高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行第2课时学案
展开第2课时 直线与平面平行的判定
学 习 任 务 | 核 心 素 养 |
1.理解直线与平面平行的判定定理.(重点) 2.掌握直线与平面平行的判定定理,并能初步利用定理解决问题.(重点、难点) | 1.通过对直线与平面平行判定定理的归纳及发现,培养学生数学抽象素养. 2.借助于线面平行判定定理的应用,培养学生逻辑推理素养. |
门扇的竖直两边是平行的,当门扇绕着一边转动时只要不关门,不论转动到什么位置,它能活动的竖直一边所在直线都与门框存在不变的位置关系.
问题1:情境中存在着不变的位置关系是指什么?
问题2:若判断直线与平面平行,由上述问题你能得出一种方法吗?
问题3:若一直线与平面内的直线平行,一定有直线与平面平行吗?
知识点 直线与平面平行的判定定理
表示 定理 | 图形 | 文字 | 符号 |
直线与平面平行的判定定理 | 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 | ⇒l∥α |
1.如图,一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内,把这块木板绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系?
[提示] 平行.
2.如果一条直线与一个平面内无数条直线都平行,那么该直线与平面具有什么位置关系?
[提示] 平行或在平面内.
思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等,则l∥平面α. ( )
(2)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行. ( )
(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行. ( )
[提示] (1)错误.当直线l与平面α相交时,在直线l上也存在两点到平面α的距离相等.
(2)错误.若直线l与平面α平行时,l与平面α内的直线平行或异面.
(3)错误.两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条与这个平面可能平行,也可能在这个平面内.
[答案] (1)× (2)× (3)×
类型1 直线和平面平行的判定
【例1】 (教材北师版P218例4改编)已知正方形ABCD,如图(1),E,F分别是AB,CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图(2)所示,求证:BF∥平面ADE.
[证明] ∵E,F分别为AB,CD的中点,∴EB=FD.
又∵EB∥FD,∴四边形EBFD为平行四边形,∴BF∥ED.
∵DE⊂平面ADE,而BF⊄平面ADE,
∴BF∥平面ADE.
应用判定定理证明线面平行的步骤,
上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:利用三角形、梯形中位线的性质;利用平行四边形的性质;利用平行线分线段成比例定理.
易错警示:线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全,最易忘记的条件是a⊂α与b⊄α.
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.
1.如图,O是长方体ABCDA1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点,求证:B1O∥平面A1C1D.
[证明] 如图,连接B1D1交A1C1于O1,连接DO1.
∵O1B1∥DO,O1B1=DO,
∴O1B1OD为平行四边形,
∴B1O∥O1D.
∵B1O⊄平面A1C1D,O1D⊂平面A1C1D,∴B1O∥平面A1C1D.
类型2 线面平行的判定与性质的综合应用
【例2】 如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,AC与BD交于点O,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP∥GH.
1.利用线面平行的性质定理和判定定理是如何实现线、面之间的平行关系转化的?
[提示]
2.证明平行关系的一般思路是什么?
[提示] 证明平行关系的一般思路是:“由已知想性质,由求证想判定”,即看到题目的条件要想到这个已知条件有什么性质,看到要求证的结论要想到应用什么样的判定方法去证明.
3.→→
[证明] 连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点.
又∵M是PC的中点,∴AP∥OM.
又∵AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,∴AP∥平面BDM.
又∵AP⊂平面APGH,平面APGH∩平面BDM=GH,∴AP∥GH.
本例条件不变,求证:GH∥平面PAD.
[证明] 由例2证得AP∥GH.
又AP⊂平面PAD,GH⊄平面PAD,∴GH∥平面PAD.
直线与平面平行的判定定理与性质定理经常交替使用,也就是通过线线平行得到线面平行,再通过线面平行得到线线平行.
2.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是BB1上不同于B、B1的任一点,AB1∩A1E=F,B1C∩C1E=G.求证:AC∥FG.
[证明] ∵AC∥A1C1,A1C1⊂平面A1EC1,AC⊄平面A1EC1,∴AC∥平面A1EC1.
又∵AC⊂平面AB1C,平面A1EC1∩平面AB1C=FG,∴AC∥FG.
类型3 线面平行的探索性问题
【例3】 在三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别是棱BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.
[解] 如图,取线段AB的中点为M,
连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.
由已知得,O为AC1的中点,连接MD,OE,
则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,
所以MD∥AC且MD=AC,OE∥AC且OE=AC,
因此MD∥OE且MD=OE.
连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DE∥MO.
因为直线DE⊄平面A1MC,MO⊂平面A1MC,所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥平面A1MC.
平行中的探索问题解题策略
1.主要类型:(1)对平行关系的探索;(2)对条件或结论不完备的开放性问题的探索.
2.解题思路:首先假设存在,然后在这个假设的条件下推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设,若推出了矛盾就否定假设.
3.注意事项:(1)解决此类问题的关键是通过条件与所求把要探索的问题确定下来;(2)在转化过程中要有理有据,不能凭空猜测.
3.如图, M,N分别是底面为矩形的四棱锥PABCD的棱AB,PC的中点,求证:MN∥平面PAD.
[证明] 如图所示,取PD的中点E,连接AE,NE.
∵N是PC的中点,
∴EN綊DC.
又∵AM綊CD,
∴NE綊AM.
∴四边形AMNE是平行四边形.
∴MN∥AE.
又∵AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
1.已知b是平面α外的一条直线,下列条件中,可得出b∥α的是( )
A.b与α内的一条直线不相交
B.b与α内的两条直线不相交
C.b与α内的无数条直线不相交
D.b与α内的所有直线不相交
D [由直线和平面平行的概念可知选D.]
2.能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A.b⊂α,a∥b
B.b⊂α,c∥α,a∥b,a∥c
C.b⊂α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD
D.a⊄α,b⊂α,a∥b
D [由线面平行的判定定理可知,D正确.]
3.下列选项中,一定能得出直线m与平面α平行的是( )
A.直线m在平面α外
B.直线m与平面α内的两条直线平行
C.平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D.直线m与平面α内的一条直线平行
C [选项A不符合题意,因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交;选项B与D不符合题意,因为缺少条件m⊄α;选项C中,由直线与平面平行的判定定理,知直线m与平面α平行,故选项C符合题意.]
4.在正方体ABCDA′B′C′D′中,E,F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D [由直线与平面平行的判定定理知,EF与平面AB′,平面BC′,平面CD′,平面AD′均平行.故与EF平行的平面有4个.]
5.如图,在五面体FEABCD中,四边形CDEF为矩形,M,N分别是BF,BC的中点,则MN与平面ADE的位置关系是________.
平行 [因为MN∥CF, ED∥CF,所以MN∥ ED,又MN⊄平面ADE,ED⊂平面ADE,
所以MN∥平面ADE.]
回顾本节内容,自我完成以下问题:
1.如何运用直线与平面平行的判定定理解决问题?
[提示] 在用直线与平面平行的判定定理判定直线与平面平行时,关键是在已知平面内找到与已知直线平行的直线,其方法是根据图形特征,利用平行投影来确定与已知直线平行的直线.
2.证明线面平行的常用方法有哪些?
[提示] 判断或证明线面平行的常用方法
(1)定义法:证明直线与平面无公共点(不易操作).
(2)判定定理法:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.
(3)排除法:证明直线与平面不相交,直线也不在平面内.
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