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    高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行第2课时学案

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    这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行第2课时学案,共7页。

    第2课时 直线与平面平行的判定

    学 习 任 务

    核 心 素 养

    1理解直线与平面平行的判定定理.(重点)

    2掌握直线与平面平行的判定定理并能初步利用定理解决问题.(重点、难点)

    1通过对直线与平面平行判定定理的归纳及发现培养学生数学抽象素养.

    2借助于线面平行判定定理的应用培养学生逻辑推理素养.

     

    门扇的竖直两边是平行的当门扇绕着一边转动时只要不关门不论转动到什么位置它能活动的竖直一边所在直线都与门框存在不变的位置关系.

    问题1:情境中存在着不变的位置关系是指什么?

    问题2:若判断直线与平面平行由上述问题你能得出一种方法吗?

    问题3:若一直线与平面内的直线平行一定有直线与平面平行吗?

    知识点 直线与平面平行的判定定理

    表示

    定理

    图形

    文字

    符号

    直线与平面平行的判定定理

    如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行那么该直线与此平面平行

    lα

    1.如图一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α把这块木板绕AB转动在转动过程中AB的对边CD(不落在α)和平面α有何位置关系?

    [提示] 平行.

    2如果一条直线与一个平面内无数条直线都平行那么该直线与平面具有什么位置关系?

    [提示] 平行或在平面内.

    思考辨析(正确的画“√”错误的画“×”)

    (1)若直线l上有两点到平面α的距离相等l平面α. (  )

    (2)若直线l与平面α平行l与平面α内的任意一条直线平行 (  )

    (3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行那么另一条也与这个平面平行  (  )

    [提示] (1)错误.当直线l与平面α相交时在直线l上也存在两点到平面α的距离相等.

    (2)错误.若直线l与平面α平行时l与平面α内的直线平行或异面.

    (3)错误.两条平行线中的一条直线与一个平面平行那么另一条与这个平面可能平行也可能在这个平面内.

    [答案] (1)× (2)× (3)×

    类型1 直线和平面平行的判定

    【例1 (教材北师版P2184改编)已知正方形ABCD如图(1)EF分别是ABCD的中点ADE沿DE折起如图(2)所示求证:BF平面ADE.

    [证明]  EF分别为ABCD的中点EBFD.

    EBFD四边形EBFD为平行四边形BFED.

    DE平面ADEBF平面ADE

    BF平面ADE.

    应用判定定理证明线面平行的步骤,

    上面的第一步是证题的关键其常用方法有:利用三角形、梯形中位线的性质;利用平行四边形的性质;利用平行线分线段成比例定理.

    易错警示:线面平行判定定理应用的误区

    (1)条件罗列不全最易忘记的条件是aαbα.

    (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.

    1.如图O是长方体ABCD­A1B1C1D1底面对角线ACBD的交点求证:B1O平面A1C1D.

    [证明] 如图连接B1D1A1C1O1连接DO1.

    O1B1DOO1B1DO

    O1B1OD为平行四边形

    B1OO1D.

    B1O平面A1C1DO1D平面A1C1DB1O平面A1C1D.

    类型2 线面平行的判定与性质的综合应用

    【例2 如图所示在四棱锥P­ABCD底面ABCD是平行四边形ACBD交于点OMPC的中点DM上取一点GGAP作平面交平面BDMGH求证:APGH.

    1.利用线面平行的性质定理和判定定理是如何实现线、面之间的平行关系转化的?

    [提示] 

    2.证明平行关系的一般思路是什么?

    [提示] 证明平行关系的一般思路是:由已知想性质由求证想判定即看到题目的条件要想到这个已知条件有什么性质看到要求证的结论要想到应用什么样的判定方法去证明.

    3.

    [证明] 连接MO.

    四边形ABCD是平行四边形OAC的中点.

    MPC的中点APOM.

    AP平面BDMOM平面BDMAP平面BDM.

    AP平面APGH平面APGH平面BDMGHAPGH.

    本例条件不变求证:GH平面PAD.

    [证明] 由例2证得APGH.

    AP平面PADGH平面PADGH平面PAD.

    直线与平面平行的判定定理与性质定理经常交替使用也就是通过线线平行得到线面平行再通过线面平行得到线线平行.

    2.如图在正方体ABCD­A1B1C1D1EBB1上不同于BB1的任一点AB1A1EFB1CC1EG.求证:ACFG.

    [证明] ACA1C1A1C1平面A1EC1AC平面A1EC1AC平面A1EC1.

    AC平面AB1C平面A1EC1平面AB1CFGACFG.

    类型3 线面平行的探索性问题

    【例3 在三棱柱ABC­A1B1C1DE分别是棱BCCC1的中点在线段AB上是否存在一点M使直线DE平面A1MC?请证明你的结论.

    [] 如图取线段AB的中点为M

    连接A1MMCA1CAC1OA1CAC1的交点.

    由已知得OAC1的中点连接MDOE

    MDOE分别为ABCACC1的中位线

    所以MDACMDACOEACOEAC

    因此MDOEMDOE.

    连接OM从而四边形MDEO为平行四边形DEMO.

    因为直线DE平面A1MCMO平面A1MC所以直线DE平面A1MC.

    即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)使直线DE平面A1MC.

    平行中的探索问题解题策略

    1.主要类型:(1)对平行关系的探索;(2)对条件或结论不完备的开放性问题的探索.

    2.解题思路:首先假设存在然后在这个假设的条件下推理论证如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设若推出了矛盾就否定假设.

    3.注意事项:(1)解决此类问题的关键是通过条件与所求把要探索的问题确定下来;(2)在转化过程中要有理有据不能凭空猜测.

    3.如图MN分别是底面为矩形的四棱锥P­ABCD的棱ABPC的中点求证:MN平面PAD.

    [证明] 如图所示PD的中点E连接AENE.

    NPC的中点

    ENDC.

    AMCD

    NEAM.

    四边形AMNE是平行四边形.

    MNAE.

    AE平面PADMN平面PAD

    MN平面PAD.

    1已知b是平面α外的一条直线下列条件中可得出bα的是(  )

    Abα内的一条直线不相交

    Bbα内的两条直线不相交

    Cbα内的无数条直线不相交

    Dbα内的所有直线不相交

    D [由直线和平面平行的概念可知选D.]

    2能保证直线a与平面α平行的条件是(  )

    Abαab

    Bbαcαabac

    CbαABaCDbACBD

    Daαbαab

    D [由线面平行的判定定理可知D正确.]

    3下列选项中一定能得出直线m与平面α平行的是(  )

    A直线m在平面α

    B直线m与平面α内的两条直线平行

    C平面α外的直线m与平面内的一条直线平行

    D直线m与平面α内的一条直线平行

    C [选项A不符合题意因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交;选项BD不符合题意因为缺少条件mα;选项C由直线与平面平行的判定定理知直线m与平面α平行故选项C符合题意.]

    4.在正方体ABCD­ABCDEF分别为底面ABCD和底面ABCD的中心则正方体的六个面中与EF平行的平面有(  )

    A1个   B2个   

    C3     D4

    D [由直线与平面平行的判定定理知EF与平面AB平面BC平面CD平面AD均平行.故与EF平行的平面有4个.]

    5.如图在五面体FE­ABCD四边形CDEF为矩形MN分别是BFBC的中点MN与平面ADE的位置关系是________

    平行 [因为MNCF, EDCF所以MN EDMN平面ADEED平面ADE

    所以MN平面ADE.]

    回顾本节内容自我完成以下问题:

    1.如何运用直线与平面平行的判定定理解决问题?

    [提示] 在用直线与平面平行的判定定理判定直线与平面平行时关键是在已知平面内找到与已知直线平行的直线其方法是根据图形特征利用平行投影来确定与已知直线平行的直线.

    2.证明线面平行的常用方法有哪些?

    [提示] 判断或证明线面平行的常用方法

    (1)定义法:证明直线与平面无公共点(不易操作).

    (2)判定定理法:aαbαabaα.

    (3)排除法:证明直线与平面不相交直线也不在平面内.

     

     

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