初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形教学设计及反思

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课首沟通
询问学生上节课的掌握情况，已经学习了那些全等三角形的判定方法以及作业的完成情况。
知识导图
课首小测
[单选题] [全等图形] [难度： ★★ ] 下列说法不正确的是（）
能够完全重合的两个图形是全等形B. 形状相同的两个图形是全等形
C. 大小不同的两个图形不是全等形D. 形状、大小都相同的两个图形是全等形
【参考答案】B
【题目解析】形状、大小都相同的两个图形才是全等形，B只强调形状相同所以不对。
2. [单选题] [全等三角形的性质] [难度： ★★ ] 如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则
∠EAC的度数为 （）
A.40°B.35°C.30°D.25°
【参考答案】B
【题目解析】
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
HL、角平分线的画法、性质与判定、全等三角形综合判定
课型
一对一/一对N
教学目标
1、掌握HL的判定条件和方法。
2、掌握角平分线的画法性质与判定。
3、利用所学学会用适当的方法来判定三角形的全等。
重、难点
1、掌握HL的判定条件和方法。
2、掌握角平分线的画法性质与判定。
3、利用所学学会用适当的方法来判定三角形的全等。
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2013年期末） 如图，∠CAB=∠DBA，AC=BD，AC与BD交于点E。求证：
∠CAD=∠DBC。
【参考答案】
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2015年期末） 已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2。求证：
∠C=∠B。
【参考答案】
【题目解析】首先根据∠1=∠2可证明∠CAE=∠BAD，然后由SAS可证△ACE≌△ABD，即可证明∠C=∠B。
导学一 ： 直角三角形全等判定（HL）
知识点讲解 1
HL的判定条件：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等在Rt△ABC和Rt△DEF中
例题
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2014-2015年二十一中期中） 已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，且
AD=AB，求证：BC=DC。
【参考答案】
【题目解析】AC为公共边，再结合AD=AB就可以利用HL得出Rt△ABC≌Rt△ADC。
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2015年期末） 已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC。求证：ED⊥AC。
【参考答案】
【题目解析】求出∠EAD=∠CBA=90°，根据HL可证得Rt△ADE=Rt△ABC，由全等三角形的性质可以得到∠EDA=∠C，这 样通过等量代换就可以得到∠CBA+∠EDA=90°，接下来由三角形内角和定理即可得到∠AFD=90°，即
ED⊥AC。
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[直角三角形全等的判定] [难度： ★★ ] 有 和一条 对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“ ”。
【参考答案】一条斜边；直角边；HL
[单选题] [直角三角形全等的判定] [难度： ★★ ] 已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（ ）
A.AB=DE，AC=DFB.AC=EF，BC=DFC.AB=DE，BC=EFD.∠C=∠F，BC=EF
【参考答案】B
【题目解析】B选项虽然是两边相等，但不是对应边相等，结合HL即可得到B无法判定三角形全等。
导学二 ： 角平分线的画法、性质和判定
知识点讲解 1：角平分线的画法
角平分线概念：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线。角平分线作法：
已知：如图，∠AOB。
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法：
以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M、N；
分别以M、Ｎ为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于P；
作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。
例题
1. [全等三角形的应用] [难度： ★★ ] 已知：如图，∠AOB。求作：∠AOB的角平分线OC。（不要求写作法）
【参考答案】如图所示
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1. [角平分线的性质] [难度： ★★ ] （2015年黄冈中学期中测试） 如图，三条公路围城的一个三角形区域，要在这个区域中建一个休息站，使它到三条公路的距离都相等，休息站应建在什么位置？请用尺规作图表示休息站的点（不写 作法，保留作图痕迹）。
【参考答案】
【题目解析】要使休息站到三条公路的距离相等，且休息站在三角形的内部，说明休息站在△ABC的角平分线的交点 上，所以作∠A和∠B的角平分线，它们的交点即为休息站的位置。
【思维对话】此题在解题过程中一定要注意一个限制条件是“三角形区域中”，如果没有这个限制条件，这一题的结 果是有四个的，除了本题的三角形内角角平分线的交点，还有三个三角形外角的角平分线的交点（如下
图），这个一定要教会学生注意题设的条件，同时通过本题也可以培养学生的分类讨论思想。
【学有所获】到三条两两相交的直线距离相等的点有 个，其中在这三条直线围成的三角形区域中的有 个。
[学有所获答案]4；1
知识点讲解 2：角平分线的性质
概念：角平分线上的点到角的两边的距离相等。几何书写：
∵P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E
∴PD=PE
例题
1. [角平分线的性质] [难度： ★★ ] （2015-2016年越秀区期末） 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，
AC=3，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为 ．
【参考答案】6
【题目解析】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED=CD，
∴△BDE的周长=BE+BD+ED=（5﹣3）+4=6．
【思维对话】△BDE的周长是由ED、EB和BD组成的，所以求其周长也就是求这三条线段的周长之和，结合题目条件和角 平分线的性质，很容易就可以得到△ADE≌△ACD，则就可以得到DE=DC,AE=AC,这样就可以得到ED+BD=CB=4，BE=AB-AE=AB-AC=2，这样△BDE的三条边长之和即为BE+BD+ED=6.
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[角平分线的性质] [难度： ★★ ] 如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．
若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是 ．
若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为 ．
【参考答案】3；15
【题目解析】
[角平分线的性质;全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD
CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：EB FC。
【参考答案】
【题目解析】根据已知条件DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，结合角平分线的性质可得DE=DF，再结合BD=DC利用“HL”可得△BDE≌△CDF，即可得出所求。
知识点讲解 3：角平分线的判定
概念：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。几何书写：
∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE
∴P在∠AOB的平分线上
（或写成OP是∠AOB的平分线）
例题
1. [角平分线的性质] [难度： ★★ ] （2014-2015年二十一中期中） 已知△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E，且DC=DE，∠A=40°，求∠CBD的度数。
【参考答案】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°
∴∠ABC=90°—40°=50°
∵∠C=90°，DE⊥AB，DC=DE
∴BD平分∠ABC
∴∠CBD= ∠ABC= ×50°=25°
【题目解析】由直角三角形的性质结合题目条件可得∠ABC的度数，再次利用角平分线的判定可以得到BD为∠ABC的平 分线，从而得出所要求的结论。
导学三 ： 全等三角形综合判定
知识点讲解 1
1、三角形全等的判定方法：
三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) 在△ABC和△ DEF中
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）
有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 在△ABC和△DEF中
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 在△ABC和△DFE中
∴△ABC≌△DFE(AAS)
直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)
Rt△ABC和Rt△A′B′C′中
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）
2、全等三角形的性质
全等三角形的对应角、对应边、对应中线、对应高、对应角平分线相等。注意：
斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。
SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形。
3、全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会 添加辅助线。
4、判定三角形全等的基本思路：
例题
[单选题] [全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（）
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
【参考答案】A
【题目解析】
[单选题] [全等三角形的判定] [难度： ★★ ] 如图，玻璃三角板摔成三块，现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板，最省事的方法（）
A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①②③去
【参考答案】C
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] 已知：如图，AB，CD相交于点O，AD=CB，请你补充一个条件，使得
△AOD≌△COB。你补充的条件是 ，全等的依据是 。
【参考答案】
【题目解析】由题目已知条件可知AD=CB，∠AOC=∠COB，已知一边一角的情况下可以考虑全等判定条件AAS，所以添加
∠A=∠C即可，其他方法也有很多。
已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ。求证：HN＝PM。
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[单选题] [全等三角形的判定] [难度： ★★ ] 能确定△ABC≌△DEF的条件是（） A.AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB.AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C.∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD.∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
【参考答案】D
【题目解析】证明两三角形全等，需要符合全等的判定条件，包括SSS、SAS、ASA、AAS和HL，结合题目条件逐一验证 即可。
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2016年一模） 如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（）
A．①B．②C．①和②D．①②③
【参考答案】D
【题目解析】解：如图，连接AD；
在△ABE与△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
∴∠B=∠C；
∵AB=AC，AE=AF，
∴BF=CE；
在△CDE与△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（AAS），
∴DC=DB；
在△ADC与△ADB中，
，
∴△ADC≌△ADB（SAS），
∴∠CAD=∠BAD；
综上所述，①②③均正确，
[直角三角形全等的判定] [难度： ★★ ] （2012年蓬江区期末考试） 已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD。求证：AD＝BC。
【参考答案】
【题目解析】连接CD，结合已知条件就可以用HL判定△ADC和△BCD全等，进而证出结果。
限时考场模拟 ：分钟完成
[单选题] [直角三角形全等的判定] [难度： ★★ ] （2016秋年期末） 下列说法中，正确的个数是（）
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【参考答案】C
【题目解析】解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；
②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；
[单选题] [角平分线的性质] [难度： ★★ ] （2017春年校级月考） 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分
∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）
A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm
【参考答案】B
【题目解析】根据角平分线的性质可以得到ED=EC，则AE+DE=AC=3cm。
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] 如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．
【参考答案】证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC（ASA）
∴AB=AC，
又∵AD=AE，
∴BE=CD．
【题目解析】要证明BE=CD，只要证明AB=AC即可，由条件可以求得△AEC和△ADB全等，从而可以证得结论．
[角平分线的性质] [难度： ★★ ] （2016春年期末） 如图，∠B=∠C=90°，DE平分∠ADC，AE平分∠DAB，求证：E 是BC的中点．
【参考答案】证明：过点E作EF⊥AD于F，
∵∠B=∠C=90°，
∴CD⊥BC，AB⊥BC，
∵DE平分∠ADC，AE平分∠DAB，
∴CE=DF，EF=BE，
∴CE=BE，
∴E是BC的中点．
【题目解析】过点E作EF⊥AD，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即刻得到结论．
课后作业
[单选题] [全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2017春年校级月考） 如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，则在下列各组条件中选择一组，其中不能判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是（ ）
A．AB=DC，∠B=∠CB．AB=DC，AB∥CDC．AB=DC，BE=CFD．AB=DF，BE=CF
【参考答案】D
【题目解析】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
选项A可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选项B可得∠A=∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF； 选项C可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选项D不能定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF．
[单选题] [全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2016秋年期末） 如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD 和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE、下列说法：①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；
④△BDF≌△CDE．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【参考答案】D
【题目解析】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，又∠CDE=∠BDF，DE=DF，
∴△BDF≌△CDE，故④正确；
由△BDF≌△CDE，可知CE=BF，故①正确；
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确； 由△BDF≌△CDE，可知∠FBD=∠ECD
∴BF∥CE，故③正确．
[单选题] [角平分线的性质] [难度： ★★ ] 如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）
A.一处B.二处C.三处D.四处
【参考答案】D
【题目解析】解：如图所示，加油站站的地址有四处．
[直角三角形全等的判定] [难度： ★★ ] （2016春年期末） 如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是 ．
【参考答案】AC=DE
【题目解析】先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可。
[角平分线的性质] [难度： ★★ ] 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则
AC的长是 ．
【参考答案】3
【题目解析】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
×4×2+ ×AC×2=7，
解得AC=3． 故答案为3．
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2016年广州市小联盟试题） 如图，AB∥ED，已知AC=BE，且点B、C、
D三点共线，若∠E=∠ACB．求证：BC=DE．
【参考答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠D，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=DE．
【题目解析】只要证明△ABC≌△BDE（AAS）即可解决问题。
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证： AB∥DE．
【参考答案】证明：∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ABC=∠DEF，
∴AB∥DE．
【题目解析】证明它们所在的三角形全等即可．根据等式的性质可得BC=EF．运用SSS证明△ABC与△DEF全等．
[直角三角形全等的判定] [难度： ★★ ] （2016春年校级期末） 如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论．
【参考答案】解：CE=DE，CE⊥DE，理由如下：
∵AC⊥AB，DB⊥AB， AC=BE，AE=BD，
∴△CAE≌△EBD．
∴∠CEA=∠D，CE=DE．
∵∠D+∠DEB=90°，
∴∠CEA+∠DEB=90°．
即线段CE与DE的大小与位置关系为相等且垂直．
【题目解析】先利用HL判定△CAE≌△EBD，从而得出全等三角形的对应角相等，再利用角与角之间的关系，可以得到 线段CE与DE的大小与位置关系为相等且垂直．
[全等三角形的判定与性质;角平分线的性质] [难度： ★★ ] （2016秋年期末） 已知：如图，P是OC上一点，
PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG． 求证：OC是∠AOB的平分线．
【参考答案】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD=PE，
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线．
【题目解析】利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD=PE，再根据到角的两边距离 相等的点在角的平分线上证明即可．
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] 如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
【参考答案】
解：（1）全等，理由是：
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵∠A=∠B=90°，AE=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC；
（2）是直角三角形，理由是：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3=∠4，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE是直角三角形．
【题目解析】（1）根据∠1=∠2，得DE=CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC；（2）是直角三角形，由
Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，则△CDE是直角三角形．
复习本节课的错题，做好错题管理。
认真完成老师布置的课后作业。
整理在学校学习的不明白之处，做到有备而来，提高课堂效率。