高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行图文课件ppt

§4　平行关系

4.1　直线与平面平行

课后篇巩固提升

基础达标练

1.已知直线l∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于l的直线(　　)

A.只有一条,不在平面α内

B.只有一条,在平面α内

C.有两条,不一定都在平面α内

D.有无数条,不一定都在平面α内

解析如图所示,因为直线l∥平面α,P∈α,

所以直线l与点P确定一个平面β,α∩β=m,所以P∈m,所以l∥m且m是唯一的.

答案B

2.如图,已知S为四边形ABCD外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH∥平面SCD,则(　　)

A.GH∥SA

B.GH∥SD

C.GH∥SC

D.以上均有可能

解析因为GH∥平面SCD,GH⊂平面SBD,平面SBD∩平面SCD=SD,所以GH∥SD,显然GH与SA,SC均不平行,故选B.

答案B

3.如图,四边形ABDC是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,M是AC的中点,BD与平面α交于点N,AB=4,CD=6,则MN等于(　　)

A.4.5 B.5 C.5.4 D.5.5

解析因为AB∥平面α,AB⊂平面ABDC,平面ABDC∩平面α=MN,所以AB∥MN.

又M是AC的中点,所以MN是梯形ABDC的中位线,故MN=(AB+CD)=5.

答案B

4.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正方体,若过A,C,B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与AC的关系是　　　　　. 

解析因为AC∥A1C1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,AC⊄平面A1B1C1D1,所以AC∥平面A1B1C1D1.

因为平面ACB1∩平面A1B1C1D1=l,

所以AC∥l.

答案平行

5.如图所示,直线a∥平面α,A∉α,并且a和A位于平面α两侧,点B,C∈a,直线AB,AC分别交平面α于点E,F,若BC=4,CF=5,AF=3,则EF=　　　　　. 

解析由于点A不在直线a上,则直线a和点A确定一个平面β,所以α∩β=EF.

因为a∥平面α,a⊂平面β,所以EF∥a.

所以.所以EF=.

答案

6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点,求证:EF∥平面AD1G.

证明连

接BC1,则由E,F分别是BC,CC1的中点知,EF∥BC1.

又AB∥D1C1,且AB=D1C1,所以四边形ABC1D1是平行四边形,

所以BC1∥AD1,所以EF∥AD1.

又EF⊄平面AD1G,AD1⊂平面AD1G,所以EF∥平面AD1G.

能力提升练

1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是BC的中点,D是AA1上的动点,且=m,若AE∥平面DB1C,则m的值为(　　)

A. B.1

C. D.2

解析如

图,取CB1的中点G,连接GE,DG,当m=1时,AD=GE=BB1,且AD∥GE,

所以四边形ADGE为平行四边形,则AE∥DG,

因为AE⊄平面DB1C,DG⊂平面DB1C,

所以AE∥平面DB1C.

答案B

2.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=　　　　　. 

解析因为MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC=PQ,所以MN∥PQ,易知DP=DQ=,

故PQ=DP=.

答案a

3.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.证明:直线EE1∥平面FCC1.

证明如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,

取A1B1的中点F1,连接A1D,C1F1,CF1,FF1.

因为FF1∥BB1∥CC1,所以F1F⊂平面FCC1,

所以平面FCC1即为平面C1CFF1.

因为AB=4,CD=2,且AB∥CD,

所以CD∥A1F1,且CD=A1F1,

所以A1F1CD为平行四边形,所以CF1∥A1D.

又E,E1分别是棱AD,AA1的中点,

所以EE1∥A1D,所以CF1∥EE1,

又EE1⊄平面FCC1,CF1⊂平面FCC1,

所以直线EE1∥平面FCC1.

4.如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体,截面为△ABC.已知AA1=4,BB1=2,CC1=3.在边AB上是否存在一点O,使得OC∥平面A1B1C1?

解存在.取AB的中点O,连接OC.

作OD∥AA1交A1B1于点D,连接C1D,

则OD∥BB1∥CC1.

因为O是AB的中点,

所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1,则四边形ODC1C是平行四边形,所以OC∥C1D.

又C1D⊂平面C1B1A1,且OC⊄平面C1B1A1,

所以OC∥平面A1B1C1.

即在边AB上存在一点O,使得OC∥平面A1B1C1.

素养培优练

将一块边长为8 cm的正方形铁皮按如图①所示的阴影部分裁下,其中分点均为所在边的四等分点,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥(底面是正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心的四棱锥)形的容器如图②所示(不考虑接头部分的材料损耗).

(1)若E为棱PC的中点,求证:PA∥平面BDE;

(2)求异面直线PB与AD所成角的余弦值.

(1)证明连接AC,交BD于点F,则F为AC的中点,连接EF,因为E为PC的中点,

所以EF∥PA.

因为EF⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,

所以PA∥平面BDE.

(2)解因为BC∥AD,

所以∠CBP就是异面直线PB与AD所成角,在△CBP中,BC=4,PB=PC=2,

由余弦定理得cos∠CBP=,

所以异面直线PB与AD所成角的余弦值为.