第8讲第1课时《平行四边形的综合》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

教学路径

导入：

师：前面三节课我们一起学习了特殊四边形的性质及判定，这节课我们就一起来对前面三节课学习的知识进行一下总结和复习.

启动型问题：

重心是使物体保持平衡的位置.

（下一步）

三角形的重心就是三条中线的交点.

在△ABC的三条边AB、BC、CA上，分别找到它们的中点F,D,E，连接AD,BE,CF，那么这三条线必相交于点O，点O就是这个三角形的重心,如图（1）.

（下一步）

中心对称图形的重心是它的对称中心,如平行四边形的重心在其对角线的交点O处,如图(2).

（下一步）

凡是质地均匀、外形规则的物体的重心，都在它的几何中心.例如均匀的立方体的重心在点AC与BD的交点O处,如图(3).

（下一步）

质地不均匀的物体的重心可用悬挂法去确定其重心位置.先任意找一点将物体悬挂，平稳后，画出悬挂线AB，之后再次悬挂，画出CD，AB和CD的交点O就是重心.如图(4)，在点O处支撑物体会平衡.

师：下面我们就一起来回忆一下我们前面学习的基本知识.

回顾

1.平行四边形

判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（下一步）

性质:（矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形.）

（1）平行四边形对边平行且相等.

（2）平行四边形两条对角线互相平分.

（3）平行四边形的对角相等，两邻角互补.

（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形.(推论）

（5）平行四边形的面积等于底和高的积.

（6）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形.

（7）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点. （下一步）

2.矩形

性质：（1）矩形的四个角都是直角；

 （2）矩形的对角线相等；

 （3）具备平行四边形的性质. （下一步）

判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）；

 （2）对角线相等的平行四边形是矩形；

 （3）有三个角是直角的四边形是矩形. （下一步）

3.菱形

性质：（1）菱形的四条边都相等；

（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

（3）具备平行四边形的性质. （下一步）

判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边相等的四边形是菱形. （下一步）

4.正方形

性质： （1）两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直；

（2）四个角都是90°；

（3）对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；

（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；

（5）正方形具有菱形,矩形的一切性质. （下一步）

判定： （1）对角线相等的菱形是正方形；

（2）有一个角为直角的菱形是正方形；

（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（4）有一组邻边相等的矩形是正方形；

（5）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；

（6）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；

（7）对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形；

（8）一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形；

（9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形.

师：接下来我们一起来看几道例题：

初步性问题

探究类型之一  平行四边形的综合

例1   如图，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）如图(2)，将图(1)中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

师：如何证明四边形ABCE是平行四边形？

生：证明两组对边分别平行.

师：如何证明两组对边分别平行？

生：利用平行线的判定方法，证明角相等或互补.

师：如何得到角之间的数量关系？

生：根据特殊三角形可以得到特殊角.

师：如何求线段的长度？

生：设未知数，利用勾股定理建立等量关系式.

师：如何表示线段AG的长？

生：化折为直.

师：非常好，(1)本题考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换；（2）利用方程解决几何计算，是常用方法，体现了数形结合思想.

（1）

解析：

证明AE∥BC和AB∥OC．

答案：

证明：∵Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，

∴∠ABO=60°，AB=BO.

∵D为OB的中点，

∴BD=OD=BO=AB,

∴△ABD是等边三角形,

∴∠BAD=60°,

∴∠DAO=90°-∠BAD=30°.

∵△OBC是等边三角形,

∴∠COB=∠C=60°,

∴∠OED=180°-∠COB-∠AOB-∠DAO=60°=∠C,

∴AE∥BC.

又∵∠COB=∠ABO,

∴AB∥CO,即AB∥CE,

∴四边形ABCE是平行四边形.

（2）

解析：动画出示翻折的过程，然后将CG和AG描红，CF与AF描绿.

(下一步) 设OG=x，

（下一步按下图标）

（下一步）在Rt△AOB中由勾股定理计算出AO，然后在Rt△AOG中根据勾股定理列方程求解．

答案：

解：设OG=x,则GC=OC-OG=OB-OG=8-x.

由折叠的性质可知AG=GC=8-x.

在Rt△ABO中,∵∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8,

∴AB=OB=4,

∴由勾股定理得OA2=OB2-AB2=48.

在Rt△OAG中,根据勾股定理得OG2+OA2=AG2,

即x2+48=(8-x)2,解得x=1,

∴OG=1.

探究类型之二  菱形的综合

例2   如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．

（1）求证：四边形EGFH是菱形；

（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．

师：如何证明四边形EGFH是菱形？

生：证明四条边都相等.

师：如何证明线段相等？

生：利用三角形中位线定理.

师：如何求四边形的面积？

生：根据已知条件可知四边形为正方形，只要求出一边长即可.

师：“遇中点、找中点”,说的是在几何图形中,如果发现有线段的中点时,通常要找出相关线段的中点,构造三角形的中位线,利用三角形中位线的定理来解题.

（1）

解析：做个动画，做动画时叫我

利用三角形中位线定理证明FG=FH=HE=EG.

答案：

证明：∵四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AD、BC、BD、AC的中点，

∴FG=CD，HE=CD，FH=AB，GE=AB．

∵AB=CD，

∴FG=FH=HE=EG．

∴四边形EGFH是菱形．

（2）

解析：动画用手描HF和AB,然后标上∠ABC与∠HFC一样的弧度线，

然后用手描GF和DC,然后标上∠DCB与∠GFB一样的弧度线，最后给∠GFH标上垂直符号.

(下一步)菱形EGFH是正方形，根据三角形的中位线定理求GE的长．

答案：

解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，

∴GF∥DC，HF∥AB，

∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．

∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°，

∴∠GFH=90°，

∴菱形EGFH是正方形．

由(1)知EG=AB=．

∴正方形EGFH的面积为（）2=．

探究类型之三    矩形的综合

例3    已知四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA，对角线AC、BD交于点O．M是四边形ABCD外的一点，AM⊥MC，BM⊥MD．试问：四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论．

师：如何判断四边形的形状？

生：先判断是否为平行四边形，再判断是否为菱形或矩形，最后判断是否为正方形.

师：是平行四边形吗？

生：根据两组对边分别相等证明为平行四边形.

师：是否为菱形或矩形？

生：由于平行四边形对角线的交点O是两个直角三角形斜边上的中点，所以连接OM，证明对角线相等.

师：非常好，（1）若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三角形底边的中点，则应常想到作该三角形的中线.

（2）平行四边形的常用辅助线的添法:

①连接对角线或平移对角线；

②过一个顶点作其对边的垂线来构造直角三角形；

③连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或三角形的中位线；

④连接一个顶点与其对边上一点的线段或延长这条线段，构造等积三角形；

⑤过一个顶点作对角线的垂线，构造线段平行或三角形全等.

解析：

由“AB=CD，BC=DA”得出四边形ABCD是平行四边形，

（下一步）由平行四边形的对角线互相平分得OA=OC，OB=OD（同时在图中标出）.

（下一步）连接OM（动画在图中作出），（用手描一边△AMC和△BMD的三边）根据“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到BD=AC.

答案：

答:四边形ABCD是矩形，证明如下：

证明：如图，连接OM.

∵AB=CD，BC=DA，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD.

∵AM⊥MC，BM⊥MD，

∴∠AMC=∠BMD=90°，

∴OM=BD，OM=AC，

∴BD=AC，

∴平行四边形ABCD是矩形．

类似性问题

1. 在ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．

（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；

（2）若四边形EHFG是矩形，则ABCD应满足什么条件？（不需要证明）

解析：

（1）证明四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，（下一步）

由平行四边形的性质得AF∥CE，BF∥DE；（下一步）

（2）连接EF（在图中作出），若四边形EHFG是矩形，∠AFB=90°，易证EF=AB，AD=EF，从而得到AB=2AD.

探究类型之四    正方形的综合

例4   在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图(1)，他连接AD、CF，经测量发现AD=CF．

（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图(2)，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由.

（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图(3)，请你求出CF的长．

师：如何两条线段的数量关系？

生：根据第一问的特殊位置下两条线段的数量关系，猜测一般情况下两条线段也相等，利用全等三角形证明即可.

师：如何求特殊位置下CF的长？

生：因为AD与CF相等，只要求AD的长.

连接DF交OE于G，利用勾股定理求线段AD的长.

师：正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

（1）

解析：

根据正方形的性质，利用SAS证明△AOD≌△COF.(将△AOD与△COF填充上颜色)

答案：

答：AD=CF．证明如下：

证明：在正方形ABCO和正方形ODEF中，

AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，

∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF.

在△AOD和△COF中 ，AO=CO,∠AOD=∠COF,OD=OF,

∴△AOD≌△COF（SAS），

∴AD=CF.

（2）

解析：证明△AOD≌△COF，进而得到AD=CF

（下一步）

连接DF交OE于G（动画在图中作出），根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=OE，再求出AG.

（下一步）

在Rt△ADG中，利用勾股定理列式计算即可求出AD．

答案：

解：与（1）同理可证明CF=AD.

如图，连接DF交OE于点G，则DF⊥OE，DG=OG=OE.

∵正方形ODEF的边长为，根据勾股定理可求得OE=2,

∴DG=OG=OE=1,

∴AG=AO+OG=3+1=4.

在Rt△ADG中，根据勾股定理得AD===，

∴CF=AD=.

类似性问题

2. 如图(1)，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．

（1）求证：OE=OF.

（2）如图(2)，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

解析：

根据正方形的性质及AM⊥BE利用ASA或AAS证明△AOF≌△BOE.