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2.5匀变速直线运动规律的应用-高一物理备课必备讲义（人教必修第一册 ）
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第二章 匀变速直线运动的研究
2.5匀变速直线运动规律的应用
课标要求
素养要求
课
标
解
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1．理解位移差公式并能解决相关问题。
2．会用逐差法求加速度。
3．理解平均速度公式．并能用平均速度公式解决相关问题。
4. 掌握初速度为零的匀变速直线运动比例式的推导及应用。
1．物理观念：匀变速直线运动的平均速度。
2．科学思维：体会位移差公式Δx＝aT2的推导过程与方法。
3．科学态度与责任：能运用匀变速直线运动的规律和推论解决生活、生产、科技中的实际问题。
一、位移差公式Δx＝aT2
1．内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差是个常量，即Δx＝aT2.
2.推导：如图，x1＝v0T＋aT2，x2＝v0·2T＋a(2T)2－(v0T＋aT2)＝v0T＋aT2，所以Δx＝x2－x1＝aT2.
3．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
(2)求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝.
二、匀变速直线运动的平均速度公式
1．平均速度公式：＝＝
(1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半．
(2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用平均速度公式及中间时刻瞬时速度公式＝，＝.
2．三个平均速度公式的比较
＝适用于任何运动；
＝及＝仅适用于匀变速直线运动．
三、初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为：
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
2．按位移等分(设相等的位移为x)的比例式
(1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.
(2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.
(3)通过连续相同的位移所用时间之比为：
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
探究点01位移差公式Δx＝aT2的应用
【探究应用1】—个做匀变速直线运动的质点，初速度为0.5 m/s，第9 s内的位移比第5 s内的位移多4 m，则该质点的加速度、9 s末的速度和质点在9 s内通过的位移分别是( )
A．a＝1 m/s2，v9＝9.5 m/s，x9＝45 m
B．a＝1 m/s2，v9＝9 m/s，x9＝45 m
C．a＝1 m/s2，v9＝9 m/s，x9＝0.5 m
D．a＝0.8 m/s2，v9＝1.7 m/s，x9＝36.9 m
【答案】A
【解析】由x9－x5＝4aT2解得a＝＝ m/s2＝1 m/s2，第9 s末的速度v＝v0＋at＝0.5 m/s＋1×9 m/s＝9.5 m/s，质点在9 s内通过的位移x＝v0t＋at2＝0.5×9 m＋×1×92 m＝45 m。
逐差法求加速度
1．纸带上提供的数据为偶数段．
(1)若已知连续相等时间内的两段位移．
由x2－x1＝aT2，得a＝
(2)若已知连续相等时间内的四段位移．
可以简化成两大段AC、CE研究
xⅠ＝x1＋x2
xⅡ＝x3＋x4
tAC＝tCE＝2T
a＝＝
(3)若已知连续相等时间内的六段位移
可以简化成两大段AD、DG研究
xⅠ＝x1＋x2＋x3
xⅡ＝x4＋x5＋x6
a＝＝.
2．纸带上提供的数据为奇数段
可以先舍去一个较小的数据，选取偶数段数据再利用上述方法求解．
【迁移应用1】在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，打点计时器打出的一条纸带如图所示，A、B、C、D、E是在纸带上所选的计数点，相邻两计数点间的时间间隔为0.1 s，各计数点与A计数点间的距离在图中已标出．则在打B点时，小车的速度为________ m/s，并可求得小车的加速度大小为________ m/s2.
【答案】0.26 0.4
【解析】
由纸带数据经计算可知小车在做匀变速直线运动，根据匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，可知vB＝＝ m/s＝0.26 m/s，根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，可知加速度a＝＝×10－3 m/s2＝0.4 m/s2.
探究点02 平均速度公式的理解与应用
情境探究
如图所示，如果匀变速直线运动的初速度为v0，末速度为v，这段时间中间时刻的瞬时速度为，试推导＝＝.
【答案】
方法一 解析法
在匀变速直线运动中，对于这段时间t，其中间时刻的瞬时速度＝v0＋at，该段时间的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可得＝＝＝v0＋at＝＝＝＝，即＝＝.
方法二 图像法
这段时间位移x＝t
平均速度＝＝
中间时刻的瞬时速度对应梯形中位线高，故＝
探究归纳
＝＝
匀变速直线运动的的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，等于初末速度的平均值。
【探究应用2】某汽车从车站由静止开出，做匀加速直线运动，运动了12 s时，发现还有乘客没上来，于是汽车立即做匀减速直线运动至停下，共历时20 s，运动了50 m，求汽车在上述运动中的最大速度的大小．
【答案】5 m/s
【解析】
由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，设最大速度为vm，则x1＝t1①
x2＝t2②
由①＋②得x1＋x2＝(t1＋t2)
解得vm＝＝5 m/s.
【迁移应用2】做匀加速直线运动的物体，依次通过A、B、C三点，位移sAB＝sBC，已知物体在AB段的平均速度大小为2 m/s，在BC段的平均速度大小为3 m/s，那么物体在B点的瞬时速度大小为( )
A． m/s B．2.4 m/s
C．2.5 m/s D．2.6 m/s
【答案】D
【解析】
设加速度大小为a，经A、C的速度大小分别为vA、vC，sAB＝sBC＝L，根据匀加速直线运动规律可得
v－v＝2aL
v－v＝2aL
根据匀变速直线运动平均速度的定义有
＝1＝2 m/s
＝2＝3 m/s
联立以上各式可得vB＝2.6 m/s，故D正确，A、B、C错误。
探究点03 初速度为零的匀变速直线运动常用的结论的应用
【探究应用3】质点从O点由静止开始做匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，已知通过OA、AB、BC所用时间之比为1∶2∶3，则OA、AB、BC的距离之比为( )
A．1∶4∶9 B．1∶3∶5
C．1∶8∶27 D．1∶2∶3
【答案】C
【解析】初速度为0的匀加速直线运动，第1个T、第2个T、第3个T、…、第6个T内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11，所以xOA∶xAB∶xBC＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27，故C正确．
【迁移应用3】(多选)如图所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D点，最后到达底端E点．下列说法正确的是( )
A．物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2
B．通过各段所用的时间之比为tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶∶∶2
C．物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2
D．下滑全程的平均速度＝vB
【答案】ACD
【解析】物体做初速度为零的匀加速直线运动．由v2＝2ax得v∝，A正确；通过各段所用时间之比为tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶(－1)∶(－)∶(2－)，B错误；由v＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2，C正确；因tB∶tE＝1∶2，即tAB＝tBE，vB为AE段的中间时刻的速度，故＝vB，D正确．
学业合格练
1. (多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是( )
A．物体的加速度为20 m/s2
B．物体的加速度为25 m/s2
C．CD＝4 m
D．CD＝5 m
【答案】BC
【解析】
由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx＝aT2，可得：a＝＝25 m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4 m，故C正确，D错误．
2. 一物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第3 s内与第2 s内的位移之差是6 m，则可知( )
A．物体运动的加速度大小为3 m/s2
B．第2 s末的速度大小为12 m/s
C．第1 s内的位移大小为1 m
D．物体在前4 s内的平均速度大小为15 m/s
【答案】 B
【解析】
根据Δx＝aT2可得物体运动的加速度a＝＝ m/s2＝6 m/s2，A错误；
第2 s末的速度v2＝at2＝6×2 m/s＝12 m/s，B正确；
第1 s内的位移x1＝at12＝×6×12 m＝3 m，C错误；
物体在前4 s内的位移x4＝at42＝×6×42 m＝48 m，则物体在前4 s内的平均速度＝＝ m/s＝12 m/s，D错误．
3. (多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度－时间图像如图所示，那么0～t0和t0～3t0 两段时间内( )
A．加速度大小之比为3∶1
B．位移大小之比为1∶2
C．平均速度大小之比为2∶1
D．平均速度大小之比为1∶1
【答案】BD
【解析】加速度a＝，由题图知Δt1＝t0，Δt2＝2t0，则＝，A项错误；位移大小之比等于v－t图线与t坐标轴所围图形的面积之比，即＝，B项正确；平均速度＝，＝1，C项错误，D项正确．
4. 为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图4所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为( )
图4
A．1 m/s2 B．2.25 m/s2
C．3 m/s2 D．4.25 m/s2
【答案】B
【解析】
轿车车身总长为4.5 m，则题图中每一小格为1.5 m，由此可算出两段距离分别为x1＝12 m和x2＝21 m，又T＝2 s，则a＝＝ m/s2＝2.25 m/s2，故选B.
5. 一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时( )
A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…
B．每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…∶n
C．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…
【答案】C
【解析】
列车从静止开始做匀加速直线运动，速度v＝
所以每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶∶∶…∶，故A错误；根据时间t＝ ，所以每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶∶∶…∶，故B错误；根据连续相等时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)可知，在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…∶(2n－1)，故C正确，D错误。
6. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与第2 s内位移大小之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度大小之比为v1∶v2，则下列说法正确的是( )
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
【答案】B
【解析】物体从静止开始做匀加速直线运动，它在连续相等时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以x1∶x2＝1∶3，由v2＝2ax得v1∶v2＝1∶。
7. (1)电火花计时器使用________电源(选填“直流”或“交流”)，工作电压为________ V.
(2)在某次用打点计时器(工作频率为50 Hz)测定已知做匀变速直线运动物体的加速度实验中，所获得的纸带如图所示．选好0点后，每5个间隔点取一个计数点(中间的4个点图中未画出)，依次取得1、2、3、4点，测得的数据如图所示．
则纸带的加速度大小为________ m/s2，“1”这一点的速度大小为________ m/s.(结果均保留三位有效数字)
【答案】(1)交流 220 (2)0.800 0.461
【解析】
(1)电火花计时器使用交流电源，工作电压为220 V；
(2)每5个间隔点取一个计数点，所以相邻的计数点间的时间间隔T＝0.1 s，由逐差法得：
a＝＝×10－2 m/s2＝0.800 m/s2，根据匀变速直线运动时间中点的速度等于该过程中的平均速度，可以求出打纸带上1点时的速度大小：v1＝＝ m/s≈0.461 m/s.
8. 有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求物体的初速度、末速度和加速度的大小。
【答案】1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2
【解析】
由题意可画出物体的运动示意图：
方法一 逐差法
由Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2①
又x1＝vAT＋aT2②
vC＝vA＋a·2T③
由①②③式解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
方法二 平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为
1＝＝ m/s＝6 m/s
2＝＝ m/s＝16 m/s
由于B是A、C的中间时刻，则1＝，
2＝
又vB＝＝＝ m/s＝11 m/s
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
其加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。
方法三 基本公式法
由位移公式得x1＝vAT＋aT2
x2＝vA·2T＋a(2T)2－
vC＝vA＋a·2T
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入上式，
解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
学业等级练
9. (多选)如图，一质点从A点开始做匀加速直线运动，随后依次经过B、C、D三点．已知AB段、CD段距离分别为5 m、13 m，质点经过AB段、BC段、CD段时间相等，均为1 s，则( )
A．质点的加速度大小为4 m/s2
B．质点的加速度大小为2 m/s2
C．质点在C点的速度大小为11 m/s
D．质点在B点的速度大小为6 m/s
【答案】AC
【解析】
AB、BC、CD段时间相等，均为T＝1 s
由x3－x1＝2aT2得a＝＝ m/s2＝4 m/s2
由x2－x1＝x3－x2得BC段长度x2＝9 m
B点对应AC段的中间时刻，vB＝AC＝＝ m/s＝7 m/s
C点对应BD段的中间时刻，vC＝BD＝＝ m/s＝11 m/s，故A、C正确．
10. 如图所示，一物块从一光滑且足够长的固定斜面顶端O点无初速度释放后做匀加速直线运动，先后通过P、Q、N三点，已知物块从P点运动到Q点与从Q点运动到N点所用的时间相等，且PQ长度为2 m，QN长度为4 m，则由上述数据可以求出OP的长度为( )
A. m B．1 m
C. m D．1.2 m
【答案】A
【解析】设物块从P点运动到Q点与从Q点运动到N点所用的时间均为t，加速度均为a，由Δx＝at2得，加速度：a＝＝＝，Q点的速度为PN段的平均速度：vQ＝PN＝＝，则OQ间的长度：xOQ＝＝×＝ m，则OP长度：xOP＝xOQ－xPQ＝(－2) m＝ m，故B、C、D错误，A正确．
11. (多选)做直线运动的物体甲的x－t图像和物体乙的v－t图像分别如图甲、乙所示，则关于这两个物体的运动情况，下列说法正确的是( )
A．甲在0～6 s时间内运动方向不变，它通过的总位移大小为4 m
B．甲在0～6 s时间内平均速度为零
C．乙在0～6 s时间内通过的总位移为零
D．乙在0～6 s时间内加速度大小不变，方向发生了变化
【答案】AC
【解析】位移－时间图像中图线的斜率表示速度，甲在整个过程中图线的斜率不变，知甲运动的速度不变，总位移为Δx＝2 m－(－2 m)＝4 m，故A正确，B错误；乙在0～6 s内，先向负方向做匀减速直线运动，后向正方向做匀加速直线运动，速度的方向在第3 s时发生改变，图线与时间轴围成的面积表示位移，则乙在0～6 s内总位移为零，故C正确；速度－时间图像中图线的斜率表示加速度，题图乙中图线的斜率不变，知乙的加速度大小不变，方向也未发生改变，故D错误．
12. 做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移为x，设这段位移内中间位置的瞬时速度为v，则( )
A．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v＜
B．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v＞
C．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v＝
D．匀加速直线运动时，v＜；匀减速直线运动时，v＞
【答案】B
【解析】等于t时间内物体的平均速度，也等于t时间内中间时刻的瞬时速度，又因为无论是匀加速还是匀减速直线运动中，任意一段时间内的平均速度总小于中间位置的瞬时速度，故有v＞，故选项B正确．
13. 我国“蛟龙号”载人潜水器进行下潜试验，从水面开始竖直下潜，最后返回水面，其v－t图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A．0～4 min和6～10 min两时间段平均速度大小相等
B．全过程中的最大加速度为0.025 m/s2
C．3～4 min和6～8 min加速度方向相反
D．本次下潜的最大深度为6 m
【答案】 A
【解析】
根据v－t图像与横轴围成的面积表示位移，则0～4 min内的位移大小为：x＝×(120＋240)×2.0 m＝360 m；6～10 min内位移大小为x′＝×3.0×240 m＝360 m，可知，0～4 min和6～10 min两时间段位移大小相等，所用时间相等，则平均速度大小相等，故A正确；v－t图线的倾斜程度表示加速度的大小，0～1 min和3～4 min加速度最大，大小为a＝＝ m/s2≈0.033 m/s2，故B错误；v－t图像的斜率的正负反映加速度的方向，可知3～4 min和6～8 min加速度方向相同，故C错误；由题图可知t＝4 min时“蛟龙号”下潜到最深处，最大深度为：s＝×(120＋240)×2.0 m＝360 m，故D错误．
冲刺“双一流”
14. 甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图像如图所示．在这段时间内( )
A．汽车甲的平均速度比乙大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
【答案】A
【解析】
因为v－t图线与t坐标轴所围的面积表示物体的位移，故在0～t1时间内，甲车的位移大于乙车，故根据＝可知，甲车的平均速度大于乙车，选项A正确，C错误；因为乙车做变减速运动，故平均速度不等于，选项B错误；因为v－t图线的切线斜率的绝对值等于物体的加速度大小，故甲、乙两车的加速度大小均逐渐减小，选项D错误．
15. (多选)如图所示，在水平面上固定着4个完全相同的木块，一颗子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第4个木块(即D位置)时速度恰好为0，下列说法正确的是( )
A．子弹从O运动到D全过程的平均速度小于B点的瞬时速度
B．子弹通过每一个木块时，其速度变化量 vA－vO＝vB－vA＝vC－vB＝vD－vC
C．子弹到达各点的速率之比为vO∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1
D．子弹从进入木块至到达各点经历的时间之比为tA∶tB∶tC∶tD＝1∶∶∶2
【答案】AC
【解析】
全过程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，根据匀变速运动的结论可知，中间时刻的瞬时速度一定小于中间位置的瞬时速度，故A正确；由于子弹的速度越来越小，故穿过每一个木块的时间不相等，故速度的差值不相等，故B错误；将子弹的运动反向视为初速度为0的匀加速直线运动，则由v2＝2ax可知，子弹依次通过点C、B、A、O的速率之比为1∶∶∶2，所以子弹到达各点的速率之比为vO∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1，故C正确；将子弹的运动反向视为初速度为0的匀加速直线运动，则由x＝at2可知，子弹依次通过各木块用时之比为1∶(－1)∶(－)∶(2－)，所以子弹从进入木块至到达各点经历的时间之比为tA∶tB∶tC∶tD＝(2－)∶(2－)∶1∶2，故D错误。
2.5匀变速直线运动规律的应用
课标要求
素养要求
课
标
解
读
1．理解位移差公式并能解决相关问题。
2．会用逐差法求加速度。
3．理解平均速度公式．并能用平均速度公式解决相关问题。
4. 掌握初速度为零的匀变速直线运动比例式的推导及应用。
1．物理观念：匀变速直线运动的平均速度。
2．科学思维：体会位移差公式Δx＝aT2的推导过程与方法。
3．科学态度与责任：能运用匀变速直线运动的规律和推论解决生活、生产、科技中的实际问题。
一、位移差公式Δx＝aT2
1．内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差是个常量，即Δx＝aT2.
2.推导：如图，x1＝v0T＋aT2，x2＝v0·2T＋a(2T)2－(v0T＋aT2)＝v0T＋aT2，所以Δx＝x2－x1＝aT2.
3．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
(2)求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝.
二、匀变速直线运动的平均速度公式
1．平均速度公式：＝＝
(1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半．
(2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用平均速度公式及中间时刻瞬时速度公式＝，＝.
2．三个平均速度公式的比较
＝适用于任何运动；
＝及＝仅适用于匀变速直线运动．
三、初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为：
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
2．按位移等分(设相等的位移为x)的比例式
(1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.
(2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.
(3)通过连续相同的位移所用时间之比为：
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
探究点01位移差公式Δx＝aT2的应用
【探究应用1】—个做匀变速直线运动的质点，初速度为0.5 m/s，第9 s内的位移比第5 s内的位移多4 m，则该质点的加速度、9 s末的速度和质点在9 s内通过的位移分别是( )
A．a＝1 m/s2，v9＝9.5 m/s，x9＝45 m
B．a＝1 m/s2，v9＝9 m/s，x9＝45 m
C．a＝1 m/s2，v9＝9 m/s，x9＝0.5 m
D．a＝0.8 m/s2，v9＝1.7 m/s，x9＝36.9 m
【答案】A
【解析】由x9－x5＝4aT2解得a＝＝ m/s2＝1 m/s2，第9 s末的速度v＝v0＋at＝0.5 m/s＋1×9 m/s＝9.5 m/s，质点在9 s内通过的位移x＝v0t＋at2＝0.5×9 m＋×1×92 m＝45 m。
逐差法求加速度
1．纸带上提供的数据为偶数段．
(1)若已知连续相等时间内的两段位移．
由x2－x1＝aT2，得a＝
(2)若已知连续相等时间内的四段位移．
可以简化成两大段AC、CE研究
xⅠ＝x1＋x2
xⅡ＝x3＋x4
tAC＝tCE＝2T
a＝＝
(3)若已知连续相等时间内的六段位移
可以简化成两大段AD、DG研究
xⅠ＝x1＋x2＋x3
xⅡ＝x4＋x5＋x6
a＝＝.
2．纸带上提供的数据为奇数段
可以先舍去一个较小的数据，选取偶数段数据再利用上述方法求解．
【迁移应用1】在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，打点计时器打出的一条纸带如图所示，A、B、C、D、E是在纸带上所选的计数点，相邻两计数点间的时间间隔为0.1 s，各计数点与A计数点间的距离在图中已标出．则在打B点时，小车的速度为________ m/s，并可求得小车的加速度大小为________ m/s2.
【答案】0.26 0.4
【解析】
由纸带数据经计算可知小车在做匀变速直线运动，根据匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，可知vB＝＝ m/s＝0.26 m/s，根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，可知加速度a＝＝×10－3 m/s2＝0.4 m/s2.
探究点02 平均速度公式的理解与应用
情境探究
如图所示，如果匀变速直线运动的初速度为v0，末速度为v，这段时间中间时刻的瞬时速度为，试推导＝＝.
【答案】
方法一 解析法
在匀变速直线运动中，对于这段时间t，其中间时刻的瞬时速度＝v0＋at，该段时间的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可得＝＝＝v0＋at＝＝＝＝，即＝＝.
方法二 图像法
这段时间位移x＝t
平均速度＝＝
中间时刻的瞬时速度对应梯形中位线高，故＝
探究归纳
＝＝
匀变速直线运动的的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，等于初末速度的平均值。
【探究应用2】某汽车从车站由静止开出，做匀加速直线运动，运动了12 s时，发现还有乘客没上来，于是汽车立即做匀减速直线运动至停下，共历时20 s，运动了50 m，求汽车在上述运动中的最大速度的大小．
【答案】5 m/s
【解析】
由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，设最大速度为vm，则x1＝t1①
x2＝t2②
由①＋②得x1＋x2＝(t1＋t2)
解得vm＝＝5 m/s.
【迁移应用2】做匀加速直线运动的物体，依次通过A、B、C三点，位移sAB＝sBC，已知物体在AB段的平均速度大小为2 m/s，在BC段的平均速度大小为3 m/s，那么物体在B点的瞬时速度大小为( )
A． m/s B．2.4 m/s
C．2.5 m/s D．2.6 m/s
【答案】D
【解析】
设加速度大小为a，经A、C的速度大小分别为vA、vC，sAB＝sBC＝L，根据匀加速直线运动规律可得
v－v＝2aL
v－v＝2aL
根据匀变速直线运动平均速度的定义有
＝1＝2 m/s
＝2＝3 m/s
联立以上各式可得vB＝2.6 m/s，故D正确，A、B、C错误。
探究点03 初速度为零的匀变速直线运动常用的结论的应用
【探究应用3】质点从O点由静止开始做匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，已知通过OA、AB、BC所用时间之比为1∶2∶3，则OA、AB、BC的距离之比为( )
A．1∶4∶9 B．1∶3∶5
C．1∶8∶27 D．1∶2∶3
【答案】C
【解析】初速度为0的匀加速直线运动，第1个T、第2个T、第3个T、…、第6个T内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11，所以xOA∶xAB∶xBC＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27，故C正确．
【迁移应用3】(多选)如图所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D点，最后到达底端E点．下列说法正确的是( )
A．物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2
B．通过各段所用的时间之比为tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶∶∶2
C．物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2
D．下滑全程的平均速度＝vB
【答案】ACD
【解析】物体做初速度为零的匀加速直线运动．由v2＝2ax得v∝，A正确；通过各段所用时间之比为tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶(－1)∶(－)∶(2－)，B错误；由v＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2，C正确；因tB∶tE＝1∶2，即tAB＝tBE，vB为AE段的中间时刻的速度，故＝vB，D正确．
学业合格练
1. (多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是( )
A．物体的加速度为20 m/s2
B．物体的加速度为25 m/s2
C．CD＝4 m
D．CD＝5 m
【答案】BC
【解析】
由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx＝aT2，可得：a＝＝25 m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4 m，故C正确，D错误．
2. 一物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第3 s内与第2 s内的位移之差是6 m，则可知( )
A．物体运动的加速度大小为3 m/s2
B．第2 s末的速度大小为12 m/s
C．第1 s内的位移大小为1 m
D．物体在前4 s内的平均速度大小为15 m/s
【答案】 B
【解析】
根据Δx＝aT2可得物体运动的加速度a＝＝ m/s2＝6 m/s2，A错误；
第2 s末的速度v2＝at2＝6×2 m/s＝12 m/s，B正确；
第1 s内的位移x1＝at12＝×6×12 m＝3 m，C错误；
物体在前4 s内的位移x4＝at42＝×6×42 m＝48 m，则物体在前4 s内的平均速度＝＝ m/s＝12 m/s，D错误．
3. (多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度－时间图像如图所示，那么0～t0和t0～3t0 两段时间内( )
A．加速度大小之比为3∶1
B．位移大小之比为1∶2
C．平均速度大小之比为2∶1
D．平均速度大小之比为1∶1
【答案】BD
【解析】加速度a＝，由题图知Δt1＝t0，Δt2＝2t0，则＝，A项错误；位移大小之比等于v－t图线与t坐标轴所围图形的面积之比，即＝，B项正确；平均速度＝，＝1，C项错误，D项正确．
4. 为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图4所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为( )
图4
A．1 m/s2 B．2.25 m/s2
C．3 m/s2 D．4.25 m/s2
【答案】B
【解析】
轿车车身总长为4.5 m，则题图中每一小格为1.5 m，由此可算出两段距离分别为x1＝12 m和x2＝21 m，又T＝2 s，则a＝＝ m/s2＝2.25 m/s2，故选B.
5. 一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时( )
A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…
B．每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…∶n
C．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…
【答案】C
【解析】
列车从静止开始做匀加速直线运动，速度v＝
所以每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶∶∶…∶，故A错误；根据时间t＝ ，所以每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶∶∶…∶，故B错误；根据连续相等时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)可知，在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…∶(2n－1)，故C正确，D错误。
6. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与第2 s内位移大小之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度大小之比为v1∶v2，则下列说法正确的是( )
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
【答案】B
【解析】物体从静止开始做匀加速直线运动，它在连续相等时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以x1∶x2＝1∶3，由v2＝2ax得v1∶v2＝1∶。
7. (1)电火花计时器使用________电源(选填“直流”或“交流”)，工作电压为________ V.
(2)在某次用打点计时器(工作频率为50 Hz)测定已知做匀变速直线运动物体的加速度实验中，所获得的纸带如图所示．选好0点后，每5个间隔点取一个计数点(中间的4个点图中未画出)，依次取得1、2、3、4点，测得的数据如图所示．
则纸带的加速度大小为________ m/s2，“1”这一点的速度大小为________ m/s.(结果均保留三位有效数字)
【答案】(1)交流 220 (2)0.800 0.461
【解析】
(1)电火花计时器使用交流电源，工作电压为220 V；
(2)每5个间隔点取一个计数点，所以相邻的计数点间的时间间隔T＝0.1 s，由逐差法得：
a＝＝×10－2 m/s2＝0.800 m/s2，根据匀变速直线运动时间中点的速度等于该过程中的平均速度，可以求出打纸带上1点时的速度大小：v1＝＝ m/s≈0.461 m/s.
8. 有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求物体的初速度、末速度和加速度的大小。
【答案】1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2
【解析】
由题意可画出物体的运动示意图：
方法一 逐差法
由Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2①
又x1＝vAT＋aT2②
vC＝vA＋a·2T③
由①②③式解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
方法二 平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为
1＝＝ m/s＝6 m/s
2＝＝ m/s＝16 m/s
由于B是A、C的中间时刻，则1＝，
2＝
又vB＝＝＝ m/s＝11 m/s
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
其加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。
方法三 基本公式法
由位移公式得x1＝vAT＋aT2
x2＝vA·2T＋a(2T)2－
vC＝vA＋a·2T
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入上式，
解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
学业等级练
9. (多选)如图，一质点从A点开始做匀加速直线运动，随后依次经过B、C、D三点．已知AB段、CD段距离分别为5 m、13 m，质点经过AB段、BC段、CD段时间相等，均为1 s，则( )
A．质点的加速度大小为4 m/s2
B．质点的加速度大小为2 m/s2
C．质点在C点的速度大小为11 m/s
D．质点在B点的速度大小为6 m/s
【答案】AC
【解析】
AB、BC、CD段时间相等，均为T＝1 s
由x3－x1＝2aT2得a＝＝ m/s2＝4 m/s2
由x2－x1＝x3－x2得BC段长度x2＝9 m
B点对应AC段的中间时刻，vB＝AC＝＝ m/s＝7 m/s
C点对应BD段的中间时刻，vC＝BD＝＝ m/s＝11 m/s，故A、C正确．
10. 如图所示，一物块从一光滑且足够长的固定斜面顶端O点无初速度释放后做匀加速直线运动，先后通过P、Q、N三点，已知物块从P点运动到Q点与从Q点运动到N点所用的时间相等，且PQ长度为2 m，QN长度为4 m，则由上述数据可以求出OP的长度为( )
A. m B．1 m
C. m D．1.2 m
【答案】A
【解析】设物块从P点运动到Q点与从Q点运动到N点所用的时间均为t，加速度均为a，由Δx＝at2得，加速度：a＝＝＝，Q点的速度为PN段的平均速度：vQ＝PN＝＝，则OQ间的长度：xOQ＝＝×＝ m，则OP长度：xOP＝xOQ－xPQ＝(－2) m＝ m，故B、C、D错误，A正确．
11. (多选)做直线运动的物体甲的x－t图像和物体乙的v－t图像分别如图甲、乙所示，则关于这两个物体的运动情况，下列说法正确的是( )
A．甲在0～6 s时间内运动方向不变，它通过的总位移大小为4 m
B．甲在0～6 s时间内平均速度为零
C．乙在0～6 s时间内通过的总位移为零
D．乙在0～6 s时间内加速度大小不变，方向发生了变化
【答案】AC
【解析】位移－时间图像中图线的斜率表示速度，甲在整个过程中图线的斜率不变，知甲运动的速度不变，总位移为Δx＝2 m－(－2 m)＝4 m，故A正确，B错误；乙在0～6 s内，先向负方向做匀减速直线运动，后向正方向做匀加速直线运动，速度的方向在第3 s时发生改变，图线与时间轴围成的面积表示位移，则乙在0～6 s内总位移为零，故C正确；速度－时间图像中图线的斜率表示加速度，题图乙中图线的斜率不变，知乙的加速度大小不变，方向也未发生改变，故D错误．
12. 做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移为x，设这段位移内中间位置的瞬时速度为v，则( )
A．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v＜
B．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v＞
C．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v＝
D．匀加速直线运动时，v＜；匀减速直线运动时，v＞
【答案】B
【解析】等于t时间内物体的平均速度，也等于t时间内中间时刻的瞬时速度，又因为无论是匀加速还是匀减速直线运动中，任意一段时间内的平均速度总小于中间位置的瞬时速度，故有v＞，故选项B正确．
13. 我国“蛟龙号”载人潜水器进行下潜试验，从水面开始竖直下潜，最后返回水面，其v－t图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A．0～4 min和6～10 min两时间段平均速度大小相等
B．全过程中的最大加速度为0.025 m/s2
C．3～4 min和6～8 min加速度方向相反
D．本次下潜的最大深度为6 m
【答案】 A
【解析】
根据v－t图像与横轴围成的面积表示位移，则0～4 min内的位移大小为：x＝×(120＋240)×2.0 m＝360 m；6～10 min内位移大小为x′＝×3.0×240 m＝360 m，可知，0～4 min和6～10 min两时间段位移大小相等，所用时间相等，则平均速度大小相等，故A正确；v－t图线的倾斜程度表示加速度的大小，0～1 min和3～4 min加速度最大，大小为a＝＝ m/s2≈0.033 m/s2，故B错误；v－t图像的斜率的正负反映加速度的方向，可知3～4 min和6～8 min加速度方向相同，故C错误；由题图可知t＝4 min时“蛟龙号”下潜到最深处，最大深度为：s＝×(120＋240)×2.0 m＝360 m，故D错误．
冲刺“双一流”
14. 甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图像如图所示．在这段时间内( )
A．汽车甲的平均速度比乙大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
【答案】A
【解析】
因为v－t图线与t坐标轴所围的面积表示物体的位移，故在0～t1时间内，甲车的位移大于乙车，故根据＝可知，甲车的平均速度大于乙车，选项A正确，C错误；因为乙车做变减速运动，故平均速度不等于，选项B错误；因为v－t图线的切线斜率的绝对值等于物体的加速度大小，故甲、乙两车的加速度大小均逐渐减小，选项D错误．
15. (多选)如图所示，在水平面上固定着4个完全相同的木块，一颗子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第4个木块(即D位置)时速度恰好为0，下列说法正确的是( )
A．子弹从O运动到D全过程的平均速度小于B点的瞬时速度
B．子弹通过每一个木块时，其速度变化量 vA－vO＝vB－vA＝vC－vB＝vD－vC
C．子弹到达各点的速率之比为vO∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1
D．子弹从进入木块至到达各点经历的时间之比为tA∶tB∶tC∶tD＝1∶∶∶2
【答案】AC
【解析】
全过程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，根据匀变速运动的结论可知，中间时刻的瞬时速度一定小于中间位置的瞬时速度，故A正确；由于子弹的速度越来越小，故穿过每一个木块的时间不相等，故速度的差值不相等，故B错误；将子弹的运动反向视为初速度为0的匀加速直线运动，则由v2＝2ax可知，子弹依次通过点C、B、A、O的速率之比为1∶∶∶2，所以子弹到达各点的速率之比为vO∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1，故C正确；将子弹的运动反向视为初速度为0的匀加速直线运动，则由x＝at2可知，子弹依次通过各木块用时之比为1∶(－1)∶(－)∶(2－)，所以子弹从进入木块至到达各点经历的时间之比为tA∶tB∶tC∶tD＝(2－)∶(2－)∶1∶2，故D错误。
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