高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行第1课时课堂检测

课后素养落实(四十三)　直线与平面平行的性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．如果a，b是两条异面直线，且a∥α，那么b与α的位置关系是(　　)

A．b∥α　 B．b与α相交

C．b⊂α     D．不确定

D　[b与α可能相交，平行，或b⊂α.]

2.如图，在三棱锥S­ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)

A．EF与BC相交

B．EF∥BC

C．EF与BC异面

D．以上均有可能

B　[因为EF∥平面ABC，EF⊂平面SBC，且平面ABC∩平面SBC＝BC，所以EF∥BC.]

3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　　)

A．平行     B．平行或异面

C．平行或相交  D．异面或相交

B　[由AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，得CD∥α，所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．]

4．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是(　　)

A．E，F，G，H一定是各边的中点

B．G，H一定是CD，DA的中点

C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC

D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC

D　[由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.]

5．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线(　　)

A．有无数条，不一定在平面α内

B．只有一条，不在平面α内

C．有无数条，一定在平面α内

D．只有一条，且在平面α内

D　[因为直线l和点P只能确定一个平面β，平面α和平面β只有一条交线，该交线就是过点P且平行于直线l的直线，故选D.]

二、填空题

6．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有________条．

0或1　[过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．]

7．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有________条．

2　[如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.

∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，

∴EF∥平面BCD.

又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.

又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.

∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，

所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条．]

8.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________．

　[∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝m.

同理，EH＝FG＝n，

∵四边形EFGH是菱形，

∴m＝n，

∴AE∶EB＝m∶n.]

三、解答题

9.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.

证明：FG∥平面AA1B1B.

[证明]　在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，

所以CC1∥平面BB1D.

又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，

所以CC1∥FG.

因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.

而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，

所以FG∥平面AA1B1B.

10.如图，已知四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，求λ的值．

[解]　设AO交BE于点G，连接FG.

∵O，E分别是BD，AD的中点，

∴＝，＝.

∵PC∥平面BEF，PC⊂平面PAC，平面BEF∩平面PAC＝GF，

∴GF∥PC，

∴＝＝，

∴λ＝3.

11.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝(　　)

A．     B．

C．5     D．

C　[因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故选C.]

12.如图所示，ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ的值为(　　)

A．a     B．a

C．a     D．a

B　[∵MN∥平面AC，平面PMNQ∩平面AC＝PQ，

∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，

故PQ＝＝DP＝.]

13.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为________．

4＋6　[由EF∥平面BCC1B1可知，平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6.]

14．长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形．E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8.P在棱AA1上，且AP＝2，若EF∥平面PBD，则CF＝________．

2　[连接AC交BD于点O，连接PO，

过点C作CQ∥OP交AA1于点Q.

∵EF∥平面PBD，EF⊂平面EACF，

平面EACF∩平面PBD＝PO，∴EF∥PO.

又∵CQ∥OP，

∴EF∥QC，QE＝CF，

∵四边形ABCD是正方形，CQ∥OP，

∴PQ＝AP＝2.

∵AE＋CF＝AP＋PQ＋QE＋CF

＝2＋2＋CF＋CF＝8，

∴CF＝2.]

15.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，点M在侧棱PC上，且PM＝tPC，若PA∥平面MQB，试确定实数t的值．

[解]　如图，连接BD，AC，AC交BQ于点N，交BD于点O，连接MN，

则O为BD的中点．

∵BQ为△ABD中AD边的中线，∴N为正三角形ABD的中心．

设菱形ABCD的边长为a，则AN＝a，AC＝a.

∵PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN，

∴PA∥MN，

∴PM∶PC＝AN∶AC＝1∶3，

即PM＝PC，则t＝.