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2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系-高一物理备课必备讲义（人教必修第一册 ）
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第二章 匀变速直线运动的研究
2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系
课标要求
素养要求
课
标
解
读
1．知道匀变速直线运动的位移与v－t图像中图线与坐标轴围成面积的关系。
2．了解利用极限思想解决物理问题的方法。
3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系并会用来分析、解决问题。
4．会推导速度与位移的关系式，并知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式中各物理量的含义。
5．会用公式v2－v＝2ax进行分析和计算。
1．物理观念：通过推导位移公式，知道vt图像中图线与横轴包围的“面积”表示位移，体会物理问题研究中的极限法。。
2．科学思维：(1)通过分析，认识位移公式，理解其矢量性，能用位移公式及vt图像描述匀变速直线运动，并理解其位移特点。
(2)通过分析，掌握匀变速直线运动的有关推论，并能利用匀变速直线运动的规律解释或解决生活实际问题。
3．综合运用速度—时间关系公式和位移—时间关系公式推导速度与位移的关系，并利用其解决生活中的实际问题。
教材原句01 匀变速直线运动的位移
x＝v0t＋at2，这就是匀变速直线运动位移与时间的关系式。如果初速度为0，这个公式就可以简化为x＝at2.
自主思考
1.匀速直线运动的vt图像如图所示，vt图像与对应的时间轴所包围的矩形的(阴影部分)“面积”有什么意义？
【答案】
表示物体在0～t1时间内的位移。
2. 位移公式的推导
阅读教材P43页“拓展学习”，请用“无限分割”“逐渐逼近”的思想说明v－t图像与t轴所围面积表示位移。
位移在v－t图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图像中的图线和时间轴包围的“面积”。
(1)上图中CB斜线下梯形的面积表示位移，面积S＝(OC＋AB)×OA，其中OC表示初速度v0，AB表示t时刻的速度v，OA表示时间t，代入上式得位移x＝(v0＋v)t；
(2)将速度公式v＝v0＋at代入上式得x＝v0t＋at2。
教材原句02 速度与位移的关系
v2－v02＝2ax，这就是匀变速直线运动的速度与位移的关系式。
自主思考
如何根据匀变速直线运动的速度公式和位移公式，推导匀变速直线运动的速度与位移的关系式？
【答案】速度公式：v＝v0＋at；
位移公式：x＝v0t＋at2；
由以上两式消去t得：v2－v＝2ax。
探究点01 位移公式x＝v0t＋at2的理解及应用
情境探究
如图所示，汽车由静止以加速度a1启动，行驶一段时间t1后，又以加速度a2刹车，经时间t2后停下来。请思考：
(1)汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？
(2)根据位移与时间公式求加速过程及减速过程中的位移，速度及加速度的正、负号如何确定？
【答案】
(1)汽车加速时加速度的方向与运动方向相同，减速时加速度方向与运动方向相反，因此两过程中加速度方向不同。
(2)根据位移与时间公式求位移时，如果取初速度方向为正方向，加速时，加速度取正值，减速时，加速度取负值。
探究归纳
1．位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．
2．公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v0的方向为正方向．当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正负表示其方向．
3．当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x与t2成正比．
【探究应用1】一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求：
(1)物体在前3 s内的位移大小；
(2)物体在第3 s内的位移大小．
【答案】(1)12.75 m (2)3.75 m
【解析】
(1)取初速度方向为正方向
v0＝5 m/s，a＝－0.5 m/s2
前3 s内物体的位移x3＝v0t3＋at32＝5×3 m＋×(－0.5)×32 m＝12.75 m.
(2)同理，前2 s内物体的位移
x2＝v0t2＋at22＝5×2 m－×0.5×22 m＝9 m
因此第3 s内物体的位移
x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m.
【迁移应用1】某辆赛车在一段直道上做初速度为零的匀加速直线运动，前2 s内位移是8 m，则( )
A．赛车的加速度是2 m/s2
B．赛车的加速度是3 m/s2
C．赛车第4 s内的位移是32 m
D．赛车第4 s内的位移是14 m
【答案】 D
【解析】
赛车做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移与时间的关系式x＝at2，解得a＝4 m/s2，故A、B错误；赛车第4 s内的位移为前4 s内的位移减去前3 s内的位移，由Δx＝at42－at32解得赛车第4 s内的位移为14 m，故C错误，D正确．
探究点02 速度—位移关系式v2－v02＝2ax的理解及应用
情境探究
如图所示，A、B、C三个标志牌的间距均为x，汽车做匀加速直线运动，加速度为a，已知汽车经过标志牌A的速度为vA，你能求出汽车经过标志牌B和C的速度vB和vC吗？
【答案】
能，由vB2－vA2＝2ax可求出vB，由vC2－vA2＝2a(2x)可求出vC。
探究归纳
对速度与位移的关系v2－v02＝2ax的理解
1．适用范围：仅适用于匀变速直线运动．
2．矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向：
(1)若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值．
(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移．
(3)v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0则为减速到0，又返回过程的速度．
【探究应用2】某型号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的飞机在平直跑道上加速时可能产生的最大加速度为5.0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞．设航空母舰处于静止状态．问：
(1)若要求该飞机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？
(2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，问该舰身长至少为多长？
【答案】 (1)30 m/s (2)250 m
【解析】
(1)设弹射系统使飞机具有的初速度为v0，由运动学公式v2－v02＝2ax
可知v0＝＝30 m/s.
(2)不装弹射系统时，飞机从静止开始做匀加速直线运动．由公式v2＝2ax可知该舰身长至少为x＝＝250 m.
【迁移应用2】一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯后便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．
【答案】 (1)30 m (2)40 m
【解析】
取初速度方向为正方向，汽车的初速度
v0＝72 km/h＝20 m/s，
末速度v＝0，
加速度a＝－5 m/s2；
汽车运动的总时间t＝＝ s＝4 s.
(1)因为t1＝2 s
＝30 m.
(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车在5 s末时早已停止运动
故x2＝v0t＋at2＝[20×4＋×(－5)×42] m＝40 m.
探究点03利用vt图像的“面积”求物体的位移
情境探究
将匀变速直线运动按时间等分，每一段时间看作匀速直线运动，所有小矩形面积之和与梯形面积的有什么关系？
探究归纳
对于任何形式的直线运动，物体在t时间内的位移都可以用v－t图线与t轴所包围的面积表示，如图所示。
(1)当“面积”在t轴上方时，位移取正值，这表示物体的位移与规定的正方向相同。
(2)当“面积”在t轴下方时，位移取负值，这表示物体的位移与规定的正方向相反。
(3)物体的总位移等于各部分位移(正负面积)的代数和；物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和。
【探究应用3】某一做直线运动的物体的v－t图像如图所示，根据图像求：
(1)物体距出发点的最远距离；
(2)前4 s内物体的位移；
(3)前4 s内物体通过的路程。
【答案】(1)6 m (2)5 m，方向与初速度方向相同(3)7 m
【解析】
(1)物体距出发点最远的距离
xm＝v1t1＝×4×3 m＝6 m；
(2)前4 s内的位移x＝x1－x2＝v1t1－v2t2＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m，方向与初速度方向相同；
(3)前4 s内通过的路程s＝|x1|＋|x2|＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m。
【迁移应用3】一质点的v－t图像如图所示，求它在前2 s内和前4 s 内的位移。
【答案】5 m 0
【解析】
位移大小等于图线与时间轴t所围成的面积，在前2 s内的位移x1＝2×5× m＝5 m；在后2 s内的位移x2＝(4－2)×(－5)× m＝－5 m，所以质点在前4 s内的位移x＝x1＋x2＝5 m－5 m＝0。
学业合格练
1. 一物体做匀变速直线运动，下列说法正确的是( )
A．物体的末速度与时间成正比
B．物体的位移与时间的平方成正比
C．物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比
D．若是匀加速运动，位移和速度随时间增加；若是匀减速运动，位移和速度随时间减小
【答案】C
【解析】
根据v＝v0＋at和x＝v0t＋at2可知，只有在初速度为0的情况下，速度与时间成正比，位移与时间的平方成正比，故A、B错误；由a＝可知，a一定，则物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比，故C正确；当物体做匀减速运动时，速度减小但位移可能增大，故D错误。
2. 关于质点做匀速直线运动的位移—时间图像，以下说法正确的是( )
A．图线代表质点运动的轨迹
B．图线的长度代表质点的路程
C．图像是一条直线，其长度表示质点的位移大小，每一点代表质点的位置
D．利用x－t图像可知质点任意时间内的位移及发生某段位移所用的时间
【答案】D
【解析】
位移—时间图像描述位移随时间的变化规律，图线不是质点的运动轨迹，图线的长度不是质点的路程或位移大小，A、B、C错误；位移—时间图像的横坐标表示时间，纵坐标表示位移，所以，从图像中可知质点任意时间内的位移和发生任意位移所用的时间，D正确。
3. 某辆赛车在一段直道上做初速度为零的匀加速直线运动，前2 s内位移是8 m，则( )
A．赛车的加速度是2 m/s2
B．赛车的加速度是3 m/s2
C．赛车第4 s内的位移是32 m
D．赛车第4 s内的位移是14 m
【答案】D
【解析】赛车做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移与时间的关系式x＝at2，解得a＝4 m/s2，故A、B错误；赛车第4 s内的位移为前4 s内的位移减去前3 s内的位移，由Δx＝at42－at32解得赛车第4 s内的位移为14 m，故C错误，D正确．
4. 飞机着陆后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动直至静止．其着陆速度为60 m/s，求：
(1)飞机着陆过程中滑行的距离；
(2)在此过程中，飞机最后4 s滑行的位移大小．
【答案】(1)300 m (2)48 m
【解析】
(1)取初速度方向为正方向，v0＝60 m/s，
a＝－6 m/s2，v＝0
由v2－v02＝2ax得
x＝＝ m＝300 m.
(2)匀减速直线运动速度减到零，其逆过程为初速度为零的匀加速直线运动，a′＝6 m/s2
飞机最后4 s滑行的位移x′＝a′t2＝×6×42 m＝48 m.
5. 一辆汽车开始刹车后运动的位移随时间变化的规律是x＝10t－2t2，x和t的单位分别是m和s，以下说法正确的是( )
A．初速度v0＝10 m/s，加速度大小a＝4 m/s2
B．初速度v0＝4 m/s，加速度大小a＝10 m/s2
C．汽车刹车到停止所用时间为5 s
D．汽车刹车后4 s内的位移是12.5 m
【答案】AD
【解析】
根据x＝v0t＋at2＝10t－2t2可得v0＝10 m/s，a＝－4 m/s2，即初速度为10 m/s，加速度大小为4 m/s2，故A正确，B错误；汽车速度减为零的时间为t0＝＝ s＝2.5 s，则刹车后4 s内的位移为x＝ t0＝×2.5 m＝12.5 m，故C错误，D正确。
6. 某型号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的飞机在平直跑道上加速时可能产生的最大加速度为5.0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞．设航空母舰处于静止状态．问：
(1)若要求该飞机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？
(2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，问该舰身长至少为多长？
【答案】 (1)30 m/s (2)250 m
【解析】
(1)设弹射系统使飞机具有的初速度为v0，由运动学公式v2－v02＝2ax
可知v0＝＝30 m/s.
(2)不装弹射系统时，飞机从静止开始做匀加速直线运动．由公式v2＝2ax可知该舰身长至少为x＝＝250 m.
7. 一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯后便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．
【答案】 (1)30 m (2)40 m
【解析】
取初速度方向为正方向，汽车的初速度
v0＝72 km/h＝20 m/s，
末速度v＝0，
加速度a＝－5 m/s2；
汽车运动的总时间t＝＝ s＝4 s.
(1)因为t1＝2 s
＝30 m.
(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车在5 s末时早已停止运动
故x2＝v0t＋at2＝[20×4＋×(－5)×42] m＝40 m.
8. 汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌(如图所示)，以提醒后面驾车司机，减速安全通过。在夜间，有一货车因故障抛锚，后面有一小轿车以30 m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50 m 的物体，并且他的反应时间为0.6 s，制动后最大加速度为5 m/s2。求：
(1)小轿车从刹车到停止所用的最短时间；
(2)三角警示牌至少要放在车后多远处，才能有效避免两车相撞。
【答案】(1)6 s (2)58 m
【解析】
(1)设从刹车到停止所用的最短时间为t2，则t2＝＝6 s。
(2)反应时间内做匀速运动，则x1＝v0t1，x1＝18 m，从刹车到停止的位移为x2，则x2＝，x2＝90 m，小轿车从发现警示牌到停止的全部距离为x＝x1＋x2＝108 m，Δx＝x－50 m＝58 m。
学业等级练
9. [多选]P、Q两质点，从同一地点由静止开始运动的vt图像如图所示，由图像可以判定( )
A．P质点的速度越来越小
B．零时刻，P质点的加速度为零
C．在0～t1时间内，P质点在Q质点前面
D．在0～t1时间内，P质点的平均速度大于Q质点的平均速度
【答案】CD
【解析】
在vt图像中，某一点代表此时刻的瞬时速度，从题图中可以看出在0～t1时间内，P质点的速度越来越大，故A错误；由于在vt图像中，图线的切线斜率表示加速度，所以零时刻P质点的速度虽然为零，但是斜率(即加速度)不为零，故B错误；在vt图像中，图线与横轴围成的面积代表位移，所以在0～t1时间内，P质点的位移大于Q质点的位移，因P、Q两质点从同一地点由静止开始运动，则P质点在Q质点前面，根据＝可知，在0～t1时间内，P质点的平均速度大于Q质点的平均速度，故C、D正确。
10. 汽车在水平地面上因故刹车，可以看作是匀减速直线运动，其位移与时间的关系是：x＝16t－2t2(m)，则它在停止运动前最后1 s内的平均速度为( )
A．6 m/s B．4 m/s
C．2 m/s D．1 m/s
【答案】C
【解析】
根据匀变速直线运动的位移时间关系
x＝v0t＋at2＝16t－2t2(m)，
则v0＝16 m/s，a＝－4 m/s2；
采取逆向思维，汽车在停止运动前最后1 s内的位移
x1＝|a|t12＝×4×12 m＝2 m，
停止运动前最后1 s内的平均速度＝＝ m/s＝2 m/s，故选C.
11. 一辆汽车以20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶，突然发现前方有障碍物，立即刹车，汽车以大小为5 m/s2的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后2 s内与刹车后6 s内汽车通过的位移大小之比为( )
A．1∶1 B．3∶4
C．3∶1 D．4∶3
【答案】B
【解析】
汽车的刹车时间t0＝ s＝4 s，故刹车后2 s内及6 s内汽车的位移大小分别为x1＝v0t1＋at12＝20×2 m＋×(－5)×22 m＝30 m，x2＝20×4 m＋×(－5)×42 m＝40 m，x1∶x2＝3∶4，B正确．
12. 如图所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在水平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，物体经过斜面和水平面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的加速度a1与在水平面上的加速度a2的大小关系为( )
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝a2 D．a1＝4a2
【答案】B
【解析】
设匀加速运动的末速度为v，对于匀加速直线运动阶段有：v2＝2a1x1，
对于匀减速运动阶段，可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，故有v2＝2a2x2，
联立两式解得＝＝2，即a1＝2a2.故选B.
13. 汽车在平直公路上以10 m/s的速度做匀速直线运动，发现前面有情况而刹车，获得的加速度大小是2 m/s2，求：
(1)汽车经3 s时速度的大小；
(2)汽车经6 s时速度的大小；
(3)从刹车开始经过8 s，汽车通过的距离．
【答案】(1)4 m/s (2)0 (3)25 m
【解析】
设汽车经时间t0速度减为0，有：
t0＝＝ s＝5 s
(1)根据速度－时间公式有：v3＝v0＋at＝4 m/s
(2)经过6 s时速度为：v6＝0
(3)刹车8 s汽车的位移为：
x8＝x5＝v0t0＋at02＝25 m.
冲刺“双一流”
14. 如图所示的是甲、乙两物体的v－t图像，在0～t2时间内甲一直做匀加速直线运动，乙先做匀减速到速度为0，再做匀加速直线运动，t2<2t1，关于两物体在0～t2时间内运动的位移大小关系正确的是( )
A．x甲＝2x乙 B．x甲>2x乙
C．x甲<2x乙 D．以上三种情况都可能
【答案】B
【解析】
从速度图像上比较位移，可直接比较速度图线与时间轴所围面积。如图所示，0～t1时间内甲物体的位移大于乙物体位移的2倍，t1～t2时间内甲物体的位移小于乙物体位移的2倍，但由于t2<2t1，则图中标号为1的三角形面积必大于标号为2的三角形面积，故甲的位移必大于乙位移的2倍，B正确。
15. 在高速公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车．某段平直高速公路的最高车速限制为108 km/h.设某人驾车正以最高时速沿该高速公路匀速行驶，该车刹车时产生的加速度大小为5 m/s2，该人的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时间)为0.5 s．计算行驶时的安全车距至少为多少？
【答案】 105 m
【解析】
汽车原来的速度v0＝108 km/h＝30 m/s，运动过程如图所示
在反应时间t1＝0.5 s内，汽车做匀速直线运动的位移为x1＝v0t1＝30×0.5 m＝15 m
刹车后，汽车做匀减速直线运动，
滑行时间为t2＝ s＝6 s
汽车刹车后滑行的位移为
x2＝v0t2＋at22＝30×6 m＋×(－5)×62 m＝90 m
所以行驶时的安全车距至少为
x＝x1＋x2＝15 m＋90 m＝105 m.
2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系
课标要求
素养要求
课
标
解
读
1．知道匀变速直线运动的位移与v－t图像中图线与坐标轴围成面积的关系。
2．了解利用极限思想解决物理问题的方法。
3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系并会用来分析、解决问题。
4．会推导速度与位移的关系式，并知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式中各物理量的含义。
5．会用公式v2－v＝2ax进行分析和计算。
1．物理观念：通过推导位移公式，知道vt图像中图线与横轴包围的“面积”表示位移，体会物理问题研究中的极限法。。
2．科学思维：(1)通过分析，认识位移公式，理解其矢量性，能用位移公式及vt图像描述匀变速直线运动，并理解其位移特点。
(2)通过分析，掌握匀变速直线运动的有关推论，并能利用匀变速直线运动的规律解释或解决生活实际问题。
3．综合运用速度—时间关系公式和位移—时间关系公式推导速度与位移的关系，并利用其解决生活中的实际问题。
教材原句01 匀变速直线运动的位移
x＝v0t＋at2，这就是匀变速直线运动位移与时间的关系式。如果初速度为0，这个公式就可以简化为x＝at2.
自主思考
1.匀速直线运动的vt图像如图所示，vt图像与对应的时间轴所包围的矩形的(阴影部分)“面积”有什么意义？
【答案】
表示物体在0～t1时间内的位移。
2. 位移公式的推导
阅读教材P43页“拓展学习”，请用“无限分割”“逐渐逼近”的思想说明v－t图像与t轴所围面积表示位移。
位移在v－t图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图像中的图线和时间轴包围的“面积”。
(1)上图中CB斜线下梯形的面积表示位移，面积S＝(OC＋AB)×OA，其中OC表示初速度v0，AB表示t时刻的速度v，OA表示时间t，代入上式得位移x＝(v0＋v)t；
(2)将速度公式v＝v0＋at代入上式得x＝v0t＋at2。
教材原句02 速度与位移的关系
v2－v02＝2ax，这就是匀变速直线运动的速度与位移的关系式。
自主思考
如何根据匀变速直线运动的速度公式和位移公式，推导匀变速直线运动的速度与位移的关系式？
【答案】速度公式：v＝v0＋at；
位移公式：x＝v0t＋at2；
由以上两式消去t得：v2－v＝2ax。
探究点01 位移公式x＝v0t＋at2的理解及应用
情境探究
如图所示，汽车由静止以加速度a1启动，行驶一段时间t1后，又以加速度a2刹车，经时间t2后停下来。请思考：
(1)汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？
(2)根据位移与时间公式求加速过程及减速过程中的位移，速度及加速度的正、负号如何确定？
【答案】
(1)汽车加速时加速度的方向与运动方向相同，减速时加速度方向与运动方向相反，因此两过程中加速度方向不同。
(2)根据位移与时间公式求位移时，如果取初速度方向为正方向，加速时，加速度取正值，减速时，加速度取负值。
探究归纳
1．位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．
2．公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v0的方向为正方向．当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正负表示其方向．
3．当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x与t2成正比．
【探究应用1】一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求：
(1)物体在前3 s内的位移大小；
(2)物体在第3 s内的位移大小．
【答案】(1)12.75 m (2)3.75 m
【解析】
(1)取初速度方向为正方向
v0＝5 m/s，a＝－0.5 m/s2
前3 s内物体的位移x3＝v0t3＋at32＝5×3 m＋×(－0.5)×32 m＝12.75 m.
(2)同理，前2 s内物体的位移
x2＝v0t2＋at22＝5×2 m－×0.5×22 m＝9 m
因此第3 s内物体的位移
x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m.
【迁移应用1】某辆赛车在一段直道上做初速度为零的匀加速直线运动，前2 s内位移是8 m，则( )
A．赛车的加速度是2 m/s2
B．赛车的加速度是3 m/s2
C．赛车第4 s内的位移是32 m
D．赛车第4 s内的位移是14 m
【答案】 D
【解析】
赛车做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移与时间的关系式x＝at2，解得a＝4 m/s2，故A、B错误；赛车第4 s内的位移为前4 s内的位移减去前3 s内的位移，由Δx＝at42－at32解得赛车第4 s内的位移为14 m，故C错误，D正确．
探究点02 速度—位移关系式v2－v02＝2ax的理解及应用
情境探究
如图所示，A、B、C三个标志牌的间距均为x，汽车做匀加速直线运动，加速度为a，已知汽车经过标志牌A的速度为vA，你能求出汽车经过标志牌B和C的速度vB和vC吗？
【答案】
能，由vB2－vA2＝2ax可求出vB，由vC2－vA2＝2a(2x)可求出vC。
探究归纳
对速度与位移的关系v2－v02＝2ax的理解
1．适用范围：仅适用于匀变速直线运动．
2．矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向：
(1)若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值．
(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移．
(3)v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0则为减速到0，又返回过程的速度．
【探究应用2】某型号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的飞机在平直跑道上加速时可能产生的最大加速度为5.0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞．设航空母舰处于静止状态．问：
(1)若要求该飞机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？
(2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，问该舰身长至少为多长？
【答案】 (1)30 m/s (2)250 m
【解析】
(1)设弹射系统使飞机具有的初速度为v0，由运动学公式v2－v02＝2ax
可知v0＝＝30 m/s.
(2)不装弹射系统时，飞机从静止开始做匀加速直线运动．由公式v2＝2ax可知该舰身长至少为x＝＝250 m.
【迁移应用2】一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯后便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．
【答案】 (1)30 m (2)40 m
【解析】
取初速度方向为正方向，汽车的初速度
v0＝72 km/h＝20 m/s，
末速度v＝0，
加速度a＝－5 m/s2；
汽车运动的总时间t＝＝ s＝4 s.
(1)因为t1＝2 s
＝30 m.
(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车在5 s末时早已停止运动
故x2＝v0t＋at2＝[20×4＋×(－5)×42] m＝40 m.
探究点03利用vt图像的“面积”求物体的位移
情境探究
将匀变速直线运动按时间等分，每一段时间看作匀速直线运动，所有小矩形面积之和与梯形面积的有什么关系？
探究归纳
对于任何形式的直线运动，物体在t时间内的位移都可以用v－t图线与t轴所包围的面积表示，如图所示。
(1)当“面积”在t轴上方时，位移取正值，这表示物体的位移与规定的正方向相同。
(2)当“面积”在t轴下方时，位移取负值，这表示物体的位移与规定的正方向相反。
(3)物体的总位移等于各部分位移(正负面积)的代数和；物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和。
【探究应用3】某一做直线运动的物体的v－t图像如图所示，根据图像求：
(1)物体距出发点的最远距离；
(2)前4 s内物体的位移；
(3)前4 s内物体通过的路程。
【答案】(1)6 m (2)5 m，方向与初速度方向相同(3)7 m
【解析】
(1)物体距出发点最远的距离
xm＝v1t1＝×4×3 m＝6 m；
(2)前4 s内的位移x＝x1－x2＝v1t1－v2t2＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m，方向与初速度方向相同；
(3)前4 s内通过的路程s＝|x1|＋|x2|＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m。
【迁移应用3】一质点的v－t图像如图所示，求它在前2 s内和前4 s 内的位移。
【答案】5 m 0
【解析】
位移大小等于图线与时间轴t所围成的面积，在前2 s内的位移x1＝2×5× m＝5 m；在后2 s内的位移x2＝(4－2)×(－5)× m＝－5 m，所以质点在前4 s内的位移x＝x1＋x2＝5 m－5 m＝0。
学业合格练
1. 一物体做匀变速直线运动，下列说法正确的是( )
A．物体的末速度与时间成正比
B．物体的位移与时间的平方成正比
C．物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比
D．若是匀加速运动，位移和速度随时间增加；若是匀减速运动，位移和速度随时间减小
【答案】C
【解析】
根据v＝v0＋at和x＝v0t＋at2可知，只有在初速度为0的情况下，速度与时间成正比，位移与时间的平方成正比，故A、B错误；由a＝可知，a一定，则物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比，故C正确；当物体做匀减速运动时，速度减小但位移可能增大，故D错误。
2. 关于质点做匀速直线运动的位移—时间图像，以下说法正确的是( )
A．图线代表质点运动的轨迹
B．图线的长度代表质点的路程
C．图像是一条直线，其长度表示质点的位移大小，每一点代表质点的位置
D．利用x－t图像可知质点任意时间内的位移及发生某段位移所用的时间
【答案】D
【解析】
位移—时间图像描述位移随时间的变化规律，图线不是质点的运动轨迹，图线的长度不是质点的路程或位移大小，A、B、C错误；位移—时间图像的横坐标表示时间，纵坐标表示位移，所以，从图像中可知质点任意时间内的位移和发生任意位移所用的时间，D正确。
3. 某辆赛车在一段直道上做初速度为零的匀加速直线运动，前2 s内位移是8 m，则( )
A．赛车的加速度是2 m/s2
B．赛车的加速度是3 m/s2
C．赛车第4 s内的位移是32 m
D．赛车第4 s内的位移是14 m
【答案】D
【解析】赛车做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移与时间的关系式x＝at2，解得a＝4 m/s2，故A、B错误；赛车第4 s内的位移为前4 s内的位移减去前3 s内的位移，由Δx＝at42－at32解得赛车第4 s内的位移为14 m，故C错误，D正确．
4. 飞机着陆后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动直至静止．其着陆速度为60 m/s，求：
(1)飞机着陆过程中滑行的距离；
(2)在此过程中，飞机最后4 s滑行的位移大小．
【答案】(1)300 m (2)48 m
【解析】
(1)取初速度方向为正方向，v0＝60 m/s，
a＝－6 m/s2，v＝0
由v2－v02＝2ax得
x＝＝ m＝300 m.
(2)匀减速直线运动速度减到零，其逆过程为初速度为零的匀加速直线运动，a′＝6 m/s2
飞机最后4 s滑行的位移x′＝a′t2＝×6×42 m＝48 m.
5. 一辆汽车开始刹车后运动的位移随时间变化的规律是x＝10t－2t2，x和t的单位分别是m和s，以下说法正确的是( )
A．初速度v0＝10 m/s，加速度大小a＝4 m/s2
B．初速度v0＝4 m/s，加速度大小a＝10 m/s2
C．汽车刹车到停止所用时间为5 s
D．汽车刹车后4 s内的位移是12.5 m
【答案】AD
【解析】
根据x＝v0t＋at2＝10t－2t2可得v0＝10 m/s，a＝－4 m/s2，即初速度为10 m/s，加速度大小为4 m/s2，故A正确，B错误；汽车速度减为零的时间为t0＝＝ s＝2.5 s，则刹车后4 s内的位移为x＝ t0＝×2.5 m＝12.5 m，故C错误，D正确。
6. 某型号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的飞机在平直跑道上加速时可能产生的最大加速度为5.0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞．设航空母舰处于静止状态．问：
(1)若要求该飞机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？
(2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，问该舰身长至少为多长？
【答案】 (1)30 m/s (2)250 m
【解析】
(1)设弹射系统使飞机具有的初速度为v0，由运动学公式v2－v02＝2ax
可知v0＝＝30 m/s.
(2)不装弹射系统时，飞机从静止开始做匀加速直线运动．由公式v2＝2ax可知该舰身长至少为x＝＝250 m.
7. 一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯后便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．
【答案】 (1)30 m (2)40 m
【解析】
取初速度方向为正方向，汽车的初速度
v0＝72 km/h＝20 m/s，
末速度v＝0，
加速度a＝－5 m/s2；
汽车运动的总时间t＝＝ s＝4 s.
(1)因为t1＝2 s
＝30 m.
(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车在5 s末时早已停止运动
故x2＝v0t＋at2＝[20×4＋×(－5)×42] m＝40 m.
8. 汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌(如图所示)，以提醒后面驾车司机，减速安全通过。在夜间，有一货车因故障抛锚，后面有一小轿车以30 m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50 m 的物体，并且他的反应时间为0.6 s，制动后最大加速度为5 m/s2。求：
(1)小轿车从刹车到停止所用的最短时间；
(2)三角警示牌至少要放在车后多远处，才能有效避免两车相撞。
【答案】(1)6 s (2)58 m
【解析】
(1)设从刹车到停止所用的最短时间为t2，则t2＝＝6 s。
(2)反应时间内做匀速运动，则x1＝v0t1，x1＝18 m，从刹车到停止的位移为x2，则x2＝，x2＝90 m，小轿车从发现警示牌到停止的全部距离为x＝x1＋x2＝108 m，Δx＝x－50 m＝58 m。
学业等级练
9. [多选]P、Q两质点，从同一地点由静止开始运动的vt图像如图所示，由图像可以判定( )
A．P质点的速度越来越小
B．零时刻，P质点的加速度为零
C．在0～t1时间内，P质点在Q质点前面
D．在0～t1时间内，P质点的平均速度大于Q质点的平均速度
【答案】CD
【解析】
在vt图像中，某一点代表此时刻的瞬时速度，从题图中可以看出在0～t1时间内，P质点的速度越来越大，故A错误；由于在vt图像中，图线的切线斜率表示加速度，所以零时刻P质点的速度虽然为零，但是斜率(即加速度)不为零，故B错误；在vt图像中，图线与横轴围成的面积代表位移，所以在0～t1时间内，P质点的位移大于Q质点的位移，因P、Q两质点从同一地点由静止开始运动，则P质点在Q质点前面，根据＝可知，在0～t1时间内，P质点的平均速度大于Q质点的平均速度，故C、D正确。
10. 汽车在水平地面上因故刹车，可以看作是匀减速直线运动，其位移与时间的关系是：x＝16t－2t2(m)，则它在停止运动前最后1 s内的平均速度为( )
A．6 m/s B．4 m/s
C．2 m/s D．1 m/s
【答案】C
【解析】
根据匀变速直线运动的位移时间关系
x＝v0t＋at2＝16t－2t2(m)，
则v0＝16 m/s，a＝－4 m/s2；
采取逆向思维，汽车在停止运动前最后1 s内的位移
x1＝|a|t12＝×4×12 m＝2 m，
停止运动前最后1 s内的平均速度＝＝ m/s＝2 m/s，故选C.
11. 一辆汽车以20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶，突然发现前方有障碍物，立即刹车，汽车以大小为5 m/s2的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后2 s内与刹车后6 s内汽车通过的位移大小之比为( )
A．1∶1 B．3∶4
C．3∶1 D．4∶3
【答案】B
【解析】
汽车的刹车时间t0＝ s＝4 s，故刹车后2 s内及6 s内汽车的位移大小分别为x1＝v0t1＋at12＝20×2 m＋×(－5)×22 m＝30 m，x2＝20×4 m＋×(－5)×42 m＝40 m，x1∶x2＝3∶4，B正确．
12. 如图所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在水平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，物体经过斜面和水平面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的加速度a1与在水平面上的加速度a2的大小关系为( )
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝a2 D．a1＝4a2
【答案】B
【解析】
设匀加速运动的末速度为v，对于匀加速直线运动阶段有：v2＝2a1x1，
对于匀减速运动阶段，可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，故有v2＝2a2x2，
联立两式解得＝＝2，即a1＝2a2.故选B.
13. 汽车在平直公路上以10 m/s的速度做匀速直线运动，发现前面有情况而刹车，获得的加速度大小是2 m/s2，求：
(1)汽车经3 s时速度的大小；
(2)汽车经6 s时速度的大小；
(3)从刹车开始经过8 s，汽车通过的距离．
【答案】(1)4 m/s (2)0 (3)25 m
【解析】
设汽车经时间t0速度减为0，有：
t0＝＝ s＝5 s
(1)根据速度－时间公式有：v3＝v0＋at＝4 m/s
(2)经过6 s时速度为：v6＝0
(3)刹车8 s汽车的位移为：
x8＝x5＝v0t0＋at02＝25 m.
冲刺“双一流”
14. 如图所示的是甲、乙两物体的v－t图像，在0～t2时间内甲一直做匀加速直线运动，乙先做匀减速到速度为0，再做匀加速直线运动，t2<2t1，关于两物体在0～t2时间内运动的位移大小关系正确的是( )
A．x甲＝2x乙 B．x甲>2x乙
C．x甲<2x乙 D．以上三种情况都可能
【答案】B
【解析】
从速度图像上比较位移，可直接比较速度图线与时间轴所围面积。如图所示，0～t1时间内甲物体的位移大于乙物体位移的2倍，t1～t2时间内甲物体的位移小于乙物体位移的2倍，但由于t2<2t1，则图中标号为1的三角形面积必大于标号为2的三角形面积，故甲的位移必大于乙位移的2倍，B正确。
15. 在高速公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车．某段平直高速公路的最高车速限制为108 km/h.设某人驾车正以最高时速沿该高速公路匀速行驶，该车刹车时产生的加速度大小为5 m/s2，该人的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时间)为0.5 s．计算行驶时的安全车距至少为多少？
【答案】 105 m
【解析】
汽车原来的速度v0＝108 km/h＝30 m/s，运动过程如图所示
在反应时间t1＝0.5 s内，汽车做匀速直线运动的位移为x1＝v0t1＝30×0.5 m＝15 m
刹车后，汽车做匀减速直线运动，
滑行时间为t2＝ s＝6 s
汽车刹车后滑行的位移为
x2＝v0t2＋at22＝30×6 m＋×(－5)×62 m＝90 m
所以行驶时的安全车距至少为
x＝x1＋x2＝15 m＋90 m＝105 m.
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