高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行学案

5.4　平行关系

5.4.1　直线与平面平行

1.直线与平面平行的性质定理

文字叙述：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与________平行．

符号表示：l∥α，l⊂β，α∩β＝a⇒l∥a.

图形表示：

2.直线与平面平行的判定定理

文字叙述：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线________，那么该直线与此平面平行．

符号表示：l⊄α，a⊂α，且l∥a⇒l∥α.

图形表示：

作用：证明直线与平面平行.

答案：1.交线　2.平行

研习1  直线与平面平行性质定理的应用(直观想象、逻辑推理)

[典例1]　1.设AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们的中点的平面和直线AC的位置关系是(　　)

A．平行    B．相交

C．平行或相交    D．AC在此平面内

2.已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是(　　)

A．b∥α    B．b与α相交

C．b⊂α    D．b∥α或b与α相交

3.如图所示，已知异面直线AB，CD都平行于平面α，且AB，CD在α的两侧，若AC，BD分别与α相交于M，N两点，求证：＝.

[自主记]

1.[答案]　A

2.[答案]　D

3.[解]　如图所示，连接AD，交平面α于点P，连接PM，PN.

因为CD∥α，平面ACD∩α＝PM，

所以CD∥PM，所以在△ACD中有＝.

同理，在△DAB中，有＝，所以＝.

[巧归纳]　如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行，那么在解决问题的过程中，一定会用到线面平行的性质定理．在应用性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行.

研习2  直线与平面平行的判定(直观想象、逻辑推理)

[典例2]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.

[巧归纳]　应用判定定理证明线面平行的步骤

上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：

①空间直线平行关系的传递性法；

②三角形中位线法；

③平行四边形法；

④线段成比例法．

提醒：线面平行判定定理应用的误区

(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．

(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.

[练习1]　在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG.求证：EH∥BD.

证明：因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.

研习3  线面平行性质定理与判定定理的综合应用(直观想象、逻辑推理)

角度1　利用线面平行的性质定理和判定定理证明平行关系

[典例3]　求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

[自主记]

[证明]

已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.

证明如下：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，因为a∥α，所以a∥b.

同样过a作平面δ交平面β于c，因为a∥β，所以a∥c，则b∥c.

又因为b⊄β，c⊂β，所以b∥β.

又因为b⊂α，α∩β＝l，所以b∥l.

又因为a∥b，所以a∥l.

[变式探究]

过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE1.

证明：如图所示，

因为CC1∥BB1，CC1⊄平面BEE1B1，BB1⊂平面BEE1B1，

所以CC1∥平面BEE1B1.

又因为平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，

所以CC1∥EE1.由于CC1∥BB1，所以BB1∥EE1.

角度2　由平行关系进行相关的计算

[典例4]　如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，求PQ的长．

[自主记]

[解]　因为MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，MN⊂平面PMN.

所以MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，

故PQ＝＝DP＝a.

[巧归纳]　利用线面平行的判定和性质定理，可以完成线线平行与线面平行的相互转化.

[练习2]　1.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是AB的中点，点F在BC上，则BF等于多少时，EF∥平面A1C1D(　　)

A．1       B． 

C．   D．

答案：B

2.三棱锥S－ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的位置关系是________．

答案：平行　

解析：如图，取BC中点F，连接SF.

因为G为△ABC的重心，

所以A，G，F共线且AG＝2GF.

又因为AE＝2ES，所以EG∥SF.

又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，所以EG∥平面SBC．

3.如图所示，在空间四边形ABCD中，AC，BD为其对角线，E，F，G，H分别为AC，BC，BD，AD上的点，若四边形EFGH为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.

证明：因为四边形EFGH为平行四边形，

所以EF∥GH.

因为GH⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，

所以EF∥平面ABD.

因为EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，所以EF∥AB．

又因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，

所以AB∥平面EFGH.

1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)

A．唯一一条直线不相交

B．仅两条相交直线不相交

C．仅一组平行直线不相交

D.任意一条直线都不相交

答案：D　

2.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为(　　)

A．都平行

B．都相交且一定交于同一点

C．都相交但不一定交于同一点

D.都平行或交于同一点

答案：A　

3.(教材二次开发：习题改编)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是(　　)

A．m∥α，m∥n⇒n∥α

B．m∥α，n∥α⇒m∥n

C．m∥α，m⊂β，α∩β＝n⇒m∥n

D.m∥α，n⊂α⇒m∥n

答案：C

4.梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．

答案：CD∥α　

解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，

由线面平行的判定定理可得CD∥α.

5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.

证明：如图，连接A1C，

设A1C∩AC1＝O，连接OD.

由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O是A1C的中点，又D是CB的中点，

因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B．

又A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1.