第8讲第2课时《平行四边形的综合》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

教学路径

初步性问题

探究类型之五  与中点有关的辅助线作法

例5  如图，AB=CD，E、F分别为BC、AD的中点，射线BA、EF交于点G，射线CD、EF交于点H．求证：∠BGE=∠CHE．

师：如何证明两个角相等？

生：有中点找中点，连接AC，并取其中点P，连接PE，PF，利用三角形中位线得平行，利用平行线的性质等量代换角，从而证得相等.

师：遇到中点找中点，这种方法常用于解决三角形和四边形的有关问题，主要是连接两个中点作三角形的中位线，并利用其性质来解题．

解析：

连接AC，并取其中点P，连接PE，PF（动画在图中作出）.

(下一步)做动画叫我，

根据三角形的中位线定理得到FP∥DC, PF=DC,PE∥AB, PE=AB.

(下一步)由AB=CD得PE=PF,从而得到∠PEF=∠PFE. (用手在图中把角标记相同的颜色)

（下一步）

动画在图中先将PE和BG描红，给∠PEF与∠BGE标上弧度，然后先将PF和CH描红，给∠PFE与∠CHE标上弧度，最后出示文字：

∠BGE=∠PEF=∠PFE=∠CHE．

答案：

证明：连接AC，取AC的中点P，连接PE、PF．

∵E为BC的中点，

∴PE∥AB，PE=AB，

同理：PF∥CD，PF=CD．

∵AB=CD，

∴PE=PF，∠PEF=∠PFE.

由PE∥AB ，得∠BGE=∠PEF，

由PF∥CD，得∠CHE=∠PFE，

∴∠BGE=∠CHE．

例6  如图，△ABC中，∠B=2∠C，AD为△ABC的高，E为BC的中点，求证：DE=AB．

师：如何证明两条线段之间的数量关系？

生：根据要证的结论，我们可以把AB转化为中位线，取AC的中点F，连接EF，DF，利用三角形中位线和直角三角形斜边上的中线性质证明.

师：还有别的方法吗？

生：我们可以把AB转化斜边上的中线.

师：遇到中点作中线，这种方法常用于解决直角三角形或等腰三角形的有关问题，主要是运用直角三角形斜边上的中线或等腰三角形底边上的中线性质．因此，遇到直角三角形斜边上的中点或等腰三角形底边上的中点，应联想到作该三角形的中线。

解析：

取AC的中点F，连接EF（动画在图中作出）,则EF∥AB，且EF=AB；

（下一步）

连接DF（动画在图中作出，然后将△DEF填充上颜色），通过证明∠EDF=∠EFD得到DE=EF.

答案：

证明：取AC的中点F，连接EF、DF,如图所示.

∵E、F分别为BC、AC的中点，

∴EF∥AB，EF=AB．

∵AD是△ABC的高，

∴△ADC是直角三角形．

又∵点F为AC的中点，

∴DF=AC=FC，

∴∠FDE=∠C．

由EF∥AB，得∠FEC=∠B=2∠C=2∠FDE．

又∵∠FEC=∠FDE +∠EFD，

∴∠FDE =∠EFD．

∴DE=EF=AB．

类似性问题

3. 如图，在△ABC中，已知D为BC边中点，FD⊥ED于点D，交AB、AC于点F、E．求证：BF+CE>EF．

解析：

证明不等关系利用三角形三边之间的关系来证明.(下一步)

倍长中线：延长ED到点G，使GD=ED，连接BG（动画在图中作出），（下一步）利用SAS证明△CDE≌△BDG得到CE=BG；（下一步）

连接FG（动画在图中作出，将△EFG填充颜色，然后用手标上GD=DE,DF⊥DE,然后出示文字），根据垂直平分线的性质得到EF=GF；（下一步）

在△BGF中，根据三角形三边关系可得BF+BG>GF，即BF+CE>EF.