∠D，∠BAD＝∠CAE，.求证:BC＝DE.
【参考答案】证明：∵∠BAD＝∠CAE
∴ ∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC
∴ ∠BAC=∠DAE 在△BAC和△DAE中
∠BAC＝∠DAE AB＝AD
∠B=∠D
∴△BAC ≌ △DAE （ASA）
∴BC=DE
导学二 ： 全等三角形的判定——AAS
知识点讲解 1：利用AAS判定三角形全等例题
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★ ] 如图，∠DCE=90，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，求证： AD+AB＝BE.
【参考答案】证明：∵AD⊥AC，BE⊥AC
∴∠A=∠EBC=90
∵∠DCE=90
∴∠ECB+∠ACD=90
∵∠ECB+∠E=90
∴∠ACD=∠E
在△ADC和△BCE中
∠A=∠EBC
∠ACD=∠E CD=CE
∴△ADC ≌ △BCE （AAS）
∴AD=BCAC=BE
∵AC=AB+BC
∴AD+AB＝BE.
【思维对话】
常见的思维障碍：
从CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC容易得到两个角相等，两条边相等，但不知道∠DCE=90有什么用处，不会利用互余关系和等角代换思想。
没有想到利用全等三角形的性质，所以无法把BE转换成AC，AD转换成BC，从而证不出线段和差关系。
突破思维障碍的方法：
（1）从题目条件我们容易得到一个角以及这个角所对的边对应相等，所以我们只能用“AAS”的判定方法，从而把目标锁定在和或 中。
（2）引导学生利用直角三角形中的互余关系，进行等角替换，从而得到=或者
，即可用AAS证明全等。
（3）得到全等后就要想到全等三角形的性质，证明线段和差关系中，把线段进行转换是一个很重要的思想。
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] 如图, OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB,求证:PD=PE
【参考答案】证明：∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
∵PD⊥OA,PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90
在△POD和△POE中
∠AOC=∠BOC
∠PDO=∠PEO=90
OP=OP(公共边相等)
∴ △POD ≌ △POE （AAS）
∴ PD = PE
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1. [全等三角形的判定与性质] [难度： ★ ]已知：如图，AB∥DC，BE=DF，过点O作EF交AB，DC于E，F，求证：OE＝ OF．
【参考答案】证明：
∵AB∥DC
∴∠ABD=∠CDB
在△BEO和△DFO中
∠ABD=∠CDB
∠EOB=∠FOD BE=DF
∴ △BEO ≌ △DFO（AAS）
∴ OE = OF
导学三 ： 综合应用
例题
1. [全等三角形的判定与性质] [难度： ★★★ ] 已知：如图，BD、CE是△ABC的高，D、E为垂足，在BD上截取BF，使
BF＝AC，在CE的延长线取一点G，使CG＝AB.求证：AF＝AG；AG⊥AF.
【参考答案】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠BDC=∠CEB=90
∴∠EBF+∠EFB=90
∠DCF+∠DFC=90
∵∠EFB=∠DFC（对顶角相等）
∴∠EBF=∠DCF
在△BAF和△CGA中BF＝CA
∠EBF=∠DCF CG＝BA
∴△BAF ≌ △CGA （SAS）
∴AF=AG∠BAF=∠G
∵∠G+∠GAB=90
∴∠BAF+∠GAB=90
∴ ∠GAF= 90
【思维对话】
∴AG⊥AF.
常见的思维障碍：
观察图形能力薄弱，无法抓住题目的条件，从而找不准全等三角形；
找不出图形中隐含条件，不会利用对顶角相等，从而得不到∠EBF=∠DCF；
不会根据“直角三角形的两个锐角互余”，也不会运用“有两个角互余的三角形是直角三角形”来证明AG⊥AF。
突破思维障碍的方法：
在几何证明中通常遇到证明两条线段的相等，一般有两条思路，第一可以考虑证明角的相等，利 用“等角对等边”，第二可以借助全等三角形的对应边相等来解决问题。那我们如何快速的来寻找全等条件呢？分为以下几种情况：
如果已知两个三角形两边对应相等了，我们可以观察它们的第三边是否相等，如果相等可以利用
SSS判定全等，如果第三边不相等，我们可以观察两边的夹角是否对应相等，如果夹角相等，我们可以借助SAS判定全等。
如果两个三角形两角已经对应相等，我们可以观察两角的夹边是否相等，如果夹边相等可以借助
ASA判定全等，还可以观察任意一对等角所对的边是否对应相等，如果相等，可以利用AAS判定全等，总而言之，可以这样说，如果两个三角形只要两角对应相等，这个时候只要随便找一条边对应相等，均可判定两个三角形的全等。
已知一条边，一个角，我们可以利用SAS， ASA，AAS具体可以根据学生情况帮学生分情况具体分析一下，上面这道题，显然已经知道了BF＝AC，CG＝AB. 两边对应相等，显然看夹角，夹角通过互余，利用等角或同角的余角相等。这个方法在几何证明中经常遇到，题目中出现很多直角，或者很多垂直的时 候一定要想到利用等角或同角的余角相等来证明角相等。
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1. [全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2016年广州市白云区新市片区联考） 已知：如图，△ABC中，AD⊥BC 于点D，AD=DC，∠FCD=∠BAD，点F在AD上，BF的延长线交AC于点E．
求证：△ABD≌△CFD；
求证：BE⊥AC；
设CE的长为m，用含m的代数式表示AC+BF。
【参考答案】证明：（1）∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90
在 △ABD和△CFD中
∠ADB=∠ADC AD=DC
∠FCD=∠BAD
∴△ABD≌△CFD（ASA）
（2）∵△ABD≌△CFD
∴BD=DF
∴∠DBF=45
∵AD=DC，∠ADC=90
∴∠DCA=45 在 △BCE中，
∠BEC=180 -∠DBF-∠DCA=90
∴BE⊥AC
（3）∵BE⊥AC∠DAC=45
∴EA=EF
∵∠EBC=∠ECB=45
∴BE=CE
∴AC+BF=CE+ EA+BF= CE+ EF+BF=CE+BE=2m
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[单选题] [全等三角形的判定] [难度： ★ ] （2015年广州市白云区期末考试） 如图，AD=AC，BD=BC，则
△ABC≌△ABD的根据是（）
A．SSSB.ASAC.AASD.SAS
【参考答案】A
【题目解析】已知条件已经告诉了两边相等，显然AB为公共边，一定要善于发现公共边这个隐含条件。
[单选题] [全等三角形的判定] [难度： ★ ] （2016年广州市汇景中学期中考试） 如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是
（）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【参考答案】D
【题目解析】由于三角形的一个角被墨迹污染了，但是我们可以看到另外的两个角保存完好，并且这两个角的夹边也 是清晰可见的，所以我们只需要度量出两个角的度数，在量出夹边的长度，就可以画出一个一摸一样的三角形，依据是ASA。
[单选题] [全等三角形的判定] [难度： ★ ] （2015年广州市汇景中学期中考试） 如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）
A．AB=ACB．BD=CDC．∠B=∠CD．∠BDA=∠CDA
【参考答案】B
【题目解析】图形中AD为公共边，∠1=∠2，如果添加BD=CD的话，这是典型的SSA，SSA是不能判定三角形全等的。
[全等三角形的判定] [难度： ★ ] （2016年广州市天河区期末考试） 如图，已知点A、D、B、F在一条直线上，
AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 .（只需填一个即可）
【参考答案】∠A=∠F
【题目解析】因为AD=FB，所以很容易得出 AB=DF，再添加∠A=∠F，可根据SAS判定△ABC≌△FDE。当然还可以添加其他条件。
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2016年广州市越秀区第七中学期中考试） 如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P.
（1）求证：△ABM≌△BCN（2）求∠APN的度数
【参考答案】证明：∵ 在正五边形ABCDE中
∴ AB=BC，∠ABM=∠C=108
在△ABM和△BCN中AB=BC
∠ABM=∠C BM=CN
∴△ABM≌△BCN（SAS）
∴∠CBN=∠BAM
∵∠APN 是△ABP的外角
∴∠APN=∠ABP+∠BAM
∴∠APN=∠ABP+∠CBN
∴∠APN=∠ABM=108
课后作业
[单选题] [全等三角形的判定] [难度： ★ ] 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）．
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去
【参考答案】C
【题目解析】部分③保留完好的有两个完整的角，以及两个角的夹边也相等，根据ASA可以找到一个三角形和它全等。
[全等三角形的判定] [难度： ★ ] 如图，AB与CD相交于点O，且，要添加一个条件，才能使得△≌△
，那么：
方法一，可以添加的一个条件是： ，
判断三角形全等的依据是；
方法二，可以添加的一个条件是：，
判断三角形全等的依据是；
方法三，可以添加的一个条件是：， 判断三角形全等的依据是 ．
【参考答案】方法一， CO=DO；SAS。
方法二， ∠A=∠B；ASA。 方法三,∠C=∠D；AAS。
【题目解析】这个题是开放性题，主要抓住∠AOC=∠BOD，对顶角相等。利用我们的判定三角形全等的方法添加条件。
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2016年广州市海珠区蓝天中学期中考试） 如图，BF=CE，BE⊥AC于点
E，CF⊥AB于点F，BF和CF相交于点D。求证：AD是∠BAC的的角平分线。
【参考答案】证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F
∴∠AFC=∠AEB=∠BFC=∠CEB=90
在△BFD和CED中
∠BFC=∠CEB
∠FDB=∠EDC BF=CE
∴△BFD ≌ △CED （AAS）
∴ED=FD
在Rt△ADF和Rt△ADE中ED=FD
AD=AD （公共边相等）
∴ Rt△ADF ≌ Rt△ADE（HL）
∴∠BAD=∠CAD
AD是∠BAC的的角平分线
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★ ] （2016年广州市汇景中学期中考试） 如图，△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．
【参考答案】证明：∵ △ABC中，AB=AC
∴ ∠B=∠C
∵ D是BC边的中点
∴BD=DC
∵ DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∴∠DEB=∠DFC 在△BDE和△CDF中
∠DEB=∠DFC
∠B=∠C BD=CD
∴△BDE ≌ △CDF （AAS）
∴DE=DF
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2015年广州市白云区新市片区联考） 如图，C、B、E三点在一直线上，AC⊥CB，DE⊥BE，∠ABD=90°，AB=BD，
试证明AC+DE=CE．
【参考答案】证明：∵ AC⊥CB，DE⊥BE
∴∠C=∠E=90°
∵∠ABD=90°
∴∠ABC+∠DBE=90°
∵∠BDE+∠DBE=90°
∴∠ABC=∠BDE
在△ABC和△BDE中
∠C=∠E
∠ABC=∠BDE AB=BD
△ABC ≌ △BDE （AAS）
∴ AC=BEBC=DE
∵CE=CB+BE
∴CE=AC+DE
认真完成课后作业，及时回顾错题并收集分析。
总结本次课学习的几种数学思想与解题方法。