第1讲第1课时《二次根式的性质与运算》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

第一讲  二次根式的性质与运算［教学内容］八年级第一讲“二次根式的性质与运算”.［教学目标］知识技能1.掌握二次根式的概念，并会根据二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围；2.理解二次根式的双重非负性；3.理解二次根式的性质并能够根据性质对二次根式进行简单的化简计算.数学思考1.通过对比思考二次根式的乘除运算法则与积的算术平方根的性质、商的算术平方根的性质的联系与区别；2.通过独立思考，体会方程的思想和解决问题的基本思维方式.问题解决经历二次根式性质的探究与发现过程，培养学生自主学习的能力.情感态度
1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界；
2.通过小组活动，培养学生的合作意识和能力.[教学重点、难点]重点：理解二次根式的性质并能熟练运用.难点：理解二次根式的性质并能熟练运用，并会使用分类讨论的方法. [教学准备]动画多媒体语言课件     第一课时教学路径设计意图导入师：（老师做自我介绍）快乐的春节已经过去，数学伴随着我们一步步走来，走过了寒冷的冬天来到了春天，春天是一个生机勃勃的季节，俗话说的好一年之计在于春，春天是播种的季节，希望同学们都能在暖暖的春风中感受学习的快乐。从这节课开始，就由我带领大家一起学习，收获快乐！  师：下面让我们来看看下面一个故事：启动型问题     19世纪俄国文学巨匠列夫 · 托尔斯泰曾在作品《一个人需要很多土地吗？》中写了这样一个故事：有一个叫巴霍姆的人到草原上去购买土地，卖地的酋长出了一个非常奇怪的地价：“每天1000卢布”，意思是谁出1000卢布，只要他日出时从规定地点出发，日落前返回原出发地，所走过的路线圈起的土地就全部归他.但是如果日落前不能回到出发地，那么他就得不到半点土地，白出1000卢布.巴霍姆觉得这个条件对自己有利，于是便付了1000卢布.第二天刚亮，他就连忙在草原上大步向前走去.他走啊，走啊，走了足足有10俄里，才朝左拐弯；接着又走了许久，才再向左拐弯；这样又走了2俄里，这时他发现天色不早，而自己离清晨出发的地方还足有15俄里的路程，于是只得改变方向，径直朝出发地点奔去……最后，巴霍姆总算如期赶到了出发地，却因劳累过度，口吐鲜血而死.     请你算一算，巴霍姆这一天走了多少俄里路？他走过的路线围成的土地面积有多大？（结果保留根号）学生根据故事情景，将巴霍姆走过的路线画出来，并找学生到黑板上板演.学生独立完成计算，然后师指定学生讲解.答案：动画出示:从A开始，经过AB，BC,CD到DA  (下一步) 实际上，在这一天中，巴霍姆走过的路线如图所示，是一个梯形，他所走过的路程，是这个梯形的周长.从图中可以看出，梯形ABCD的周长是AB+BC+CD+DA. （下一步）动画连结DE.  （下一步）由已知，AB=10俄里，CD=2俄里，在Rt△ADE中，根据勾股定理，可求得直角边DE的长是DE===（俄里）.由于BC=DE，所以巴霍姆一共走了10+2++15=27+（俄里），而梯形ABCD的面积是（平方俄里）. (下一题)想想看，巴霍姆应该怎么行走才能获得更多的土地呢？学生独立思考，并找学生说说自己的想法，探求多种想法.解析：在平面上一切等周长的封闭图形中，圆所围成的面积最大.回顾：1.二次根式的概念 定义：一般地，我们把形如___（a≥0）的式子叫做二次根式，符号“”称为二次根号. （答案出现以后闪烁a≥0） (下一步)2.二次根式的性质（1）（a≥0）是一个非负数；（2）（）2＝a（a≥0）；（3）.(下一步)3.二次根式的乘法  ___________(a≥0，b≥0). (下一步)4.二次根式的除法  ___________(a≥0，b>0). (下一步)5.积的算术平方根的性质  =_____________(a≥0，b≥0). (下一步)6.商的算术平方根的性质  ___________(a≥0，b>0). (下一步)7.最简二次根式（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式. (下一步)8.二次根式的加减二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 师：接下来通过以下例题来加深大家对于知识点的理解和应用.初步性问题探究类型之一   二次根式有意义的条件例1  使式子有意义的x取值范围是 (     )A.x≥-，且x≠1                  B. x≠1C. x≥-                         D. x>-，且x≠11.学生独立完成，并指定学生说说解题思路.2.师：如何求x的取值范围？生： 2x+1≥0，且x-1≠0.师：那么你列不等式的依据是什么呢？也就是本题考查的知识点有哪些？生：二次根式和分式的定义.师：哪位同学可以具体说说二次根式和分式的定义呢？生：形如（a≥0）的式子叫做二次根式.生：若用A、B表示两个整式，A÷B可以写成的形式，如果B中含有字母（B≠0），式子叫做分式.师：好，大家如果对于题目考查的知识点和方法非常清楚，那么再去解决这道题目就非常容易了.后面的题目我们一起来分析和解决，希望大家踊跃表达自己的想法. 解析：先将式子中“”变色，然后出示：由被开方数的非负性可知2x+1≥0，解得x≥-；（下一步）将式子分母中x-1变色，然后出示：由分母不为零可知x-1≠0，即x≠1,（下一步）综上可知x≥-，且x≠1.答案：A 3.师：在求解有关字母范围问题时，一般要注意以下两个方面：（1）二次根式的被开方数是非负数；（2）分式的分母不为0. 类似性问题1.在函数y=中，自变量x的取值范围是(       )A. x ≠         B.         C.        D. 学生独立完成，并指定学习程度较差学生讲解.解析：由二被开方数的非负性可知1-2x≥0，解得；由分式有意义的条件可知≠ 0，即x ≠，所以x的取值范围是.初步性问题探究类型之二    二次根式的性质例2  如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为 (     )A.2c-a          B.2a-2b C.-a            D.a1.学生独立审题.2.师引导学生分析：师：如何化简这个代数式呢？生：（预设）首先去根号，再去绝对值.师：去根号的依据是______？生：（预设）二次根式的性质：.师：然后再根据绝对值的性质去绝对值就可以了.解析：先去根号，再去绝对值符号. （下一步）=（下一步1）=-a-（-a-b）+（c-a）+（-b-c）（下一步4）=-a+a+b+c-a-b-c（下一步5）=-a.（下一步5）观察数轴可知b<a<0<c，，（下一步2）所以a+b<0，c-a>0，b+c<0.（下一步3） 答案：C 3.师小结：在求绝对值时，我们借助了数轴来判断a，a+b，c-a，b+c的符号.这就是数学中常用的数形结合的数学方法，大家在以后的学习中还会遇到，还有大家要注意总结绝对值和二次根式的联系和区别. 例3  已知 x y>0，化简二次根式x的正确结果为 (     )A.            B.           C.-         D.-1.学生先独立审题，然后师指定学生说说自己的解题思路.2.师指定学生说说自己的解题思路.师：如何化简这个二次根式呢?生：（预设）化简被开方式,.师：非常好，还有其他方法吗？生：（预设）将因式x移入根号内，逆用二次根式的性质，即.师：很好，通过这道题目我们一起来总结化简二次根式的方法.生：（预设）既可以化简被开方式,又可以把根号外的因式移入根号内,关键是首先确定被开方式中字母的符号.解析：由被开方数的非负性可知，又x2>0，所以-y>0，即y<0，（下一步）又xy>0，所以x<0且y<0.（下一步）方法一：x=x·=x·=x·=；（下一步）方法二：x=-（-x）·=-·=-=.答案：D考查：二次根式的定义，二次根式的性质，二次根式的乘法，最简二次根式.类似性问题4.已知x<1，则化简的结果是（    ） A.x-1              B.x+1        C. -x-1           D.1-x学生独立完成，指定学生讲解.解析：===1-x.5.若整数m满足条件且，则m的值是_________.学生独立完成，指定学生讲解.解析：在“”下面划线，然后出示箭头：m+1≥0 下一步：m≥-1所以-1≤<1；（下一步）又因为m是整数，所以m的值是-1或0. 6.把（a-2）根号外的因式移到根号内后，其结果是______________.学生先独立完成，然后师指定学生到黑板上板演，然后其他同学指出错误更正.解析：由被开方数的非负性可知>0，即2-a>0，（下一步）所以（a-2）=-（2-a）=-·=-=-.                                                  强调：1、被开方数a的非负性：a≥0,这是二次根式的隐含条件. 2、二次根式的非负性. 注：5，6也可简单的称为二次根式的性质.                     学生对于定义的描述往往不够准确和完整，教师进行补充，强调概念的准确性.               总结：二次根式和分式对于字母的取值都有要求.                                    二次根式、绝对值、完全平方数都是非负的.          板书时将每一步都展示清楚.