北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数课时训练

这是一份北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数课时训练，共57页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专训2.4.2 二次函数应用-营销问题
一、单选题
1．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（　　）m．

A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】
根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标(﹣2，0)代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面宽度为3﹣(﹣3)＝6（m）．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
2．如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为，当水面宽度为20m时，此时水面与桥拱顶的高度是（ ）

A．2m B．4m C．10m D．16m
【答案】B
【分析】
根据题意，把x=10直接代入解析式即可解答．
【详解】
解：根据题意得B的横坐标为10，
把x=10代入，
得y=-4，
∴OD=4m，
故选：B．
【点睛】
本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
3．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　）

A．米 B．8米 C．10米 D．2米
【答案】B
【分析】
小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线，与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可．
【详解】
解：当y＝0时，即＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
4．2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0），设排球运动路线的函数表达式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入得关于a、b、c的三元一次方程组，解得a、b、c的值，则函数解析式可得，从而问题得解．
【详解】
解：由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）
设排球运动路线的函数解析式为：y=ax2+bx+c，
∵排球经过A、B、C三点，
，
解得： ，
∴排球运动路线的函数解析式为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式并求得关系式，数形结合并明确二次函数的一般式是解题的关键．
5．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（　　）

A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
【答案】D
【分析】
A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
B、把y=0代入函数y＝﹣x2+x+1即可水流喷射的最远水平距离
C、当x=20时y=11，减去2即可；
D、向后平移后的解析式为，把x=37代入解析式求得y的值，再减3后与2.3比较大小即可做出判断．
【详解】
解：A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，
把（0，1）代入解析式得：400a+11=1，
解得：，
∴解析式为；
故A不符合题意；
B、当y=0时，；
解得x= 2 +20，
∴水流喷射的最远水平距离是2 +20米；
故B不符合题意；
C、当x=20时，y=11，
∴11-2=9
∴喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9米
故C不符合题意；
D、向后平移后的解析式为，
当x=37时，y=8.5
8.5-3=5.5＞2.3，
∴可以避开对这棵石榴树的喷灌；
故选：D
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．


二、填空题
6．如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等．小强骑自行车从桥的一端0沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需_____________秒．

【答案】46
【分析】
由题意及抛物线的对称性，可求得抛物线的对称轴，从而可得小强通过整个桥面OA的一半所需要的时间，再乘以2即可得出答案．
【详解】
解：∵主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，
∴MN的对称轴为直线x==23，
∴他通过整个桥面OA共需23×2=46（秒）．
故答案为：46．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意、熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
7．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为，高度分别为和，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（的长）为_________m．

【答案】40
【分析】
以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点、 的横坐标，从而可得的长．
【详解】
解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：

，，
设外侧抛物线的解析式为，将代入，得：
，
解得：，
内侧抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，，
，
在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度的长）为．
故答案为：40．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
8．去年下半年以来，我市遭遇连续干旱，各地河流的水位连续下降，小明仔细观察并测量自家门口的抛物线型拱桥的水位高度与水面宽度，发现两周来每周水位下降的高度相同，而第一周水面宽度增加1米，而第二周水面宽度增加0.8米，小明刚开始观察时，他家门口抛物线型拱桥的水面宽为_______米．

【答案】3.1．
【分析】
以初始拱桥最高点所在的水平线为x轴，以经过拱桥最高点且与x轴垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，然后根据二次函数的解析式和题目的已知条件求解计算即可得到答案．
【详解】
解：设抛物线的解析式为：
由题意可知QM=MN，CD-AB=1，EF-CD=0.8
∴由二次函数的图像的对称性可知MD=OB+0.5，NF=OB+0.9
设B点坐标为（m，），QM=MN=h
∴D点坐标为（m+0.5，）
∴F点坐标为（m+0.9，）
将D、F两点的坐标代入抛物线解析式得：
即消去得：，解得
又∵
∴
∴OB=OA=1.55
∴AB=3.1
故答案为：3.1．

【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合性问题，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识点．
9．如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽为时，桥洞顶部离水面．若选取拱形顶点为坐标原点，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为______．

【答案】
【分析】
设抛物线解析式为y=ax2，根据题意得出点B的坐标，代入解析式求出a的值即可．
【详解】
解：如图，拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，

由题意知B（6，-4），
设抛物线解析式为y=ax2，
将点B（6，-4）代入，得：-4=36a，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．
10．如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为__米．

【答案】3.4
【分析】
根据题意可得抛物线的对称轴为x＝2.5，可求得b的值，点B的横坐标为4，代入后可得出点B的纵坐标，继而得出人梯高BC的长度．
【详解】
解：∵跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．
∴抛物线的对称轴为x＝2.5，
∴x＝﹣＝2.5，解得：b＝3，
∴抛物线为y＝，
∵人梯到起跳点A的水平距离是4，
∴点B的横坐标为4，
则yB＝﹣×42+3×4+1＝3.4，即BC＝3.4米．
故答案为：3.4．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解答本题关键是根据题意求出二次函数解析式，属于基础题．
11．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则小丁此次投掷的成绩是_____米．

【答案】7
【分析】
建立坐标系，如图所示：根据顶点为（2,2），过点（0,1.68）求得抛物线解析式，转化为抛物线与x轴的交点问题即一元二次方程问题求解即可．
【详解】
解：建立坐标系，如图所示：

由题意得：，点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
把代入得：
，
解得，
,
令，得

解得（舍），
小丁此次投掷的成绩是米．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，根据题意自主建立坐标系，把生活问题转化为二次函数的数学模型求解是解题的关键．
12．某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了_____米．

【答案】
【分析】
以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．由题意可知抛物线的对称轴，即可设该抛物线解析式为，由该抛物线经过点(9，0)，即可求出该抛物线解析式为，即能求出平移后的解析式为，即可知D点坐标．由点A和点C坐标利用待定系数法可求出经过点A、C的直线的解析式，又由于点D也在直线上，即可求出a的值．即求出了平移后的抛物线解析式，最后令y=0，解出x的值，即能求出移动后水柱最远落点到中心M的距离增加的量．
【详解】
解：如图，以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．
根据题意可知水柱可以看成抛物线（只考虑第一象限）．
由题意可知C点坐标为(-4，0)．
∵喷水头A喷出的水柱距池中心3米处达到最高，
故该抛物线的对称轴为．
∴设该抛物线解析式为，
又∵水柱最远落点到中心M的距离为9米，
∴该抛物线又经过点(9，0)．
∴，即，
∴该抛物线解析式为．
当x=0时，
故点A坐标为(0，-27a)．
由题意可知将喷水头A向上移动1.5米至点B，即将抛物线向上平移1.5．
∴平移后的抛物线为．
∴点D坐标为(3，)．
设经过点A、C的直线解析式为，
∴，解得．
即经过点A、C的直线解析式为．
又∵该直线经过点D．
∴．
解得：．
故平移后的抛物线解析式为，
整理得：．
当时，即，
解得：（舍）．
∴移动后最远落点到中心M的距离为米，
∴移动后水柱最远落点到中心M的距离增加了（米）．

故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质，利用待定系数法求解析式以及一次函数的应用是解答本题的关键．数据处理较大，较难．
13．学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面土有一瓶洗手液(如图①)，于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a= ．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH=12cm， 喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Ｑ到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是________cm．

【答案】12
【分析】
根据题意得出各点坐标，进而利用待定系数法求抛物线解析式进而分析求解．
【详解】
解：如图，以GH所在的直线为x轴，GH的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，喷口B为抛物线的顶点，B，D，H所在的直线是抛物线的对称轴，

∵GH=12，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线.小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Ｑ到直线DH的水平距离为3cm，
∴点G（-6，0），点H（6，0），BH=16，
∴点B（6，16），点Q（9，15.5）
∵a=
设函数解析式为
当y=0时，
解之：（舍去）
∴洗手液落在台面的位置距DH的水平距离为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．
14．某广场有一个半径8米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物的顶端处汇合，水柱离中心点3米处达最高5米，如图所示建立平面直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8的他站立时必须在离水池中心点______米以内．

【答案】7
【分析】
先根据“水柱离中心点3米处达最高5米”可设右侧的抛物线解析式的顶点式为，再将点代入可求出a的值，然后求出时，x的值和点A的坐标，由此即可得．
【详解】
由题意，设右侧的抛物线的解析为，
∵某市民广场有一直径16米的圆形喷水池，
∴该抛物线过点，
∴，
解得，
∴右侧抛物线解析式为，
点的坐标为，
当时，，
解得，（舍去），
∵各方向喷出的水柱恰好喷在水池中心的装饰物顶点处汇合，且，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心点7米以内，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，依据题意，正确设立二次函数的顶点式是解题关键．

三、解答题
15．甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处．有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8
【分析】
（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；
（2）把：x =1，代入y=x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；
（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．
【详解】
（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，
设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，
把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：，
∴二次函数的解析式为：y=(x-8)x=x2+2x（0≤x≤8）；
（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68，
答：他的头顶不会触碰到桥拱；
（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y=x2-2x，
当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=-x2+2x，
∴新函数表达式为：，
∵将新函数图象向右平移个单位长度，
∴（m，0），（m+8，0），（m+4，-4），如图所示，

根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小．
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．
16．如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱项部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．

【答案】（1）6m；（2）①；②2m
【分析】
（1）设，由题意得，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y1的值即可；
（2）①由题意得右边的抛物线顶点为，设，将点H代入求值即可；
②设彩带长度为h，则，代入求值即可．
【详解】
解（1）设，由题意得，
，
，
，
当时，，
桥拱顶部离水面高度为6m．
（2）①由题意得右边的抛物线顶点为，
设，
，
，
，
，
(左边抛物线表达式：)
②设彩带长度为h，
则，
当时，，
答：彩带长度的最小值是2m ．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键．
17．即墨古城某城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
（2）有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城，请问该消防车能否正常进入？
（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米50元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？

【答案】（1）；（2）能正常进入；（3）650元
【分析】
（1）根据题意可写出E点，N点和抛物线顶点坐标．再设该抛物线表达式为，即利用待定系数法可求出该抛物线解析式．
（2）令，即求出方程的两个根，比较两个根的差的绝对值和3米的大小即可判断．
（3）设B点最标为(t，0)，需要花费W元，根据题意可知A点坐标为(t，)，C点坐标为(4-t，0)，由此即可求出AB、CD和AD的长，即可列出W和t的二次函数关系式，最后利用二次函数的顶点式求出其最值即可．
【详解】
（1）根据题意可知E(0，4)、N(4，4)、抛物线顶点(2，6)．
设该抛物线表达式为，
∴，解得：，
由图可知自变量x的取值范围是．
故该抛物线表达式为．
（2）对于，当时，即，
解得：，，
∵，
∴该消防车能正常进入．
（3）设B点最标为(t，0)，需要花费W元，
根据题意可知A点坐标为(t，)，C点坐标为(4-t，0)，
∴，．
∴，即．
∵，
∴最多需要花费650元．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，正方形的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
18．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道最高点距离地面，以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴．

（1）求该抛物线的关系式；
（2）现有一辆货运卡车高，宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
【答案】（1）抛物线关系式为；（2）这辆货运卡车能通过该隧道，计算见解析
【分析】
（1）根据题意求出顶点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据题意，把x=1.2代入解析式，得到y=5.64．由于5.64＞4.5，于是得到货运卡车能通过．
【详解】
（1）由题意可知抛物线顶点，，
设抛物线关系式为，
将代入，得16a+6=2．
解得．
∴抛物线关系式为．
（2）货运卡车从隧道正中间走，由抛物线的对称性，得2.4÷2=1.2，
因此，当时，．
所以，这辆货运卡车能通过该隧道．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
19．如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．

【答案】（1）；（2）该货车能够通行的最大高度为．
【分析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求出x=2.2时，y的值，根据货车顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙即可求解．
【详解】
（1）由图②可知， B（4，0），抛物线顶点坐标（0,4） ，
设抛物线的解析式为：，
依题意得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2），
当x＝2.2时，，
当时，．
答：该货车能够通行的最大高度为．

【点睛】
本题考查二次函数图象与性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，二次函数最值问题．
20．某河上有一座抛物线形拱桥，水面离拱顶5m时，水面AB宽8m．一木船宽4m，高2m，载货后，木船露出水面的部分为．以拱顶O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，A，B为抛物线与水面的交点．当水面离拱顶1.8m时，木船能否通过这座拱桥？

【答案】当水面离拱顶1.8 m时，木船不能通过这座拱桥．
【分析】
建立直角坐标系，根据题意求出该抛物线解析式．再将x=2代入该解析式中，求得y的值，再加上木船露出水面米，得到的结果和1.8米作比较．若大于1.8米则不能通过，若小于1.8米则能通过．
【详解】
由题可知，点B的坐标是．
设抛物线的函数解析式为．
将点代入，得：，
解得：．
∴抛物线的函数解析式为．
将代入，得．
∵，而，
∴当水面离拱顶1.8 m时，木船不能通过这座拱桥．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的实际应用．在实际应用中常需要先建立直角坐标系，设出解析式，根据题设条件用待定系数法求得解析式，达到解决问题的目的．
21．小明将他家乡的抛物线型彩虹桥按比例缩小后，绘制成如下图所示的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y轴对称，经过测算，右边抛物线的表达式为．
（1）直接写出左边抛物线的解析式；
（2）求抛物线彩虹桥的总跨度AB的长；
（3）若三条钢梁的顶点M、E、N与原点O连成的四边形OMEN是菱形，你能求出钢梁最高点离桥面的高度OE的长吗？如果能，请写出过程；如果不能，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据右边抛物线的解析式得到顶点坐标，再根据左右对称的性质得到左边抛物线的顶点坐标，即可得到解析式；
（2）令，求出左右两边抛物线与x轴的交点坐标，即A、C、D、B的坐标，即可得到AB的长；
（3）根据菱形的性质，得到MN垂直平分EO，由点M的坐标即可求出EO的长．
【详解】
解：（1）∵右边抛物线的表达式为，
∴右边抛物线的顶点坐标是，
∵左右两边是关于y轴对称的，
∴左边抛物线的顶点坐标是，
∴左边抛物线的解析式为；
（2）令，则，解得，，
∴，，
令，则，解得，，
∴，，
∴；
（3）如图，

∵四边形OMEN是菱形，
∴MN垂直平分EO，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是根据二次函数的图象结合实际问题的信息进行求解．
22．如图所示，一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，已知球出手时离地面米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．

（1）请根据图中所给的平面直角坐标系，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；
（2）问此篮球能否投中？
（3）此时，若对方队员乙上前盖帽，已知乙最大摸高3.19米，他如何做才有可能获得成功？（说明在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来，称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规，判进攻方得2分．）
【答案】（1）；（2）一定能投中，见解析；（3）只能距甲身前1.3米以内盖帽才能成功
【分析】
（1）先求出点A、O、B的坐标，再根据待定系数法，即可求解；
（2）把点B的坐标代入，看看是否满足函数解析式，即可；
（3）先求出最大摸高点的纵坐标，代入二次函数解析式，求出对应的横坐标，即可得到结论．
【详解】
解：（1）在平面直角坐标系中，球出手点、最高点和篮圈坐标分别为：、、，
设函数式为，
代入A点坐标得：，解得：，
∴二次函数解析式为：；
（2）把代入得，
即点在抛物线上，所以一定能投中；
（3）将，
代入，解得或（舍），
，所以只能距甲身前1.3米以内盖帽才能成功．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程的实际应用，掌握待定系数法，函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
23．如图①，小明和小亮分别站在平地上的两地先后竖直向上抛小球（抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面．两球到地面的距离和与小球A离开小明手掌后运动的时间之间的函数图像分别是图②中的抛物线．已知抛物线经过点，顶点是，抛物线经过和两点，两抛物线的开口大小相同．

（1）分别求出与x之间的函数表达式．
（2）在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中．
①当x的值为__________时，两小球到地面的距离相等；
②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？
【答案】（1），；（2）①，②当x的值为1时，两球到地面的距离之差最大，最大是．
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）①令y1＝y2，即可求解；②在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，1≤x≤1+．当1≤x≤时，两球到地面的距离之差y1﹣y2＝﹣8x+13，进而求解；当＜x≤1+时，同理可得；进而求解．
【详解】
解：（1）设与x之间的函数表达式为．
∵顶点Q的坐标是，
．
因为点在抛物线上，
所以点的坐标满足，即．
解得．
．
∵两抛物线的开口方向和大小相同，
∴设与x之间的函数表达式为．
因为点和都在抛物线上，
所以点和的坐标满足，即
解得
．
（2）①令y1＝y2，则﹣5（x﹣1）2+7＝﹣5x2+18x﹣11，解得x＝，
故答案为：；
②令，则．
解这个方程，得（不合题意，舍去）．
在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，．
当时，两球到地面的距离之差．
，
随x的增大而减小．
∴当时，有最大值，最大值是5．
当时，两球到地面的距离之差．
，
随x的增大而增大．
∴当时，有最大值，最大值是．
．
∴当x的值为1时，两球到地面的距离之差最大，最大是．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的性质，分类求解和熟悉函数的性质是本题解题的关键．
24．已知，足球球门高米，宽米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面米，即米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离为6米时，球恰好到达最高点D，即米．以直线为x轴，以直线为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为（如图3），请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）；（2）10.2米；（3）
【分析】
（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6，4.4），利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求出当y=2.44时x的值，再检验即得答案；
（3）先求出y=0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离即可．
【详解】
解：（1）抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的解析式是：，
把代入得，
解得，
则抛物线是；
（2）球门高为2.44米，即，
则有，
解得：，，
从题干图2中，发现球门在右边，
，
即足球运动的水平距离是10.2米；
（3）不后退时，刚好击中横梁，
往后退，则球可以进入球门，
而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，
当时，
有，
解得：，，
取正值，，
后退的距离需小于米
故．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是关键．
25．如图，一位运动员进行投篮训练，设篮球运行过程中的距离地面的高度为，篮球水平运动的距离为，已知与成正比例，

（1）当时，根据己知条件，求与的函数解析式；
（2）直接写出篮球在空中运行的最大高度．
（3）若运动员的身高为1.8米，篮球投出后在离运动员水平距离2.5米处到达最高点，球框在与运动员水平距离4米处，且球框中心到地面的距离为3.05米，问计算说明此次投篮是否成功？
【答案】（1）；（2）3.5米；（3）投篮成功，计算见解析
【分析】
（1）设，将，代入求出k，即可求解；
（2）求出函数的最值即可；
（3）把代入刚好成立，即可得出结论．
【详解】
解：（1）由题意可设．
时，．

解得：，
∴；
（2）篮球篮球在空中运行的最大高度为3．5米．
（3）把代入得到，
点恰好在抛物线上，
∴此次投篮成功．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，将实际问题抽象成函数是解题的关键．
26．如图，在一次足球比赛中，守门员在地面处将球踢出，一运动员在离守门员8米的处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点和守门员（点）的距离；
（2）运动员（点）要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（假设点、、、在同一条直线上，结果保留根号）
【答案】（1），16米；（2）米
【分析】
（1）由条件可以得出，设抛物线的解析式为，由待定系数法求出其解即可；当时代入（1）的解析式，求出的值即可得第一次落地点和守门员（点的距离；
（2）设第二次抛物线的顶点坐标为，抛物线的解析为，求出解析式，就可以求出的值，进而得出结论．
【详解】
解：（1）设足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，根据其顶点为，过点得
，
解得：，
．
当时，，
解得：（舍去）或，
答：足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，第一次落地点和守门员（点的距离为16米；
（2）设第一次落地之后的运动路线的函数表达式为，由题意，得
，
解得或（舍去），
．
当时，
．
解得：或．
他应从第一次落地点再向前跑的距离为：
米．
答：他应再向前跑米．
【点睛】
本题考查了运用顶点式及待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键
27．小明为了能在4月份的体育加试中取得好成绩，每天进行掷实心球训练：当投掷实心球时会产生竖直向上的速度和水平向前的速度，研究表明：当这两个速度相等时，投掷距离最远．实心球在投掷的过程中的高度y与实心球出手后的时间t满足：y＝－5t2＋bt＋2，水平距离x＝at，a是出手后实心球水平向前的速度，b为出手后竖直向上的速度．

（1）当时，
①写出x与t的函数表达式为 ，y与t的函数表达式为 ；
②结合所给的平面直角坐标系，求出y与x的函数表达式及此时投掷距离．
（2）当a＝b时，点O为投掷点，实心球落在圆心角为45°的∠AOB区域内时成绩有效，以实心球的落地点与投掷点O的距离为学生的投掷距离，已知落地点P在∠AOB区域内且到边界的距离PM＝m，PN＝6m，求出小明投掷的距离及实心球在此次投掷中的最高高度．
【答案】（1）①，；②，8m；（2）投掷距离为10m，2.006m
【分析】
（1）①根据题意直接代入数值即可，②将①中的两式联立即可求出表达式，当时即可求出投掷距离；
（2）先求出投掷距离，确定此时的表达式，求最值即可．
【详解】
解：（1）①当时，
，，
故答案为，；
②，①
，②
联立①②可得，
故与的函数表达式为，
当时得方程，
解得或（舍去），
故投掷距离为8m；
（2）作于，于，
四边形为矩形，
即，
，
，，
又，，
，，
，，
又，
，
即投掷距离为10m，
，，
，
当时，，
，
解得，
，
，
，
当时达到最高高度，
此时，
故此次投掷中的最高高度为2.006m．

【点睛】
此题考查与斜抛运动相关的数学知识，利用二次函数求最值是本题的解题关键．
28．在一次篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮．已知球出手时离地面，与篮圈中心的水平距离为，球出手后水平距离为时达到最大高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面．

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）此时球能否准确投中？
（3）此时，对方队员乙在甲面前处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？
【答案】（1）；（2）能投中；（3）能拦截成功，理由见解析
【分析】
（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式；
（2）令x=7，求出y的值，与3m比较即可作出判断；
（3）将x=1代入进而得出答案．
【详解】
（1）

如图，球出手点、最高点（顶点）坐标分别为：，
设二次函数解析式为，将点代入可得：，
解得：，抛物线解析式为：；
（2）将点横坐标代入抛物线解析式得：
即点在抛物线上，此球一定能投中；
（3）能拦截成功．理由：将代入得
，他能拦截成功．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的求法，及其实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
29．如图，某学生推铅球，铅球出手(点A处)的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线运行，量得铅球落地点C与学生的水平距离OC=．

（1）求抛物线的解析式(注明x的取值范围)；
（2）铅球运行中，最高是多少米？此时铅球与学生水平距离是多少米？
【答案】（1）；（2）铅球运行中，最高是3米，此时铅球与学生水平距离4米
【分析】
（1）把A(0，)，C(10，0)代入待定解析式，然后进行求解即可；
（2）由（1）及二次函数的最值问题可求解．
【详解】
解：(1)把A(0，)，C(10，0)代入待定解析式，得：
，
解得：，
∴；
(2)当=4时，=3；
答：铅球运行中，最高是3米，此时铅球与学生水平距离4米．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
30．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知米，米，网球飞行最大高度米，每个圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.4米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
（1）建立适当的直角坐标系，求网球飞行路线的抛物线解析式；
（2）若竖直摆放4个圆柱形桶时，则网球能落入桶内吗？说明理由；
（3）若要网球能落入桶内，求竖直摆放的圆柱形桶的个数．

【答案】（1）坐标图见解析，；（2）不能，理由见解析；（3）5个或6个或7个
【分析】
（1）根据题意顶点M（0，4）、点A（﹣2，0），利用待定系数法可求出函数解析式；
（2）当桶的左侧（x＝1）最高点位于抛物线以下，右侧（x＝1.5）最高点位于抛物线以上时，球才能落入桶内，据此可分别计算x＝1和x＝1.5时y的值，与桶高4×0.4比较可知；
（3）可设桶的个数为m，根据（2）中关系列出不等式，即可求出m的范围．
【详解】
解：（1）如图建立直角坐标系,

∵网球飞行的最大高度，
∴所在直线是抛物线的对称轴，
∵，
∴，
∴，顶点，故可设网球飞行路线的抛物线解析式为：，把代入得：，解得：，
∴网球飞行路线的抛物线解析式为：；
（2）∵，且，
∴，，即点Q的横坐标是1.5，点P的横坐标是1，
∴当时，；当时，；
若竖直摆放4个圆柱形桶，则桶高为，而，且，
∴若竖直摆放4个圆柱形桶时，网球不能落入桶内；
（3）设竖直摆放的圆柱形桶有m个时，网球能落入桶内，则，
解得：，
∵m为整数，
∴m的值为5或6或7，
答：当竖直摆放5个或6个或7个圆形桶时，网球能落入桶内．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的实际应用，求能否落入桶内时高度的比较是解题关键．
31．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）满足：h＝﹣5t2+20t（0≤t≤4）的关系．
（1）当t＝3时，求足球距离地面的高度；
（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；
（3）若存在实数t1和t2（t1≠t2），当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都是m（米），求m的范围．
【答案】（1）当t＝3时，足球距离地面的高度为15米；（2）2+或2﹣；（3）0≤m＜20．
【分析】
（1）将代入解析式计算即可；
（2）根据可得关于t的一元二次方程，解方程即可；
（3）由题意可以方程的两个不相等的实数根，由根的判别式即可求得m的取值范围.
【详解】
解：（1）当时，（米）,
∴当时，足球距离地面的高度为15米；
（2）∵，
∴，即，
解得：或 ，
故经过或时，足球距离地面的高度为10米；
（3）∵，由题意得t1，t2是方程 的两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故m的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式，根据题意得到相应的方程将实际问题转化为方程问题是解题的关键.
32．女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某女生在O处将球垫偏，之后又在A，B两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点，点B的横坐标为，抛物线和的表达式分别为和．

（1）求抛物线的函数表达式．
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由．
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？
【答案】（1）；（2）未达到，理由见解析；（3）1.75米
【分析】
（1）将点A坐标代入：中，求出a值即可；
（2）求出抛物线的顶点，求出实际最大高度，可得结果；
（3）根据达到最大高度达到要求得到不等式，求出b的范围，从而算出B离地面的高度．
【详解】
解：（1）∵：，
将代入，得：，
解得：a=，
∴：；
（2）由（1）得：的对称轴为直线x==1，
则顶点为（1，），
∵O处距离地面1米，
∴最大高度为，
∴未达到要求；
（3）：，对称轴为直线x=，
则顶点为（，），
∵最大距离达标，
∴≥1，
∵B的横坐标为，
∴yB=，
由（1）得a=，
∴，解得：b≥2或b≤-2，
∵x=＜0，
∴a，b同号，则b≤-2，
∴yB==，
故高度至少应为1+=1.75米．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，理解题干中的实际情景．
33．某县进行创建卫生城市申报工作，制作洗手台的盛水容器如图1所示．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：），如果在离水面竖直距离为h（单位：）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：）与h的关系式为．应用思考：现用高度为的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离处开一个小孔．

（1）写出与h的关系式．
（2）求当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
【答案】（1）；（2）当时，s有最大值
【分析】
（1）直接把H=20cm代入公式计算即可得到解答；
（2）对由（1）得到的关系式进行配方即可得到解答．
【详解】
解：（1）当时，



（2）∵
∴当时，有最大值
即当时，s有最大值．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，熟练掌握配方法求二次函数的最值是解题关键．
34．“科学防控疫情，文明实践随行，讲卫生，勤洗手，常通风，健康有”现有一瓶洗手液如图1所示．已知洗手液瓶子的轴截面上部分有两段圆弧和，它们的圆心分别为点D和点C，下部分是矩形，且，点E到台面的距离为，如图2所示，若以所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，当手按住项部才下压时，洗手液从喷口B流出，其路线呈抛物线形，此时喷口B距台面的距离为，且到的距离为，此时该抛物线形的表达式为，且恰好经过点E．

（1）请求出点E的坐标，并求出b，c的值．
（2）接洗手液时，当手心R距所在直线的水平距离为时，手心R距水平台面的高度为多少？
（3）如果该洗手液的路线与的交点为点P，请求出的正切值．
【答案】（1），，；（2）；（3）3
【分析】
（1）过点E作，交CD于M，连接ED，根据矩形的性质得到、，利用勾股定理求出MD的长度，即可得出点E的坐标，利用待定系数法将点E和点B的坐标代入，求出b和c的值；
（2）根据题意可得出R的横坐标，代入二次函数解析式即可；
（3）求出点P的横坐标，利用正切的定义即可求解．
【详解】
解：（1）过点E作，交CD于M，连接ED，

∵四边形CGHD是矩形，，
∴，，
∴，
由题意可知，
∴，
∵，O为GH的中点，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
把点和点代入可得：
，解得；
（2）当手心R距所在直线的水平距离为时，手心R的横坐标为8，
当时，，
∴当手心R距所在直线的水平距离为时，手心R距水平台面的高度为；
（3）该洗手液的路线与的交点为点P，即为抛物线与x轴正半轴的交点，
当时，（负值已舍去），
过点B作，则，，

∴，
∴．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，将实际问题与函数图象结合起来是解题的关键．
35．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．

（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【答案】（1）；（2）22米；（3）不会
【分析】
（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得；
（2）可先求出的距离，再根据对称性求的长；
（3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论．
【详解】
解：（1）由题意得，A点在图象上．
当时，

．
（2）由题意得，D点在图象上．
令，得．
解得：（不合题意，舍去）．


（3）当时，，
，
∴不会碰到水柱．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质．
36．某喷泉中间的喷水管，喷水点向各个方向喷射出去的水柱为形状相同的抛物线，以水平方向为轴，喷水管所在直线为轴，喷水管与地面的接触点为原点建立直角坐标系，如图所示，已知喷出的水柱距原点处达到最高，高度为．

（1）求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式．
（2）身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？
（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点处达到最高，则喷水管要升高多少？
【答案】（1）；（2）不会被水喷到；（3）
【分析】
（1）结合题意，根据抛物线顶点坐标，将抛物线解析式设为顶点式，然后利用待定系数法求解；
（2）解法一：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当x=4时y的值，由此即可得出结论；
解法二：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.7时x的值，由此即可得出结论；
（3）设改建后抛物线的解析式为，然后根据抛物线上的点的坐标特征，利用待定系数法求解
【详解】
解：（1）设抛物线的函数表达式为（）．
把，代入得，
解得．
∴
令y=0，，解得：
∴抛物线（第一象限）的表达式为．
（2）解法一：对于，令，
则，
∴小明不会被水喷到．
解法二：令，
则，
解得，．
∵，
∴小明不会被水喷到．
（3）设喷水管的高度要升高（），
则抛物线的表达式为．
把代入得，解得．
∴喷水管的高度要升高．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．
37．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求运动员落水点与点C的距离．

【答案】（1）y＝﹣（x﹣3）2＋4；（2）5米
【分析】
（1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点A的坐标，求得a的值，则可求得抛物线的解析式；
（2）令y=0，得关于x的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可．
【详解】
解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系，

由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A坐标为（2，3），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2＋4，
将点A坐标（2，3）代入得：3＝a（2﹣3）2＋4，
解得：a＝﹣1，
∴这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2＋4；
（2）∵y＝﹣（x﹣3）2＋4，
∴令y＝0得：0＝﹣（x﹣3）2＋4，
解得：x1＝1，x2＝5，
∵起跳点A坐标为（2，3），
∴x1＝1，不符合题意，
∴x＝5，
∴运动员落水点与点C的距离为5米．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
38．如图1，游乐园要建行一个直径为20的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头．如图2，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，根据下表记录的水柱高度（）与水柱距离喷水池中心的水平距离（）之间的关系画出部分图象．
水柱距离喷水池中心的水平距离（）
…
0
2
5
8
10
…
水柱的高度（）
…
4
6.4
7
4
0
…

（1）位于第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，请你在所给的平面直角坐标系第二象限画出它的图象；
（2）该种喷水头喷水的最大高度是多少？
（3）为了形成不同高度的喷水景观，在地面上安装了另一种喷水头，它的位置在直角坐标系中可用表示，喷水水柱形状与 形状相同，喷出的水柱最大高度为6.25米，水柱下落时也过点，求该种喷水头安装的位置的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）该种喷水头的最大高度是7.2米；（3）喷水头的安装位置是．
【分析】
（1）根据关于y轴对称，画出图象即可；
（2）用待定系数法求得抛物线的解析式并将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（3）设第一象限抛物线的解析式是（b＞0），利用喷出的水柱最大高度为6.25米得关于b的方程，求得b值，从而可得抛物线的解析式；再令y＝0，可得b＞0时的抛物线与x轴的交点横坐标，根据对称性及下落时过点（0，4），可得答案．
【详解】
解：（1）如图是所求作的图形

（2）由题意可知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点的坐标为．可设抛物线的解析式是，把代入得，，所以该种喷水头的最大高度是7．2米．
（3）∵喷水水柱形状与的形状相同，
∴设第一象限抛物线的解析式是（b＞0），
∵喷出的水柱最大高度为6.25，
∴，
解得，
∴，令得或，
∵水柱下落时过点（0，4），
∴该种喷水头安装的位置是（﹣8，0）或（8，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键．
39．某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，最大高度为6m.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(1) 若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物的高度为多少，请计算说明理由.
(2)为了增加喷水池的观赏性，游乐园新增加了一批向上直线型喷射的喷水头，这些喷水头以水池为圆心，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，为了保证喷水时互不干扰，防止水花四溅，且所有直线喷水头射程高度均为一致，则直线型喷水头最高喷射高度为多少米？（假设所有喷水头高度忽略不计）.

【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案；
（2）根据对称轴为x=4，可得当x=4.5时可达到最高喷射高度，代入即可求解．
【详解】
（1）由题意可得：当x＞0时，抛物线解析式为：y＝a（x−4）2＋6，
把(10,0)代入得0＝a（10−4）2＋6
解得：a＝−，
故抛物线解析式为：y＝−（x−4）2＋6；
令x=0，解得y=
故这个装饰物的高度为m；
（2）∵当x＞0时，抛物线的对称轴为x=4
由题意可得当x=4.5时可达到最高喷射高度，
当x＝4.5时，y=
答：直线型喷水头最高喷射高度为米．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键．
40．如图，一个圆形水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．建立如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式可以用表示，且抛物线经过点B，C；
（1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；
（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？

【答案】（1），米；（2）米；（3）至少要米．
【分析】
（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可得抛物线的解析式，再求出时y的值即可得OA的高度；
（2）将抛物线的解析式化成顶点式，求出y的最大值即可得；
（3）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得．
【详解】
（1）由题意，将点代入得：，
解得，
则抛物线的函数关系式为，
当时，，
故喷水装置OA的高度米；
（2）将化成顶点式为，
则当时，y取得最大值，最大值为，
故喷出的水流距水面的最大高度是米；
（3）当时，，
解得或（不符题意，舍去），
故水池的半径至少要米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．